第一章 4 第四节 基本不等式（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦基本不等式核心考点，依据课标要求掌握不等式应用及最值求解。通过教材梳理夯实基础，对接高考评价体系分析考点权重，归纳配凑法、常数代换法等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如2022新高考Ⅱ卷、2021全国乙卷真题解析，培养学生数学思维与模型意识。通过典例剖析配凑法、消元法等突破方法，帮助学生掌握答题技巧提高得分率，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

第四节　基本不等式 高三一轮复习讲义 人教版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，并能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　 2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.基本不等式：≤ a＞0，b＞0 a＝b 不小于 2.利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有______2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当______时，积xy有____值(简记：和定积最大). 微提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”. 最小值 x＝y 最大 常用结论 几个重要的不等式 当且仅当a＝b时，等号成立. 1.(多选)下列说法错误的是 A.不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B.函数y＝x＋(x＞0)的最小值是2 C.函数f(x)＝sin x＋的最小值为4 D.已知x，y均为实数，则“x＞0且y＞0”是“≥2”的充要条件 自主检测 √ √ √ 2.(链接人教A必修一P45例1)设a＞0，则9a＋的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 3.已知0＜x＜3，则x(3－x)的最大值为________. 因为0＜x＜3，所以x(3－x)≤.当且仅当x＝3－x，即x时，“＝”成立. 4.(链接人教A必修一P46例3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____m2. 25 设矩形的一边长为x m，面积为y m2，则另一边长为 m，其中0＜x＜10，所以y＝x≤25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　利用基本不等式求最值 多维探究 角度1　配凑法 　　　 (1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为_____. 因为x＞，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋4x－5＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当4x－5，即x时取等号. 典例1 5 (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为_____. x(3－2x)·2x(3－2x)≤·，当且仅当2x＝3－2x，即x时取等号. 角度2　常数代换法 　 　　(1)(2025·江苏扬州调研)设x＞0，y＞0，＋2y＝2，则x＋的最小值为 A. B.2 C. D.3 因为＋2y＝2，所以＋y＝1，因为x＞0，y＞0，所以x＋＋xy＋＋1＋xy＋≥＋2＋2×，当且仅当即时取等号.故选C. 典例2 √ (2)(2025·湘豫名校联考)已知正实数x，y满足1，则4xy－3x的最小值为 A.8 B.9 C.10 D.11 由x＞0，y＞0，且1，可得xy＝x＋y，所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y，所以x＋4y＝(x＋4y)5＋≥9，当且仅当，即x＝3，y时取等号，所以4xy－3x≥9.故选B. √ 角度3　消元法 　 　　 (1)已知正实数a，b满足＋b＝1，则的最大值为_____. 因为正实数a，b满足＋b＝1，1－b＞0，0＜b＜1，·2b＝(1－b)·2b＝2·b·(1－b)≤2，当且仅当b＝1－b，即b，a＝2时等号成立. 典例3 (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是_____. 因为x2＋2xy－3＝0，x＞0，y＞0，所以y，x∈(0，)，所以2x＋y＝2x＋≥23，当且仅当，即x＝1时取等号. 3 角度4　换元法 　　 　已知正数x，y满足1，则x＋y的最小值为____. 令x＋2y＝m，2x＋y＝n，则1，m＋n＝(x＋2y)＋(2x＋y)＝3(x＋y)，所以x＋y(m＋n)≥(2＋2)，当且仅当，即m＝2，n＝2时等号成立，此时x＝y，故x＋y的最小值为. 典例4 　　利用基本不等式求最值的方法 1.利用配凑法求最值，主要解决形如“cx＋d＋或ax(c－bx)的最值”问题，配凑成“积为常数”或“和为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”问题，先将转化为·，再用基本不等式求最值. 规律方法 　　3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值. 注意：角度4中的换元法实质还是配凑法或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用. 规律方法 对点练1.(多选)(2024·湖南“一起考”大联考)已知a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则 A.a＋b≤4 B.ab≥4 C.a＋4b≤9 D.≥ √ √ 对于A、B，因为a＋b＝ab≤，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，a＋b＝ab≥2，则ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A错误，B正确；对于C，若a＋b＝ab，则1，所以a＋4b5＋≥5＋29，当且仅当，即b，a＝3时等号成立，故C错误；对于D，若a＋b＝ab，则1，所以＋1，由a＞0，b＞0及1，可知0＜＜1，则当，即a，b＝3时，取得最小值，故D正确.故选BD. 对点练2.已知a＞1，b＞0，且1，则2a＋b的最小值为_____. 因为a＞1，b＞0，a－1＞0，所以2a＋b＝2(a－1)＋b＋2＝[2(a－1)＋b]＋2＝7＋≥7＋211，当且仅 当即a＝4，b＝3时等号成立. 11 　　　 (1)若对于任意的x＞0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为 A.[5，＋∞) B.(5，＋∞) C.(－∞，5] D.(－∞，5) 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 师生共研 典例5 令f(x)，x＞0，由题意可得a≤f(x)min，f(x)＝x＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x，即x＝1时等号成立，a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围为(－∞，5].