第二章 2 第二节 函数的单调性与最值（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数的单调性与最值核心考点，依据课标要求梳理定义、单调区间、最值条件等基础内容。对接高考评价体系，分析单调性判断证明、最值求解、单调性应用等高频考点权重，归纳选择填空及解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融合与应试技巧系统指导，通过2023新课标Ⅰ卷、2024新课标Ⅰ卷等真题训练，运用定义法、导数法等培养数学思维，借助符号表达规范强化数学语言。如典例2用单调性法求最值，帮助学生掌握答题技巧，助力教师高效复习教学。

第二节　函数的单调性与最值 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 课标研读 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.　 2.掌握函数单调性的简单应用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 微提醒　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.例如对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，].(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 单调递增 单调递减 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得____________ (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得____________ 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 常用结论 (1)单调性定义的等价形式 设对任意的x1，x2∈[a，b]，x1≠x2. ①若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或＞0，则f(x)在[a，b]上单调递增. ②若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0，则f(x)在[a，b]上单调递减. (2)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： ①(基本初等函数法)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数. ②若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反. ③函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y的单调性相反. ④(复合函数法)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关.简记为：“同增异减”. 1.(多选)下列结论错误的是 A.因为f(x)在[－3，2]上是增函数，则f(－3)＜f(2) B.函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C.若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D.函数y的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 自主检测 √ √ √ 2.(多选)(链接人教A必修一P86T3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是 A.y－x B.y＝x2－x C.y＝－x2－2x D.y＝ex √ √ 3.(链接人教A必修一P81例5)函数f(x)在区间[1，5]上的最大值为______，最小值为_______. 3 4.(链接人教A必修一P100T4)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是____________________. (－∞，5]∪[20，＋∞) 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数的单调性 多维探究 角度1　求函数的单调区间(自主练透) 1.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的增区间是 A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 由x2－2x－8＞0，得f(x)的定义域为{x｜x＞4，或x＜－2}.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t＝x2－2x－8的增区间(定义域内).因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在 (－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间为(4，＋∞).故选D. √ 2.函数f(x)的增区间是________. 当x≠0时，f(x)，因为y＝x＋在(－1，0)，(0，1)上单调递减，所以f(x)在(－1，0)，(0，1)上单调递增，且x＜0时f(x)＜0，x＝0时，f(x)＝0，x＞0时，f(x)＞0，所以f(x)在(－1，1)上单调递增，即f(x)的增区间是(－1，1). (－1，1) 3.函数y＝｜－x2＋2x＋1｜的增区间是____________________________. 作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞). 角度2　判断或证明函数的单调性 　　　　(1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 A.f(x)＝－ln x B.f(x) C.f(x)＝－ D.f(x)＝3｜x－1｜ 典例1 √ 对于A，因为y＝ln x在上单调递增，所以f－ln x在上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在上单调递增，所以f在上单调递减，故B错误；对于C，因为y在上单调递减，所以f在上单调递增，故C正确；对于D，因为f，f30＝1，f3，显然f在上不单调，故D错误.故选C. (2)(一题多解)试讨论函数f(x)(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解：法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝aa， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a(1＋)， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 法二(导数法)：f'(x). 故当a＞0时，f'(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f'(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 1.判断函数单调性(或求单调区间)的方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法(见常用结论). 2.抽象函数单调性的判断策略 (1)若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 规律方法 (2)若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 注意：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 规律方法 对点练1.(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈ ＜0的是 A.f(x)＝－2(x－1)2－2 B.f(x)＝3x＋5 C.f(x)＝1＋ D.f(x)＝｜x－4｜ √ √ 由题意可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减.对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于D，f(x)＝｜x－4｜显然f(x)在(1，4)上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，不满足题意.故选AC. 对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.求证： (1)f(0)＝1； 证明：根据题意，令m＝0， 可得f(0＋n)＝f(0)·f(n). 因为f(n)≠0，所以f(0)＝1. (2)x∈R时，恒有f(x)＞0； 证明：由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1； 当x＝0时，f(0)＝1＞0； 当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1. 因为f(x＋(－x))＝f(x)·f(－x)， 所以f(x)·f(－x)＝1，所以f(x)＞0. 故x∈R时，恒有f(x)＞0. (3)f(x)在R上是减函数. 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]. 由(2)知f(x1)＞0， 又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1， 故f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在R上是减函数. 　　　　(1)函数f(x)－log2在区间[－2，2]上的最大值为_______. 考点二　函数的最值 师生共研 典例2 因为函数y，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)－log2在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f－log29－1＝8. 8 (2)(一题多解)对于任意实数a，b，定义min设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是_____. 法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 1 法二：依题意h(x)当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 求函数最值的三种常用方法 规律方法 注意：对于较复杂的函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 对点练3.函数y＝x＋的最小值为______. 法一：(换元法)令t，t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0，配方得y.又因为t≥0，所以y≥1，故函数y＝x＋的最小值为1. 法二：(单调性法)由题易得x－1≥0，即x≥1.因为函数y＝x和y在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1. 1 对点练4.设f(x)则f(x)的最小值为________. 当x≥1时，f(x)＝x＋－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1.综上，f(x)的最小值为2－3. 2－3 角度1　利用单调性比较大小 　　　 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有＜0，则 A.f(－2)＜f(3)＜f(4) B.f(－2)＞f(3)＞f(4) C.f(3)＜f(4)＜f(－2) D.f(4)＜f(－2)＜f(3) 考点三　函数单调性的应用 多维探究 典例3 √ 因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有＜0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＜f(3)＜f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)＜f(3)＜f(4).故选A. 角度2　利用单调性解函数不等式 　　　　函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是___________. 依题意得⇒－1≤a＜1.所以实数a的取值范围是 [－1，1). 典例4 [－1，1) 角度3　利用单调性求参数的取值范围 　　　　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则实数a的取值范围是 A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).故选D. 典例5 √ (2)已知函数f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是 A.( 0，) B.( 0，] C.(0，1) D.