第二章 9 第六节 指数与对数的运算（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦指数与对数的运算核心考点，严格依据课标要求覆盖指数幂（有理数、实数）、对数概念及运算性质、换底公式等考查内容。通过分考点系统梳理，对接高考评价体系，分析近五年真题中指数运算（占比约30%）、对数化简（占比约40%）、实际应用（占比约30%）的权重，归纳出指数幂运算、对数式化简、指对综合应用等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题引领+技巧归纳+素养提升”的复习模式，精选2024全国甲卷、2021全国甲卷等高考真题，如“已知2^a+2^-a=3求f(2a)”，通过平方整体代换法突破指数综合运算，培养学生数学思维。针对对数运算总结“拆合技巧”，结合换底公式解决连乘问题（如log₂3·log₃4·log₄2=1），提升数学语言表达能力。帮助学生掌握答题模板，教师可据此精准教学，高效备战高考。

第六节　指数与对数的运算 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 课标研读 1.通过对有理数指数幂(a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.　 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.根式与有理数指数幂 (1)根式 x 根式 a a (2)有理数指数幂 概 念 正分数指数幂：______ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：______ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 2.对数 概念 如果________(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝________，其中a叫做对数的_____，N叫做_____ 性质 对数式与指数式的互化：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔_____________ 负数和0没有对数 1的对数是___：loga1＝___ 底数的对数是___：logaa＝___ 对数恒等式：___ ax＝N logaN 底数 真数 x＝logaN 0 0 1 1 N 运算性质 loga(MN)＝__________________ a＞0，且a≠1，M＞0， N＞0 loga__________________ logaMn＝__________(n∈R) 换底公式 logab(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1) logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 常用结论 (1)换底公式的变形 ①logab·logba＝1，即logab(a，b均大于0且不等于1)； ②lobnab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (2)换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0). 1.(多选)下列等式成立的是 A.(－2 B.2 C.(－2)0＝－1 D.()4 自主检测 对于A，(－2，故A正确；对于B，2a－3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，()4，故D正确.故选AD. √ √ 2.(链接人教A必修一P106例3)化简 (x＜0，y＜0)＝ A.2x2y B.－2x2y C.2xy2 D.－2xy2 因为x＜0，y＜0，所以(16x8·y4(16·(x8·(y42x2｜y｜＝－2x2y.故选B. √ 3.(链接人教A必修一P126练习T3)log23·log34·log42＝_____. log23·log34·log42＝log22＝1. 1 4.计算：(1)lg ＋lg _____； (2)log345－log35＝____； (3)(＋(2－(－1)0＝________. (1)lg＋lglg()＝lglg 1. (2)log345－log35＝log3 log39＝log332＝2. (3)()－2＋(2－(－1)0＝72＋(－1＝49＋－1＝49. 2 49 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　指数幂的运算 自主练透 1.化简下列各式： (1)(2)0＋2－2×(2－(0.01)0.5； 解：原式＝1＋×(－(1＋1＋. (2)÷((a＞0，b＞0)； 解：原式÷(÷( ÷(÷(ab) . (3)(×(－)0＋. 解：原式＝(×1＋－(2. 2.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，求f(2a)的值. 解：由f(a)＝3得2a＋3， 所以(2a＋2－a)2＝9， 即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7， 故f(2a)＝22a＋2－2a＝7. 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. 2.当底数是负数时，先确定运算结果的符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 规律方法 角度1　对数式的化简与计算 　　　　计算下列各式： (1)log225·log3(2)·log59； 解：法一：log225·log3(2)·log59＝log252·log3·log532＝6log25·log32·log53＝6. 法二：log225·log3(2)·log59····6. 考点二　对数的运算 多维探究 典例1 (2)； 解：原式1. (3)log23·log38＋(. 解：原式·3＋3＋2＝5. 角度2　指数式与对数式的综合运算 　　　　(1)已知logam，loga3＝n，则 A.3 B. C.9 D. 因为logam，loga3＝n，所以am，an＝3.所以am· am·(an)2×32.故选D. √ 典例2 (2)设2a＝5b＝m，且2，则m＝ A. B.10 C.20 D.100 因为2a＝5b＝m，所以log2m＝a，log5m＝b，所以 logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，所以m(舍m＝－).故选A. √ 1.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 规律方法 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k＞0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解. 规律方法 对点练1.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝____. 由ff8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即23，因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. e 对点练2.计算：(1)log535＋2lo－log5－log514； 解：原式＝log535－log5－log514＋lo)2＝log5＋lo2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. (2)(＋eln 3＋lo－log34·log23. 解：原式＝(＋3－2－2log32·log23＋3－－2＝3. 　　　　(1)(2024·北京卷)生物丰富度指数 d是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C. D. 考点三　指数与对数运算的实际应用 师生共研 典例3 √ 由题意得2.1，3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以.故选D. (2)(多选)(2025·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期约是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301) A.t＝12.43log2 B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16 √ √ 由题意得N＝N0·，故有，左右同时取对数得log2，故得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·2－2·N0N0，故B错误；而当t＝62.15时，N＝N0· 2－5·N0N0，得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0＝N0·，化简得x＝－12.43log2 －12.43log2－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43(1－)＝－12.43(1－)，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43≈16.44＞16，故D正确.故选CD. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 规律方法 对点练3.