第二章 4 第三节 函数的奇偶性、周期性（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性、周期性核心考点，依据新课标要求梳理概念、几何意义及应用，对接高考评价体系，通过近五年真题统计明确奇偶性判断（占比35%）、周期性应用（占比30%）等高频考点，归纳判断、求参数、解不等式等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”，精选2023全国乙卷、2024天津卷等真题，总结“定义法判断奇偶性”“周期性转化求值”等方法，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）素养，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，高效冲刺高考。

第三节　函数的奇偶性、周期性 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 课标研读 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.　 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.　 3.结合三角函数了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数定义域关于原点对称 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且___________，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特点 关于____对称 关于____对称 等价 形式 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ 1(f(x)≠0) f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0 ⇔－1(f(x)≠0) f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 2.函数的周期性 f(x+T)=f(x) 最小 常用结论 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)＝0； 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜). ②单调性与奇偶性的关系.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，即奇增增或奇减减；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，即偶增减或偶减增. ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. ④若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a). (2)函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). ②若f(x＋a)，则T＝2a(a＞0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). (3)常见奇、偶函数的类型 ①f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，f(x)(a＞0且a≠1)为奇函数. ②f(x)＝loga(b＋x)＋loga(b－x)为偶函数；f(x)＝loga，f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)为奇函数. ③f(x)＝｜ax＋b｜＋｜ax－b｜为偶函数；f(x)＝｜ax＋b｜－｜ax－b｜为奇函数. 1.(多选)下列结论错误的是 A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0 B.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数 D.若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期 自主检测 √ √ √ 2.若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上 A.单调递增，且有最小值f(1) B.单调递增，且有最大值f(1) C.单调递减，且有最小值f(2) D.单调递减，且有最大值f(2) 偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).故A正确. √ 3.(多选)(链接人教A必修一P84例6)下列函数中为偶函数的是 A.f(x)＝x＋ B.f(x) C.f(x)＝｜ln x｜ D.f(x)＝2｜x｜ 对于A，f(－x)＝－x－－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x) f(x)，为偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x｜x＞0}，不关于原点对称，为非奇非偶函数；对于D，f(－x)＝2｜－x｜＝2｜x｜＝f(x)，为偶函数.故选BD. √ √ 4.(链接人教A必修一P214T15)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝_____. 由题意知f(0)＝0，f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且 f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2 024)＝f(675×3－1)＝f(－1)＝1，f(2 025)＝f(675×3)＝f(0)＝0， f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝－1，所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝ 1＋0－1＝0. 0 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数奇偶性的判断 自主练透 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 A.f(x) B.f(x) C.f(x) D.f(x) √ 对于A，f，函数定义域为R，但f，f，则f≠f，故A错误；对于B，f，函数定义域为R，且ff，则f为偶函数，故B正确；对于C，f，函数定义域为，不关于原点对称，则f不是偶函数，故C错误；对于D，f，函数定义域为R，因为f，f，则f≠f，则f不是偶函数，故D错误.故选B. 2.(多选)下列函数是奇函数的是 A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x) D.f(x)＝ln ｜1＋x｜ √ √ 对于A，函数的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选AC. 3.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－； 解：原函数的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x)＝(－x)3－－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数. (2)f(x)； 解：由得－2＜x＜2， 即函数f(x)的定义域是{x｜－2＜x＜2}，关于原点对称. 因此f(x)lg， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)； 解：f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称. 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)f(x) 解：法一(定义法)：当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数. 法二(图象法)：如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)性质法. 2.判断函数的奇偶性的关键点 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立. 规律方法 角度1　已知函数的奇偶性求参数 　　　　(1)(一题多解)(2025·浙江金丽衢十二校第二次联考)若函数f ln＋ax为偶函数，则实数a的值为 A.－ B.0 C. D.1 考点二　函数奇偶性的应用 多维探究 典例1 √ 法一(赋值)：因为函数fln(ex＋1)＋ax为偶函数，所以f f(1)，所以ln(e－1＋1)＋(－1)a＝ln＋a，所以2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)，解得a＝－.故选A. 法二(通法)：fln＋ax的定义域为R，fln－ax＝ln－ax＝ln(ex＋1)－x－ax，由于fln＋ax为偶函数，故ff，即lnx＝ln＋ax⇒x＝0，故1＋2a＝0，解得a＝－.故选A. 法三(利用已知函数奇偶性的结论)：由fln(ex＋1)＋ax得，fln＋ln eax＝ln[eax]＝ln，已知函数y＝ex＋e－x是偶函数，所以(a＋1)＋a＝0，解得a＝－.故选A. (2)(2024·河南开封第二次质量检测)若函数f(x)是奇函数，则实数a＝ A.0 B.－1 C.1 D.±1 当x＞0时，－x＜0，则fa2－1＝－x－a＝－f，则解得a＝1，此时f当x＜0时，－x＞0，所以f－x＋1＝－－f，符合题意.所以a＝1.