第二章 11 第八节 对数函数（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦对数函数专题，覆盖概念、图象性质、反函数及综合应用等核心考点，依据高考评价体系分析单调性、比较大小、复合函数问题等高频考点权重，归纳定义域值域、不等式求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如结合2020年全国Ⅲ卷真题解析比较大小问题，通过“中间量法”“图象法”培养学生数学思维，用“同增异减”原则突破复合函数单调性，帮助学生掌握答题技巧，为教师复习教学提供系统指导。

第八节　对数函数 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 课标研读 1.通过具体实例，了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与图象中的特殊点.　 2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________. (0，＋∞) 2.对数函数的图象和性质   a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域：____________ 值域：R 过定点__________ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是______ 在(0，＋∞)上是______ (0，＋∞) (1，0) 增函数 减函数 微提醒　y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x＝0的右侧. 3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数_________(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线______对称. y＝logax y＝x 常用结论 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(， －1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y＝logax与yx(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同 的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为 A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) 自主检测 根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1].故选A. √ 2.(链接人教A必修一P133例3)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有 A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a 因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2＜π＜，所以c＞b＞1.又a＝log32＜1，所以a＜b＜c.故选A. √ 3.已知函数y＝loga－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是___________. (4，－1) 4.(链接人教A必修一P140习题4.4T1)函数y的定义域是________. 由lo(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1.所以函数y的定义域是. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　对数函数的图象及应用 自主练透 1.函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B、D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A、C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，只有选项A中的图象符合要求.故选A. √ 2.已知函数f(x)＝｜ln x｜，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是__________. f(x)＝｜ln x｜的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以｜ln a｜ ＝｜ln b｜，因为0＜a＜b，所以ln a＜0，ln b＞0，所以 0＜a＜1，b＞1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab) ＝0，所以ab＝1，则b，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0＜x＜1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)＞g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b＞3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞). (3，＋∞) 3.已知函数f(x)关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是__________. 问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞). (1，＋∞) 对数函数图象的识别及应用方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 注意：对于函数f(x)(a＞0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1. 规律方法 角度1　比较对数式的大小 　　　　(1)(一题多解)(2025·河南开封模拟)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 考点二　对数函数的性质及应用 多维探究 典例1 法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝lo log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.故选D. 法二(图象法)：lolog23，在同一平面直角坐标系 中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b.故选D. √ (2)(2025·安徽阜阳模拟)设a＝log23，b＝log812，c＝lg15，则a，b，c的大小关系为 A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a a＝log23＝log21＋log21＋，b＝log812＝log81＋log81＋，c＝lg 15＝log101＋log101＋，因为0＜2＜lo8＜10，所以a＞b＞c.故选D. √ 角度2　解对数方程、不等式 　　　　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(lo(2x－5))＞f(log38)的解集为____________________. 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(lo(2x－5))＞f(log38)可化为｜lo(2x－5)｜＞｜log38｜，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜，所以不等式的解集为()∪(，＋∞). 典例2 ∪ 1.比较对数值大小的方法 规律方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 2.求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 规律方法 对点练1.已知a＝3log83，b＝－lo16，c＝log43，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c a＝3log83＝3×log23＞1，b＝－lo16＝－log34＞1，0＜c＝log43＜1，log23－log34 ，lg 2＞0，lg 4＞0，lg 2≠lg 4，因为lg 2lg 4＜ (lg )2＜(lg 3)2，故log23－log34＞0，所以a＞b，所以a＞b＞c.故选A. √ 对点练2.设函数f(x)则满足f(x)≤2的x的取值范围是 A.[－1，2] B.[0，2] C.[1，＋∞) D.[0，＋∞) 当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，所以0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，所以x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞).故选D. √ 　　　　(一题多变)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； 解：因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f(x)的定义域为(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)， 则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减. 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). 考点三　对数型函数的综合问题 师生共研 典例3 (2)若f(x)的最小值为0，求a的值. 解：若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a. 变式探究 (变条件，变结论)若已知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，求实数a的取值范围. 解：令g(x)＝ax2＋2x＋3 ，所以f(x)＝log4g(x). 当a＝0时，g(x)＝2x＋3在区间[－1，1]上单调递增，且g(x)＞0， 又y＝log4x在定义域上单调递增，所以函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间 [－1，1]上单调递增，所以a＝0符合题意. 当a＞0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得0＜a≤1. 当a＜0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得－1＜a＜0. 综上，实数a的取值范围是(－1，1]. 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 1.遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论. 2.底数与1的大小关系. 3.复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 规律方法 对点练3.