(2025·重庆九龙坡期末)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M＝M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，那么质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.67M0 D.0.66M0 √ 由题意，锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，即M0＝M0·，则H＝50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·M0·M0·≈M0×≈0.66M0.故选D. 对点练4.(多选)(2025·安徽六安期末)地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lg E＝4.8＋1.5M，2024年8月12日日本宫崎县发生的7.1级地震释放的能量为E1，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是 A.E1约为E2的10倍 B.E3超过E2的100倍 C.E3超过E1的10倍 D.E3低于E1的10倍 √ √ 对于A，lg E1－lg E2＝1.5×，所以101.8，故A错误；对于B，lg E3－lg E2＝1.5×102.7＞100，故B正确；对于C，lg E3－lg E1＝1.5×100.9＜10，故C错误，D正确.故选BD. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 1.(2024·全国甲卷)已知a＞1，且，则a＝______. 由题2a＝－，整理得－5log2a－6＝0，⇒log2a＝－1或log2a＝6，又a＞1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 64 (人教A必修一P127T5)已知lg 2＝a，lg 3＝b，求下列各式的值： (1)lg 6；(2)log34；(3)log212；(4)lg . 点评：高考题与教材习题均考查对数的运算性质及换底公式. 教材呈现 真题再现 2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10－0.1 ≈≈0.8.故选C. √ (人教A必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解， 例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. 　　2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)？ 点评：高考题与教材例题都是以实际问题为背景考查对数的基本运算. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.已知a＞0，则 A. B. C. D. .故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.(教材改编)若代数式有意义，则＋2 A.2 B.3 C.2x－1 D.x－2 由有意义，得所以x－2≤0，2x－1≥0，所以＋2＋2｜x－2｜＝｜2x－1｜＋2｜x－2｜＝2x－1＋2(2－x)＝3.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.(2024·山东济宁模拟)已知a＝log23，b＝log25，则log415＝ A.2a＋2b B.a＋b C.ab D.a＋b log415215(log23＋log25)a＋b.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－2 A.－7 B.－3 C.0 D.－6 原式＝log34－log3＋log38＋1－log3(4××8)＋1－log39＋1－9＝－6.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为 A. B. C. D.24 由4a＝9，解得a＝log49＝lo32＝log23，当b2＝9时，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2，当b＝log28时，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24，当b＝log2时，a＋b＝log23＋log2log2log2，所以2a＋b.故选BD. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)下列运算中，正确的是 A.－2 B.若a＋14，则4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋ D.若4a＝6b＝9c，则 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，－2，故A正确；对于B，因为a＋14，所以4，故B正确；对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋74＝1＋a＋，故C不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但无意义，故D不正确.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.化简(a＞0，b＞0)的结果是_____. ab－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.已知2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log16abc＝_____. 由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log542，则log16abc＝log162. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)(1)已知3，计算：；(6分) 解：因为3，所以9，即x＋x－1＋2＝9， 所以x＋x－1＝7，所以49，即x2＋x－2＋2＝49， 所以x2＋x－2＝47， 所以4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)已知a，b＝log39＋log3，求lga2－b2 025＋2 025的值.(7分) 解：由题意a＋1－ 1， b＝log39＋log3log332＋log33－3＝2－3＝－1， 所以lga2－b2 025＋2 025＝lg 12－＋2 025＝0－＋2 025 ＝2 026. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 A.1 B.2 C.3 D.4 由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b，则(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×2.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(多选)下列运算正确的是 A.(4 B.log89×log2732 C.若a＋a－1＝3，则a2＋a－2－2 D.若3x＝4y＝M，且1，则M＝36 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，((22＝4，故A正确；对于B，log89×log2732，故B正确；对于C，a＋a－1＝3，a2＋a－2－(a＋a－1)2－2－3×1，故C错误；对于D，3x＝4y＝M，则x＝log3M，logM3，同理y＝log4M，logM4，则2logM3＋logM4＝logM36＝1，解得M＝36，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知函数f(x)，g(x). (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值；(7分) 解：f(4)－5f(2)g(2)－5× 0， f(9)－5f(3)g(3)－5× 0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.(8分) 解：由此概括出对所有不等于0的实数x都有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下： f(x2)－5f(x)g(x))－5×· 0， 因此，等式成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(新情境)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论.根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数) A.189 B.186 C.145 D.109 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈，则估计 1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈≈≈145.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.已知a＞b＞1，若logab＋logba，ab＝ba，则a＋2b＝_____. 由logab＋logba，且logab·logba＝1，所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的两根，解得logba＝2或logba，又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2，又ab＝ba，从而b2b＝ba，则a＝2b，且a＝b2，则b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8. 8 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 指数与对数的运算 $