(0，1] 因为函数f(x)是定义在R上的增函数，所以解得0＜a≤，所以实数a的取值范围为( 0，].故选B. √ 1.比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式时，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，需要注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数的取值(范围)时，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，既要保证每一段函数的单调性，还要注意衔接点的取值. 规律方法 对点练5.已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是______________________. (－，－2)∪(2，) 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2，得f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜，所以实数x的取值范围是(－，－2)∪(2，). 对点练6.若函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________. f(x)1＋，因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以解得1≤a＜2，所以实数a的取值范围为[1，2). [1，2) 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 因为f在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即实数a的范围是[－1，0].故选B. √ (人教A必修一P100T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围. 点评：该高考题主要考查已知函数的单调性求参数，与教材习题角度相同，只不过将函数换为分段函数，源于教材而高于教材. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.下列函数在区间(0，1)上为单调递增函数的是 A.y＝－x3＋1 B.y＝cos x C.y＝lox D.y＝x－ y＝－x3＋1，y＝cos x，y＝lox在(0，1)上都为单调递减函数，y＝x－在(0，1)上为单调递增函数.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.函数f(x)在 A.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C.(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D.(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 函数f(x)的定义域为{x｜x≠1}.f(x)－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.若函数f(x)，则f(x)的值域为 A.(－∞，3] B.(2，3] C.(2，3) D.[3，＋∞) f(x)2＋，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0＜≤1，所以f(x)∈(2，3].故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)＜0的解集为 A.(e，＋∞) B.(1，＋∞) C.(0，1) D.(0，＋∞) 函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞).因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1＋ln 1－1＝0，所以不等式f(x)＜0的解集为(0，1).故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)已知函数f(x)＝x－，下列说法正确的是 A.当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a＞0时，f(x)的值域为R √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当a＞0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B、C正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)则下列结论正确的是 A.f(x)在R上为增函数 B.f(e)＞f(2) C.若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D.当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2] 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，故A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误.故选BC. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.(多空题)函数y＝－x2＋2｜x｜＋1的单调递增区间为__________________，单调递减区间为____________________. 由于y＝ 即y 画出函数的图象如图所示， 所以单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞). (－∞，－1]和[0，1] (－1，0)和(1，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.(开放题)已知命题p：“若f(x)＜f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是_______________ ______________________________________________________________. 由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)，则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)＜f(4)，满足题意，所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题. f(x)＝(x－1)2， x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)只要满足题意即可) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)已知f(x). (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(6分) 解：证明：当a＝－2时，f(x). 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f－f. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.(7分) 解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f－f . 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是 A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 不妨令x1＜x2，所以x1－x2＜0，＞－1⇔f－f＜－(x1－x2)⇔f＋x1＜f＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，所以g(x1)＜g(x2)，又x1＜x2，所以g(x)＝f(x)＋x是增函数.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.设a∈R，函数f(x)若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为__________. 当x＞1时，x2＋－3a＝x2＋－3a≥3－3a＝12－3a，当且仅当x2，即x＝2时等号成立；当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋9＝(x－a)2＋9－a2，要使得函数f(x)的最小值为f(1)，则解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1，2]. [1，2] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(一题多问)已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＞0. (1)求证：f(x)为奇函数；(4分) 解：证明：取x＝y＝0，得f(0)＝0；取y＝－x， 得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为R上的奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)试判断f(x)的单调性，并加以证明；(5分) 解：f(x)为R上的增函数. 证明如下：任意取x1，x2∈R，且x1＜x2， 则f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1). 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，由已知得f(x2－x1)＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0， 即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为R上的增函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)若对任意的t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)＜0恒成立，求实数k的取值范围.(6分) 解：由f(t－t2)－f(k)＜0得f(t－t2)＜f(k). 因为f(x)为R上的增函数，所以t－t2＜k，即t－t2＜k对∀t∈R恒成立. 因为t－t2＝－(t－)2＋≤，所以k＞. 故实数k的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(新定义)(多选)对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是 A.函数y＝x2＋1是闭函数 B.函数y＝－x3是闭函数 C.函数f(x)是闭函数 D.k＝－2时，函数y＝k＋是闭函数 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，因为y＝x2＋1在定义域内不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，故A错误；对于B，函数y＝－x3在定义域内是减函数，设 [a，b]⊆R，则解得所以存在区间[－1，1]，使得 y＝－x3在[－1，1]上的值域为[－1，1]，所以函数y＝－x3是闭函数，故B正确；对于C，y1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1， ＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)不是闭函数，故C错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于D，y＝－2＋的定义域为[－2，＋∞)，并且在[－2，＋∞)上为增函数，若y＝－2＋是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数的 值域为[a，b]，即所以a，b是方程x＝－2＋ 的两个不相等的实根，整理方程得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝ －1，所以存在区间[－2，－1]⊆[－2，＋∞)，使得函数y＝－2＋的值域为[－2，－1]，所以函数y＝－2＋是闭函数，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. 已知函数f(x)是上的单调函数，且f(f(x)－x－log2x)＝5，则f在[1，8]上的值域为________. 因为f是上的单调函数，所以存在唯一的t∈，使得f5，则f－x－log2x＝t，ft＋x＋log2x，f2t＋log2t＝5.因为y＝2t＋log2t为上的增函数，且2×2＋log22＝5，所以t＝2，所以fx＋log2x＋2.因为f在[1，8]上单调递增，所以f≤f≤f，得3≤f≤13，所以f(x)在[1，8]上的值域为[3，13]. [3，13] 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 函数的单调性与最值 $