设函数f(x)＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f(x) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 函数f(x)的定义域为{x｜x≠±3}，f(x)＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜＝ln｜x2－9｜，令g(x)＝｜x2－9｜，则f(x)＝ln g(x)，由函数g(x)的图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(0，3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3，0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数的单调性得，当x∈(－∞，－3)，x∈(0，3)时，f(x)单调递减，当x∈(－3，0)，x∈(3，＋∞)时，f(x)单调递增；由f(－x)＝ln｜(－x)2－9｜＝ln｜x2－9｜＝f(x)得f(x)为偶函数.故选A. √ 对点练4.(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是 A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减 D.函数f(x)的值域为，＋∞) √ √ 易知f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－log4log4log4(2－x＋2x)，由于f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，因此f(x)为偶函数，故A错误，B正确；令t＝2x，则y＝log4(t＋)，令s＝t＋，则y＝log4s，当x∈[0， ＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋在定义域上为增函数，又y＝log4s在定义域上为增函数，所以y＝log4(t＋)为增函数，又t＝2x为增函数，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，故C错误；又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)，所以f(x)的值域为，＋∞)，故D正确.故选BD. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c，则 A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 因为a323＜39c，b533＞525c，所以a＜c＜b.故选A. √ (人教A必修一P133例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1). 点评：本高考题是教材例题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝ A.log2x B. C.lox D. 由题意得，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f(x)＝log2x.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.函数f(x)＋lg(5－3x)的定义域是 A. B. C. D. 函数f(x)＋lg(5－3x)的定义域满足即x∈[1，). 故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.已知函数f(x)＝｜lg x｜，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞a＞b 因为a｜－lg 4｜＝lg 4，b｜－lg 2｜＝lg 2，c＝ ｜lg 3｜＝lg 3，且y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，所以lg 4＞lg 3＞ lg 2，即a＞c＞b.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为 A.－ B.－2 C.－ D.0 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2≥－.当log2x，即x时，函数取得最小值－.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是 A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，所以0＜c＜1.故选BC. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)＝ln，下列说法正确的是 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 f(x)＝ln，令＞0，解得x＞或x＜－，所以f(x)的定义域为∪，又f(－x)＝lnlnln －ln－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误.又f(x)＝lnln(1＋)，令t＝1＋，t＞0且t≠1，所以y＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，所以f(x)在上单调递减，故C正确；因为t＞0，且t≠1，所以y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间］上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是_________. 由题意得或解得＜a＜1.所以实 数a的取值范围是(，1). (，1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________. 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤. 所以实数a的取值范围为(0，]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数. (1)求a的值与函数f(x)的定义域；(5分) 解：因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以log2－log2，即log2log2，由， 解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)， 所以f(x)＝log2， 令＞0，解得x＜－1或x＞1， 所以函数f(x)的定义域为{x｜x＜－1，或x＞1}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立，求实数m的取值范围.(8分) 解：f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x＞1时，x＋1＞2，所以log2(1＋x)＞log22＝1. 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立， 所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.(多选)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，y＝f(x＋2)为偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)3，则 A.a＝1 B.f(1)＝f(3) C.f(2)＝f(6) D.f √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由y＝f(x＋2)是偶函数，得y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇函数，所以f(x＋4)＝f(2＋(2＋x))＝f(2－(2＋x))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，f(0)3a2＝0，解得a＝±1，故A错误；f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3)，故B正确；f(6)＝f(－2)＝－f(2)，而f(2)3(2＋1)≠0，所以f(2)≠f(6)，故C错误；f(2 026)＝f(253×8＋2)＝f(2)，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.设实数a，b是关于x的方程｜lg x｜＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________. 由题意知，在(0，10)上，函数y＝｜lg x｜的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，所以－lg a＝lg b，即ab＝1，0＜c＜lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1). (0，1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(一题多问)已知函数f(x)＝lo(x2－mx－m). (1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；(3分) 解：由题设，x2－x－1＞0，则x＞或x＜， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，)∪(，＋∞). (2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；(5分) 解：由函数f(x)的值域为R，得(0，＋∞)是y＝x2－mx－m的值域的子集， 所以Δ＝m2＋4m≥0，即m∈(－∞，－4]∪[0，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数， 求实数m的取值范围.(7分) 解：因为t＝x2－mx－m在(－∞，)上单调递减， 在(，＋∞)上单调递增，而y＝lox在定义域上单调递减， 所以f(x)在(－∞，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 又f(x)在(－∞，1－)上是增函数，故 可得2≥m≥2(1－). 故实数m的取值范围是[2－2，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.已知x＝()x，loy，x＝logxz，则 A.x＜y＜z B.y＜x＜z C.z＜x＜y D.z＜y＜x 令f(x)＝x－()x，则f(x)在R上单调递增，由f(1)＞0，f()＜0，知x∈(，1).loy⇒y＝(，因为x＜，所以x－y＝()x－(＞0⇒x＞y，x＝logxz⇒z＝xx＞()x＝x.综上y＜x＜z.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(新定义)函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，则实数t的取值范围为____________________. ∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 f(x)的定义域为R，当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，所以f(x)在定义域R上为增函数，因为函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，所以方程loga(ax＋t2)x有两个不同的根，所以ax＋t2，即ax－＋t2＝0，令u，u＞0，则u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2＞0，且t2＞0，解得t∈∪. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 对数函数 $