故选C. √ (2)已知x＞0，y＞0，且1，若2x＋y＜m2－8m有解，则实数m的取值范围为 A.(－∞，－1)∪(9，＋∞) B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9，1] √ 因为x＞0，y＞0，且1，所以2x＋y＝(2x＋y)5＋≥5＋29，当且仅当，且1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9，若2x＋y＜m2－8m有解，则9＜m2－8m，解得m＞9或m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9， ＋∞).故选A. 　　分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题. 规律方法 对点练3.(2025·安徽蚌埠模拟)已知a2＋b2＝k，若≥1恒成立，则k的最大值为 A.4 B.5 C.24 D.25 因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)[a2＋(b2＋1)]＋13≥2＋13＝25，当且仅当，即3a2＝2(b2＋1)(k＋1)时等号成立，即≥，由题意可得≥1，又k＞0，解得0＜k≤24，故k的最大值为24.故选C. √ 对点练4.若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是__________. 因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥24，即≥4⇒xy≥16，当且仅当y＝4x时等号成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8，则实数m的取值范围是[－2，8]. [－2，8] 　 　　(链接人教A必修一P58T9)某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则S的最小值是________，此时x的值是________. 考点三　基本不等式的实际问题 师生共研 典例6 118 000 由题知，AM，又AM＞0，则0＜x＜10，S＝ 4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×4 200x2＋ 42 000－210x2＋4 000x2＋＋38 000≥ 2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2 ，即 x时等号成立，所以当x时，S取最小值118 000. 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 规律方法 对点练5.为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为 A.6 B.12 C.18 D.24 √ 设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A－1－1≥－1－1，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cos A)min，所以(sin A)max，所以四边形AMBN的最大面积为2××5×5×24(平方米)，此时四边形AMBN是 边长为5米的菱形.故选D. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 1.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 √ √ 因为ab≤()2≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3()2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，故A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；因为x2＋y2－xy＝1变形可得(x－)2＋y2＝1，设x－cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，ysin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋sin(2θ－)∈，2]，所以当x，y＝ －时满足等式，但是x2＋y2≥1不成立，故D错误.故选BC. (人教A必修一P58T5)若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 点评：该高考题与教材习题都是条件求最值问题，都涉及到x＋y与xy的转化及不等关系，通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查. 教材呈现 真题再现 2.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是 A.y＝x2＋2x＋4 B.y＝｜sin x｜＋ C.y＝2x＋22－x D.y＝ln x＋ √ 对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝｜sin x｜＋≥24，所以y≥4，当且仅当｜sin x｜，即｜sin x｜＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知｜sin x｜＝2不可能成立，因此可知y＞4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x≥24，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意；对于D，当0＜x＜1时，ln x＜0，y＝ln x＋＜0，所以D不符合题意.故选C. [教材呈现]　(人教A必修一P46T2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＞2；(2). 点评：该高考题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.的最大值为 A.9 B. C.3 D. 当－6≤a≤3时，3－a≥0，a＋6≥0，由基本不等式得 ≤，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为 A.4－1 B.4＋2 C.4＋1 D.6 因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋3－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)，即x－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是 A. B.1 C.2 D. a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤＋(a＋2b)，当且仅当a＝2b时取等号，因此(a＋2b)2＋4(a＋2b)－12≥0，即(a＋2b＋6)(a＋2b－2)≥0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a＋2b取得最小值2.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝20×4＋10×( 2x＋)≥80＋20160，当且仅当2x，即x＝2时取等号.所以该容器的最低总造价是160元.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.