故选C. √ 角度2　利用奇偶性求值(解析式) 　　　　(1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025，2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于 A.0 B.1 C.2 D.3 由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[－2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即(M－1)＋(m－1)＝0，所以M＋m＝2.故选C. √ 典例2 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________. 因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x＞0时，－x＜0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. －ex＋2x＋1 角度3　利用奇偶性解不等式 　　　　(1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是 A.[－2，2] B.[－1，3] C.[0，2] D.[1，3] 因为f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝－1.又f(x)是增函数，－1≤f(x－1)≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，则－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3，所以x的取值范围是[－1，3].故选B. √ 典例3 (2)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)＜0的x的取值范围为 A.(－∞，－1)∪(2，5) B.(－∞，－1)∪(0，5) C.(－1，0)∪(2，5) D.(－1，0)∪(5，＋∞) 因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)＜0，当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0，所以由xf(x－2)＜0，可得或解得－1＜x＜0或2＜x＜5，即x∈(－1，0)∪(2，5).故选C. √ 函数奇偶性的应用类型及解题策略 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值：求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.尤其对于“奇函数f＋常函数A”的“最大值M＋最小值N”问题时，有结论M＋N＝2A成立. 2.比较大小：利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 规律方法 3.利用奇偶性解不等式的步骤：转化、定性、去f、求解，即先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式(组).当涉及f是偶函数时，常用f(x)＝f()，将问题转化到区间上求解. 规律方法 对点练1.(一题多解)(2023·新课标Ⅱ卷)若fln为偶函数，则a＝ A.－1 B.0 C. D.1 √ 法一：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln (－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，fxln ，由＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域为，或，关于原点对称.fln ln ln xln f，故此时f为偶函数.故选B. 法二：因为y＝ln 是奇函数，又f为偶函数，所以函数y＝x＋a是奇函数，所以a＝0.故选B. 对点练2.(多选)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，则下列结论正确的是 A.｜f(x)｜≥2 B.当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3 C.x＝1是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)在(－∞，－1)上单调递增 √ √ √ 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋2x＋3＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3， 所以f(x)＝作出f(x)的图象如图所 示.由图可知f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以｜f(x)｜≥ 2，故A正确；当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3，故B正确；由图象可知x＝1不是f(x)图象的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增，故D正确.故选ABD. 对点练3.已知f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f(2a)＜f(4a－1)的a的取值范围是________. 因为f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在[0，1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，｜2a｜＜｜4a－1｜，所以0≤a＜，所以a的取值范围是[0，). [0，) 　　　 (1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝_____. 考点三　函数的周期性 师生共研 典例4 因为f(x)f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)，所以f(x＋4) f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1). (2)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，则f(2 024)＝_____. 因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期.因此f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，则f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2 024)＝0. 0 (3)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为___________________________. 根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 函数周期性的判定及应用 1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 规律方法 对点练4.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则 A.f(2 027)＝0 B.f(x)的值域为[－1，2] C.f(x)在[4，6]上单调递减 D.f(x)在[－6，6]上有8个零点 √ √ f(2 027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，故A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，故B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，故C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，故D错误.故选AB. 对点练5.设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x) 其中m∈R.若ff，则m＝_____. 因为f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x) 所以ff＋2×＋m＝－＋m，f，所以＋m⇒m＝1. 1 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)是偶函数，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 因为f(x)为偶函数，则f(x)－f(－x) 0，又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0， 即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. √ (2)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝_____. 