第一章 5 教材拓展1 基本不等式链与柯西不等式（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式链与柯西不等式”核心考点，依据高考评价体系明确不等式应用的考查要求，通过梳理调和、几何、算术、平方平均数关系及二维三维柯西不等式，分析近五年考点权重，归纳最值求解、代数式大小比较等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“典例解析+对点训练”模式，以高考真题题型为载体，强化数学思维与模型观念素养，如用基本不等式链解决“a+b=1时√ab最值”（典例1A），柯西不等式构造平方和求“x+2y+3z=1时x²+y²+z²最小值”（对点练3），帮助学生掌握“一正二定三相等”等技巧，教师可借助系统框架提升复习效率。

教材拓展1　基本不等式链与柯西不等式 高三一轮复习讲义 人教版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 题型一　基本不等式链 基本不等式≤(a＞0，b＞0)可以拓展为如下的基本不等式链： 若a＞0，b＞0，则≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立，其中， 分别叫做a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 利用这个基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值类问题的求解更加方便. 　　　 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则 A.有最大值 B.有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.有最大值 典例1 √ √ √ 对于A，由基本不等式可得≤，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；对于B，由≤，得≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b时等号成立，故B错误；对于C，由≥，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；对于D，由≤，得≤，当且仅当a＝b时等号成立，故D正确.故选ACD. 对点练1.已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是 A. B. C. D. 因为a，b为互不相等的正实数，所以 ＜ ，所以最大的是.故选B. √ 对点练2.若a＞0，b＞0，且a＋2b＝3，则a2＋4b2的最小值等于______，的最大值等于______. 由基本不等式≤，可得≥，所以a2＋4b2≥，当且仅当a＝2b时等号成立.≤ ，所以≤，当且仅当a＝2b时等号成立. 1.二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立. 2.三维形式的柯西不等式 ()()≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当时，取等号. 题型二　 柯西不等式 　 　　(1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 由柯西不等式，得(22＋32)(x2＋y2)≥(2x＋3y)2＝132，所以x2＋y2≥13，当且仅当，即x＝2，y＝3时取等号. 典例2 13 (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为____. 由柯西不等式，得()2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c时，的最大值为. 对点练3.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为 A.14 B. C.29 D. 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当x，y，z时等号成立.故选B. √ 对点练4.(一题多解)当＜x＜时，函数y的最大值为________. 法一：由柯西不等式，得[()2＋()2](1＋1)≥ ()2，所以()2≤8，即 ≤2，当且仅当，即x时等号成立. 法二： 由≤，得a＋b≤2，则y≤ 22，当且仅当，即x时等号成立. 2 谢 谢 观 看 基本不等式链与柯西不等式 $