设实数x，y满足x＋y＝1，y＞0，x≠0，则的最小值为 A.2－1 B.2＋1 　 C.－1 D.＋1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当x＞0时，＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当，即x－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x＜0时，－1≥2－1＝2－1，当且仅当，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1.所以的最小值为2－1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 A.x2＋y的最小值为 B.的最小值为8 C.的最大值为 D.log2x＋log4y没有最大值 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1).所以x2＋y＝x2－x＋1，当x时，x2＋y的最小值为，故A正确； 5＋≥5＋29，当且仅当x，y时等号成立，故B错误；x＋y＋21＋2≤1＋x＋y＝2，当且仅当x＝y时等号成立，故≤，即的最大值为，故C正确；log2x＋log4y＝log2x＋log2log2，x2y＝x2x·x·≤ )3，当且仅当x＝2－2x，即x时等号成立，所以x≤.所以log2x＋log4y有最大值log2，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是 A.a＋b＋≥2 B. C.≥a＋b D.(a＋b)≥4 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2≥2，当且仅当a＝b且2，即a＝b时取等号，故A正确；因为a＋b≥2＞0，所以≤，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为≤ ，当且仅当a＝b时取等号，所以a＋b－≥2，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，即≥a＋b，故C正确；因为(a＋b)2＋≥2＋24，当且仅当a＝b时取等号，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.函数y(x＞－1)的最小值为_____. 因为yx－1＋x＋1＋－2(x＞－1)，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时等号成立.所以y(x＞－1)的最小值为0. 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(开放题)写出一个关于a与b的等式，使是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为______________________. 该等式可为a2＋b2＝1，证明如下：1＋9＋≥10＋216，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以是一个变量，且它的最小值为16. a2＋b2＝1(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(2025·江苏南京六校联考)函数y＝loga(x＋2)－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为_____. 对于函数y＝loga(x＋2)－3，令x＋2＝1，可得x＝－1，y＝－3，可知A(－1，－3)，若点A(－1，－3)在直线mx＋ny＋1＝0上，则－m－3n＋1＝0，即m＋3n＝1，则＋3，且mn＞0，则＞0，可得＋3≥2＋3＝5，当且仅当，即m＝n时等号成立，所以的最小值为5. 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(2025 ·江苏苏州3月适应性考试)已知a，b∈R，a＋b＝4，则的最大值为 A. B. C. D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为a＋b＝4，所以a2＋b2＋2ab＝16≥4ab，所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，从而，令t＝ab≤4，设y，显然y＞0，则yt2＋2t＋17y－18＝0，因为关于t的一元二次方程有实数根，所以Δ＝4(1－y)2－4y≥0，整理得－64y2＋64y＋4≥0，即16y2－16y－1≤0，解得≤y≤，注意到y＞0，从而0＜y≤，当且仅当Δ＝0时等号成立，即t1－1－49－4＜22＝4，所以y的最大值，即的最大值为.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.已知x＞0，y≥0，且x＋2y＝1.若m2－m≤恒成立，则实数m的取值范围为__________. 因为x＞0，y≥0，且x＋2y＝1，所以 －10≥2－10＝－2，当且仅当，即x＝1，y＝0时等号成立，则m2－m≤－2，即m2－5m＋4≤0，解得1≤m≤4，则实数m的取值范围为[1，4]. [1，4] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)(一题多问)已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2. (1)求的最小值；(5分) 解：法一：≥2，当且仅当，即a＝b时取等号，所以. 法二：－2)(2a＋b)－2－2≥－2，当且仅当，即a＝b时取等号，所以. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)求的最小值；(5分) 解：因为2a＋b＝2，所以2a＋(b＋1)＝3，所以[2a＋(b＋1)](4＋)≥(4＋2)，当且仅当，即a，b时取等号，所以. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)求4a2＋6ab＋b2的最大值.(5分) 解：由2＝2a＋b≥2得2ab≤1， 所以4a2＋6ab＋b2＝(2a＋b)2＋2ab＝4＋2ab≤5， 当且仅当2a＝b，2a＋b＝2，即b＝2a＝1时取等号， 所以(4a2＋6ab＋b2)max＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(2025·江西重点中学协作体联考)已知正数x，y满足x＋y＝6，若不等式a≤恒成立，则实数a的取值范围是__________. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为x＋y＝6，所以t ＝x＋1＋－2＋y＋2＋－4＝3＋，所以t＝3＋3＋≥＋24，当且仅当y＝4，x＝2时等号成立，所以4，a≤4，故实数a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2025·浙江宁波“十校”联考)已知正实数a，b，c满足b＋c＝1，则的最小值为________. 16 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 因为b＋c＝1，所以a·a· a·a·(＋2)＋，由于b，c为正实数，故由基本不等式得≥26，当且仅当，即b，c时，等号成立，所以a·(＋2)＋ ≥8a＋8(a＋1)＋－8≥2－8＝16，当且仅当8(a＋1)，即a时等号成立，综上，的最小值为16. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 基本不等式 $