第二章 1 第一节 函数的概念及其表示（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数的概念及其表示，覆盖定义域、解析式、分段函数三大高考核心考点，严格依据课标要求落实了解构成要素、表示方法及分段函数应用的考查要求。通过教材梳理构建知识体系，考点探究部分按高考评价体系分析定义域、分段函数等高频考点，归纳出定义域求解、分段函数求值与不等式等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+技巧建模”，融入2022浙江卷分段函数真题解析，通过“规律方法”模块总结定义域“四步法”、解析式“换元配凑法”等突破策略，培养学生数学思维中的推理能力与数学语言的符号表达能力。特设“易错陷阱警示”，助力学生掌握得分技巧，教师可依托系统框架实现高效复习教学。

第一节　函数的概念及其表示 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 课标研读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.　 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.　 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的有关概念 任意 唯一确定 x 定义域 对应关 系 微提醒　(1)直线x＝a(a为常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.(2)判断两个函数是不是同一个函数时，若解析式可以化简，则要注意化简过程的等价性. 2.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)可转化为分段函数的函数 ①含有绝对值的函数：形如y＝｜x｜，y＝｜x－2｜等. ②最值函数：设min{a，b}max{a，b}直观上来说min{a，b}用来表示a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 微提醒 　分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数，各部分函数的定义域的交集是空集. 常用结论 基本初等函数的定义域与值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a＞0时，值域为，＋∞)；当a＜0时，值域为(－∞，. (3)y(k≠0)的定义域是{x｜x≠0}，值域是{y｜y≠0}. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域是R，值域是(0，＋∞). (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域是(0，＋∞)，值域是R. (6)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 1.(多选)下列结论错误的是 A.若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B.函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线 C.y＝x0与y＝1是同一个函数 D.函数f(x)的定义域为R 自主检测 √ √ √ 2.(链接苏教必修一P115T4)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是 √ 3.(多选)(链接人A必修一P67T3)下列各组函数是同一个函数的是 A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B.f(x)与g(x)＝x C.f(x)与g(x) D.f(x)＝x与g(x) f(x)与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)｜x｜的对应关系不同，故B、D错误，A、C正确.故选AC. √ √ 4.已知函数f(x)则f(f(－))＝_____. 1 f3，则ff(3)＝log33＝1. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数的定义域 自主练透 1.函数f(x)的定义域为 A.[－2，0)∪(0，2] B.(－1，0)∪(0，2] C.[－2，2] D.(－1，2] 要使函数有意义，则需解得－1＜x≤2且x≠0，所以x∈ (－1，0)∪(0，2].故选B. √ 2.已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)的定义域是 A.(－∞，－2)∪(－2，3] B.(－8，－2)∪(－2，1] C.∪ D. 因为f(x)的定义域为，所以解得－≤x≤0，且x≠－2.所以g(x)的定义域为∪.故选C. √ 3.已知函数f(2x＋1)的定义域为[1，2]，则函数f(4x＋1)的定义域为 A.[3，5] B.，1］ C.[5，9] D.［0，］ 在f(2x＋1)中，x∈[1，2]，所以2x＋1∈[3，5]，所以在f(4x＋1)中，4x＋1∈[3，5]，所以x∈.故选B. √ 4.若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R.当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0＜a＜.综上，实数a的取值范围是.故选D. √ 1.若已知函数的解析式，其定义域就是使函数解析式中所含式子(运算)有意义，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. 3.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 规律方法 　　　　(一题多变)根据下列条件求函数的解析式： (1)已知f(＋1)＝x＋2，求函数f(x)的解析式； 解：(配凑法)已知f(＋1)＝x＋2，则f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 令t＋1(t≥1)，则f(t)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1). (2)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； 解：(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. 考点二　函数的解析式 师生共研 典例1 (3)已知函数f(x)是单调递增的一次函数，且满足f(f(x))＝16x＋5，求函数f(x)的解析式； 解：(待定系数法)因为f(x)是单调递增的一次函数， 所以设f(x)＝ax＋b，a＞0， 故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以 解得或(不符合题意，舍去). 因此f(x)＝4x＋1. (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 解：(构造法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x①， 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x②， 由①②解得f(x)＝3x. 变式探究 1.(变条件)若本例(1)条件变为fx4＋，则f(x)的解析式为_________________. f(x)＝x2－2(x≥2) fx4＋－2，又x2＋≥22，当且仅当x2，即x＝±1时等号成立.设t＝x2＋，则t≥2，所以f(t)＝t2－2(t≥2)，所以f(x)＝x2－2(x≥2). 2.(变条件)若本例(4)条件变为2f(x)＋f()＝3x，则f(x)的解析式为______________. 因为2f(x)＋f()＝3x①，所以将x用替换，得2f()＋f(x)＝3·②，由①②解得f(x)＝2x－. f(x)＝2x－ 函数解析式的求法 1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.特别注意形如x±与x2＋，ax±a－x与a2x＋a－2x，sin x±cos x与sin xcos x一般都运用配凑法 . 2.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 规律方法 3.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 4.构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)，充分体现了方程思想的应用. 