因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意. 2 (人教A必修一P161T12)对于函数f(x)＝a－(a∈R)， (1)探索函数f(x)的单调性； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 点评：高考题与教材习题考查角度完全相同，都是已知函数的奇偶性求参数值，此类问题的解法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是 A.y＝x3 B.y＝｜x｜＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－｜x｜ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，令f(x)＝x3，x∈R，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，不符合题意；对于B，令f(x)＝｜x｜＋1，x∈R，有f(－x)＝ ｜－x｜＋1＝｜x｜＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝x＋1单调递增，符合题意；对于C，令f(x)＝－x2＋1，x∈R，有f(－x)＝ －(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝－x2＋1单调递减，不符合题意；对于D，令f(x)＝2－｜x｜，x∈R，有f(－x)＝ 2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f(x)，所以f(x)为偶函数，且x＞0时，f(x)＝2－｜x｜＝ 2－x＝()x单调递减，不符合题意.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝x3－2 026sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝ A.0 B.1 C.2 D.不能确定 依题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f(0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3) 因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.(2024·广西南宁模拟)已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝ A.0 B.6 C.8 D.16 因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，故f(99)＋f(100)＝8.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)已知f(x)＝cos 2 025x·g(x)为定义在R上的奇函数，则函数g的解析式可以为 A.g(x)＝lg B.g(x)＝3x－3－x C.g(x) D.g(x)＝ln √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为f(x)＝cos 2 025x·g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A，定义域为 (－1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝ －g(x)，符合题意；对于C，定义域为R，g(－x) ≠－g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(－x)＝ln，而g(－x)＋g(x)＝ln＋ln0，符合题意.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 025)＝1 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D.函数f(x)在[0，2 025]内有1 012个零点 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A正确； f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 023)＝f(2 025)＝0，于是函数f(x)在[0，2 025]内有1 013个零点，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.(一题多解)(2025·河南郑州名校联考)函数f－log2是偶函数，则a的值为______. 法一：因为f是偶函数，所以f－f(－x)＝8ax－log2 x＝0，所以a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 法二：由f－log2，得f4x2＋a2－1＋4ax－log2，设g(x)＝4x2＋a2－1，h(x)＝4ax－log2，易知g是偶函数，当h(x)＝4ax－log2(23x＋1)是偶函数时，函数f才能是偶函数，所以h(x)＝log224ax－log2log2 log2是偶函数，所以(3－4a)＋(－4a)＝0，解得a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)＞0的解集是__________. 因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝－－f(x)，故其为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)＞f(1－ln x)，也即ln x＞1－ln x，整理得ln x＞，解得x＞，故不等式的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)(教材改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(3分) 解：证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(4分) 解：当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， 所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026).(6分) 解：f(0)＝0， f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为 A.e B. C.2 D.2 由题意可得解得f(x)，因 为f(x)≥，当且仅当ex＝5e－x，即xln 5时，等号成立，所以f(x)的最小值为.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.已知函数f(x)在区间[－3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为_____. f(x)＋1，令g(x)＝f(x)－1，则g(－x)＝－－g(x)，所以函数g(x)在[－3，3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，所以M＋N＝2. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(一题多问)已知f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且x∈[－1，0]时，f(x). (1)求函数f(x)的表达式；(3分) 解：当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)， 因为f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－，因此f(x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)判断并证明函数f(x)在区间[0，1]上的单调性；(6分) 解：函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. 证明如下：设x1，x2是[0，1]上任意两个实数，且x1＜x2， 则有0≤x1＜x2≤1，易知当x∈[0，1]时，f(x)＝－， 于是f(x1)－f(x2)＝－－(－). 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0.(6分) 解：因为偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递减， 所以f(1－a)－f(3＋a)＜0⇒f(1－a)＜f(3＋a)⇒ 解得a∈⌀，所以不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0的解集为空集. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(多选)设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)＝f(x＋8) D.f(x＋6)为奇函数 因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)的图象关于(2，0)和(－2，0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数，f(x)的奇偶性无法判断.故选CD. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论正确的是 A.f(0)＝2 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为奇函数 D.f(2)＝－1 因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，故A正确；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C错误，B正确；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，故D正确.故选ABD. √ √ √ 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 函数的奇偶性、周期性 $