第二章 5 第四节 函数的对称性（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数对称性专题，覆盖奇函数偶函数的对称性、函数图象的轴对称与中心对称、双对称问题求周期等高考核心考点。对接高考评价体系，梳理出轴对称判定、中心对称应用、对称与周期综合等高频考点，归纳出对称性质证明、零点和求解、解析式求参数等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题深度融合，如2023全国乙卷对称曲线存在性问题、2024新课标Ⅰ卷中心对称证明题等真题解析。通过“规律方法+对点练”突破考点，例如用“f(a+x)=f(a-x)”快速判定轴对称，培养学生数学思维和逻辑推理素养。帮助学生掌握对称问题转化技巧，教师可据此精准定位学情，提升复习效率。

第四节　函数的对称性 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 课标研读 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论.　 2.会利用对称公式解决问题. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于____对称，偶函数关于____对称. (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点__________中心对称. 原点 y轴 x＝a (b，0) 2.函数图象的对称性 (1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝－f(x)或f(－x)＝－f(2a＋x)或f(a＋x)＝－f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 3.两个函数图象的对称性 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于____对称. (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于____对称. (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于____对称. y轴 x轴 原点 常用结论 函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期) (1)若函数f(x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f(x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 1.(多选)下列结论正确的是 A.函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D.若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 自主检测 √ √ 2.函数f(x)图象的对称中心为 A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 因为f(x)1＋，由y向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B. √ 3.(链接人教A必修一P85T1)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为___________ ___________. 由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，所以当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]. [－5，－2) ∪(2，5] 4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝_____. 因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 5 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　轴对称问题 师生共研 　　　　(1)已知函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，求ab的值. 解：因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称， 所以f(－3)＝f(－1)，f(－5)＝f(1)， 即解得 所以ab＝120. 典例1 (2) (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 解：假设存在a，b， 使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称. 令g(x)＝f()＝(x＋a)ln(1＋)＝(x＋a)ln ， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln (2b－x＋a)ln (x－2b－a)ln ， 于是得 当a，b＝－时，g(x)＝(x＋)ln(1＋)， g(－1－x)＝(－x－)ln (－x－)ln (x＋)ln (x＋)ln(1＋)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称，且a，b＝－. 轴对称问题的常用性质 1.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x). 2.若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x成轴对称. 规律方法 对点练1.已知函数f(x)＝32－x＋3x＋a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝ A.0 B.1 C.2 D.2a 因为f3x＋32－x＋a＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，又f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝2.故选C. √ 对点练2.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为________. 因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增.又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)，所以－x2＞－1，即x2＜1，所以－1＜x＜1，所以原不等式的解集为(－1，1). (－1，1) 　　　 (1)(2024·新疆乌鲁木齐二模)若函数f的图象关于点对称，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 考点二　中心对称问题 师生共研 典例2 f(x)a＋关于(1，2)对称，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝4，即a＋＋a＋2a＝4，则a＝2.故选D. √ (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为_____. 因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又y的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. 6 中心对称问题的常用性质 1.函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x). 2.若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点()，也就是关于点()对称. 规律方法 对点练3.已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2的图象 A.关于点(2，2)对称 B.关于点(2，－2)对称 C.关于点(－2，2)对称 D.关于点(－2，－2)对称 因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2的图象关于点(2，2)对称.故选A. √ 对点练4.已知函数fx3－3x2，则f A.－8 098 B.－8 096 C.0 D.8 100 fx3－3x2－3x＋1－3－2，所以f＋f(1－x)＝x3－3x－2－x3＋3x－2＝－4，即f关于(1，－2)中心对称，所以f[f＋f]＋[f＋f]＋…＋＋f2 024×＋f－8 098.故选A. √ 　　　　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象 A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 考点三　两个函数图象的对称 师生共研 典例3 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. √ 　　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x. 规律方法 对点练5.下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是 A.g(x)＝－2x＋cos x B.g(x)－cos(－x) C.g(x)＝－＋cos(－x) D.g(x)＝－－cos(－x) 令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－[－cos(－x)]＝－2－x＋cos(－x).故选C. √ 对点练6.下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是 A.y＝log2(2＋x) B.y＝log2(2－x) C.y＝log2(4＋x) D.y＝log2(4－x) 设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x).故选D. √ 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 证明：fln ＋ax＋b的图象是由函数gln ＋ax＋bx3＋a向右平移1个单位得到，而函数gln ＋ax＋bx3＋a关于中心对称，所以y＝f图象为中心对称图形，且对称中心为. (人教A必修一P87T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 点评：该高考题是教材习题结论的直接应用，推出f－a＝ln ＋ax＋bx3为奇函数即可.