规律方法 对点练1.已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式为____________. 法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，所以f(x)＝3x－1. 法二(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，所以f(x)＝3x－1. f(x)＝3x－1 对点练2.已知fx2＋，则f(x)的解析式为____________. 因为fx2＋＋2，所以f(x)＝x2＋2. f(x)＝x2＋2 对点练3.已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)的解析式为_________________. 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，所以 即所以f(x)x2－x＋2. f(x)x2－x＋2 角度1　分段函数求值 　　　　已知函数f(x)则f A. B. C. D. 考点三　分段函数 多维探究 典例2 fffff 3＋.故选A. √ 角度2　分段函数与方程、不等式 　　　　(1)已知函数f(x)若f(a－2)＝f(a)，则f A.11 B.6 C.4 D.2 由题意得函数f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上均为增函数，因为f(a－2)＝f(a)，所以解得0＜a≤2，所以a2＋a＝5(a－2)＋6，即a2－4a＋4＝0，解得a＝2，符合题意，所以ff(1)＝12＋1＝2.故选D. 典例3 √ (2)设函数f(x)则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是______________. 由题意得，当x＞时，2x＋＞1恒成立，即x＞满足题意；当0＜x≤时，2x＋＋1＞1恒成立，即0＜x≤满足题意；当x≤0时，x＋1＋＋1＝2x＋＞1，所以x＞－，即－＜x≤0.综上，x的取值范围是. 解决分段函数问题的方法 1.求分段函数的函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当求f(f)的值时，应由内到外依次求值. 2.已知函数值或范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 注意：(1)当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.(2)若分段函数某一段的解析式形如ff(m≠0)的形式，则应由此得出函数的周期，利用周期将自变量的值进行转化，然后代入到另一段解析式求值. 规律方法 对点练4.(2025·山东泰安模拟)已知函数f且f－12，则f(6－m)＝ A.－1 B.－3 C.－5 D.－7 由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1＞0，所以方程无解；当m＞1时，f(m)＝4(m＋1)＝－12，得(m＋1)＝－3＝lo8，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f(6－m)＝f(－1)＝2－1＋1－8＝－7.故选D. √ 对点练5.(多选)已知函数f(x)关于函数f(x)的说法正确的是 A.f(f(－2))＝0 B.f(x)的值域为(－∞，4) C.f(x)＜1的解集为(－1，1) D.若f(x)＝3，则x的值是 √ √ √ 函数f(x)的图象如图所示： 易知f(f(－2))＝f(0)＝0，故A正确； f(x)的值域为 (－∞，4)，故B正确；由f(x)＜1解得x∈(－∞，－1) ∪(－1，1)，故C错误；f(x)＝3，即 解得x，故D正确.故选ABD. 对点练6.已知函数f(x)则f(x)＜f(x＋1)的解集为______________. 当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)等价于x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0；当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0，所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)；当x＞1时，x＋1＞2，f(x)＜f(x＋1)等价于log2x＜log2(x＋1)，此时也恒成立.综上，不等式f(x)＜f(x＋1)的解集为. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2022·浙江卷)已知函数f则f________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是__________. 由已知f()＝－＋2，f()－1，所以 f.当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，当x＞1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1＜x≤2＋，1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋，所以[a，b]⊆[－1，2＋]，所以b－a的最大值为3＋. 3＋ (人教A必修一P65例2(3))已知函数f(x)，当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值. 点评：2022年浙江卷高考题与教材例题在考查函数的赋值与整体代换的思想的同时，又在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(－2)＋1)的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 因为f(－2)＝1，所以f(－2)＋1＝2，所以f(f(－2)＋1)＝f(2)＝3.故选C. x x≤0 0＜x＜2 x≥2 y 1 2 3 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.已知函数f(x)则f(f(－3))等于 A.0 B.1 C.2 D.3 因为f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f(f(－3))＝f(8)＝log28＝3.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.已知f，则f(x)＝ A.(x＋1)2(x≠1) B.(x－1)2(x≠1) C.x2－x＋1(x≠1) D.x2＋x＋1(x≠1) f＋1，令t，则f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1).故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.已知函数f(x)若f(x0)＞3，则x0的取值范围是 A.x0＞8 B.x0＜0或x0＞8 C.0＜x0＜8 D.x0＜0或0＜x0＜8 由题意知，当x0≤0时，因为＋1≤2，所以不存在f(x0)＞3；当x0＞0时，由log2x0＞3＝log28，解得x0＞8.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(多选)已知f(x)，则f(x)满足的关系有 A.f(－x)＝－f(x) B.f－f(x) C.ff(x) D.f－f(x) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f(x)，所以f(－x)f(x)，不满足A；f－f(x)，满足B，不满足C；f－f(x)，满足D.