如果利用结论f(2－x)＋f(x)＝2a解答该题更简单. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2 025)是偶函数，则f(x)图象 A.关于点(2 025，0)中心对称 B.关于点(－2 025，0)中心对称 C.关于直线x＝2 025对称 D.关于直线x＝－2 025对称 因为f(x＋2 025)为偶函数，所以f(x＋2 025)＝f(－x＋2 025)，所以函数f(x)图象关于x＝2 025对称.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于 A.1 B.－1 C.3 D.－3 因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以 解得a＝－3，b＝1.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.定义在R上的函数y＝f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，则 A.f(1)＜f(5) B.f(1)＞f(5) C.f(1)＝f(5) D.f(0)＝f(5) 因为y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x＋2)＝f(2＋x＋2)＝f(4＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，故f(1)＝f(5).又函数y＝f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(5)＝f(1)＞f(0).故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.函数f(x)－e2－x的图象关于 A.点(－2，0)对称 B.点(2，0)对称 C.直线x＝－2对称 D.直线x＝2对称 因为f(x)－e2－x，所以f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.已知函数f(x)若y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则实数a的取值范围是 A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.[－1，＋∞) D.(－1，＋∞) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由函数解析式可得，函数图象如图所示.要使y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，只需1＋a＞0，则a＞－1，所以实数a的取值范围是(－1，＋∞).故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是 A.f(x)＝f(－x) B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C.f(3)＝f(5) D.f(x＋2)＝f(x－2) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)图象上的点(x，y)，关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x，得到f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是 A.若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B.函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 D.函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于点(1，0)对称，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.函数y的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝_____. 因为f(x)1＋，所以该函数图象的对称中心为(b，1)，由已知可知该函数的图象关于点(3，c)中心对称，所以有b＝3，c＝1⇒b＋c＝4. 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.函数f＋2 025的图象的对称轴方程为____________. 因为f＋2 025＝2｜x－1 012｜＋2 025，所以f2｜2 024－x－1 012｜＋2 025＝2＋2 025＝f(x)，所以其图象的对称轴方程为x＝1 012. x＝1 012 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(开放题)(2025·山东潍坊模拟)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f__________________. ①ff；②f至少有两个零点；③f有最小值. 取fx2－2x，其对称轴为x＝1，满足①ff；令fx2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f至少有两个零点；fx2－2x－1，当x＝1时，f－1，满足③f有最小值.(答案不唯一) x2－2x(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有＜0，则不等式f(ln x)＞f(1)的解集为 A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2) C.(e，e3) D.(e，＋∞) 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为f(x)在[2，＋∞)上恒有＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)＞f(1)需满足｜ln x－2｜＜｜1－2｜⇒1＜ln x＜3，解得e＜x＜e3.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(一题多解)(2021·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则 A.f0 B.f(－1)＝0 C.f(2)＝0 D.f(4)＝0 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 法一(通法)：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以易知函数f(x)周期为4，由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且其他几个不一定为0，B正确.故选B. 法二(构造特殊函数)：由f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，可构造f(x)＝cos (x－2)符合题意，f(－)＝－，f(－1)＝0，f(2)＝1，f(4)＝ －1.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝｜x2－4x－5｜与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝______. 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为y＝｜x2－4x－5｜＝｜(x－2)2－9｜，所以函数y＝｜x2－4x－5｜的图象也关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋…＋xn·4＝2n. 2n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(新角度)“肝胆两相照，然诺安能忘.”(《承左虞燕京惠诗却寄》，明•朱察卿)若A，B两点关于点P成中心对称，则称为一对“然诺点”，同时把和视为同一对“然诺点”.已知a∈Z，f(x)的图象上有两对“然诺点”，则a等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当x＞1时，f(x)＝ax－2关于点P(1，1)对称的函数为y＝ax－2a＋4(x＜1)，由题知y＝ax－2a＋4与y＝(x－2)e－x在x∈(－∞，1)上有两个交点，由消y得到ax－2a＋4＝(x－2)e－x，又x＜1，得到＋a＝e－x，即a＝e－x－，令g(x)＝e－x－(x＜1)，y＝a，则g(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，g'(x)＝－e－x＋， 令h(x)＝g'(x)＝－e－x＋，则h'(x)＝e－x－＞0(x＜1)， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 所以h(x)在(－∞，1)上递增，即g'(x)在(－∞，1)上递增，因为g'(0)＝－1＋1＝0，所以当x＜0时，g'(x)＜0，当0＜x＜1时，g'(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，1)上递增，所以g(x)≥g(0)＝3， 当x→－∞时，g(x)→＋∞，g(1)＝e－1＋4，所以g(x)的大 致图象如图所示，由图可知当3＜a＜4＋e－1时，g(x)的 图象与直线y＝a有两个不同的交点，因为a∈Z，所以 a＝4.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(多选)(2025·海南海口模拟)已知函数 f的定义域为R，其图象关于中心对称，若 2－x，则 A.1 B.f＋f4 C.y＝f－2为奇函数 D.y＝f＋2x为偶函数 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，f的定义域为R，其图象关于中心对称，故f＋f4，故1，故A正确；对于B，由题意得f＋f4，又2－x，故2－x，令x＝4得2－4，即f＋f－8＋4＝－4，故B错误；对于C，由题意得f＋f4，即f－2＝ －，令gf－2，则g－g，所以y＝f－2为奇函数，故C正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 对于D，因为2－x，所以2－x－2＝ －x，即f－f－4x，故f＋2x＝f－2x，令hf＋2x，则hh，故y＝f＋2x为偶函数，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数的对称性 $