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)(2025·山东烟台模拟)存在函数f满足：对于任意的x∈R，都有 A.fcos 2x B.fsin x C.f D.f √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，因为f(sin x)＝cos 2x＝1－2sin2x，令t＝sin x，所以f(t)＝1－2t2，－1≤t≤1，故A正确；对于B，f(cos 2x)＝sin x，取x，f(0)；取x＝－，f(0)＝－，故B错误；对于C，令t＝x2＋2x，所以｜x＋1｜，即f(t)(t≥－1)符合题设，故C正确；对于D，取x＝1，f(2)＝2；取x＝－1，f(2)＝0，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(新定义)(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是 A.y B.y C.y＝1－x2 D.y √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1].y的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0， ＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，故A错误；y的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，故B正确；y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，故C错误；y的定义域A＝[－1，1]，值域B＝[0，1]，则A∩B＝[0，1]，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是_____________. 要使f(x)＝lg 有意义，则＞0，即(1－x)(1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1).要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则解得≤x＜2，所以函数g(x)的定义域为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(开放题)写出一个满足：ff(x)＋f(y)＋2xy的函数解析式为______________________. 令x＝y＝0，解得f0，令x＋y＝0，即y＝－x，所以ff(x)＋f(－x)－2x2，即f(x)＋f(－x)＝2x2，不妨设f(x)＝x2，满足要求(答案不唯一). fx2(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.用max{a，b}表示a，b两个数中的最大值，设函数f(x)＝max{｜x｜，}(x＞0)，若f(x)≥m－1恒成立，则m的最大值是______. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 f(x)＝max(x＞0)，当0＜x＜1时，＞｜x｜＝x；当x＝1时，｜x｜＝x；当x＞1时，＜｜x｜＝x. 所以f(x)画出f(x)的图象如图所示.f(x)在 (0，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝ f(1)＝1，则1≥m－1，即m≤2，m的最大值是2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.已知函数f(x)若f(2 025)＝1，则实数a的值为 A.0 B.1 C.2 D.4 因为当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以 f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－f(0)＝a－1＝1，则a＝2.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(类题对比)(1)已知函数f(x)的定义域为[3，＋∞)，则实数a的值为________，实数b的取值范围为____________. 函数f(x)的定义域为所以而函数f(x)的定义域为[3，＋∞)，所以－a＝3，b＜3，即a＝－3，实数b的取值范围为(－∞，3). －3 (－∞，3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)已知函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是____________；若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是__________. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 若函数f(x)的定义域为R，则有m＞0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，解得m≥，所以实数m的取值范围是.当m＝0时，f(x)，值域是[0，＋∞)，满足条件；令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0，当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件；当m＞0时，g(x)的图象开口向上，只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0，即(m－2)2－4m(m－1)≥0，解得－≤m≤，又m＞0，所以0＜m≤.综上，实数m的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)已知函数f(x). (1)求f＋f(3)，f＋f(2)的值；(3分) 解：已知函数f(x)， 所以f＋f(3)1， f＋f(2)1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)探索f(x)＋f的值；(5分) 解：由f(x)，得f，所以f(x)＋f1. (3)利用(2)的结论求表达式：f()＋f()＋…＋f()＋f(1)＋f(2)＋…＋ f(2 024)＋f(2 025)的值.(7分) 解：由(2)知f(x)＋f1，f(1)， 所以f()＋f()＋…＋f()＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＋f(2 025) ＝2 024＋f(1)＝2 024×1＋. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(新定义)(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.设f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的有 A.f(－1.1)＝0.9 B.函数f(x)的图象关于原点对称 C.f(x＋1)＝f(x)＋1 D.函数f(x)的值域为[0，1) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，因为f(x)＝x－[x]，所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－ (－2)＝0.9，故A正确；对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝0.5，所以f(0.5)＋ f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B错误；对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x＜k＋1，此时有k＋1≤x＋1＜k＋2，所以f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－(k＋1)＝x－k，f(x)＝x－[x]＝x－k，故C错误；对于D，由C分析可知∀x∈R，总有f(x＋1)＝f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数，不妨设0≤x＜1，则此时有0≤f(x)＝x－[x]＝x－0＝x＜1，因此函数f(x)的值域为[0，1)，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(开放题)已知函数f(x)试举出一个a的值，使得f(a)＋f(6－a)成立，则a可以为______________________(写出一个即可). －1或7(写出一个即可) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 因为函数f(x)可得当x＞1时，f(x)＝log2(x＋1)＞log22＝1，当x≤1时，f(x)＝2x－1－2≤20－2＝－1.当a＞1且6－a＞1，即1＜a＜5时，f(a)＋f(6－a)＞1＋1与f(a)＋f(6－a)矛盾，不符合题意；当a＞1且6－a≤1，即a≥5时，f(a)＋f(6－a)＝log2(a＋1)＋25－a－2，则a＝7；当a≤1且6－a＞1，即a≤1时，则f(a)＋f(6－a)＝log2(7－a)＋2a－1－2，则a＝－1.综上所述，a可以为－1或7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数的概念及其表示 $