第一章 3 第三节 等式性质与不等式性质（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等式性质与不等式性质”核心考点，依据高考评价体系梳理比较大小、性质应用等考查要求。通过教材梳理夯实作差作商法等基础方法，结合考点探究归纳比较大小、性质判断、取值范围三类常考题型，精准对接高考高频考点分布。 课件亮点在于“真题链接+规律方法+变式训练”的备考策略，如链接教材例题及2024九省适应性测试题，提炼作差法、构造函数法等突破方法，培养学生数学思维与推理能力。课时测评含15道分层试题，助力学生掌握答题技巧，教师可据此实现高效复习教学。

第三节　等式性质与不等式性质 高三一轮复习讲义 人教版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.梳理等式的性质.　 2.会比较两个数(式)的大小.　 3.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，并能简单应用. 03 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.两个实数比较大小的方法 a＞b a＝b a＜b a＞b a＝b a＜b 2.等式的性质 性质 内容 注意 性质1(对称性) 如果a＝b，那么______ 可逆 性质2(传递性) 如果a＝b，b＝c，那么______ 单向 性质3 (可加(减)性) 如果a＝b，那么a±c＝b±c 可逆 性质4(可乘性) 如果a＝b，那么ac＝bc 单向 性质5(可除性) 如果a＝b，c≠0，那么 可逆 b＝a a＝c 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 传递性 a＞b，b＞c⇒______ 同向 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒__________； a＞b，c＜0⇒__________ c的符号 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒__________ 同向，同正 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2) 同正 可开方性 a＞b＞0⇒(n∈N，n≥2) 同正 a＞c ac＞bc ac＜bc ac＞bd 常用结论 (1)倒数性质 若ab＞0，且a＞b⇔； 若ab＜0，且a＞b⇔； 若a＞b＞0，0＜c＜d⇒. (2)有关分数的性质 若b＞a＞0，m＞0，则 ①(a－m＞0)(真分数越加越大，越减越小)； ②(a－m＞0)(假分数越加越小，越减越大). 1.(多选)下列说法正确的是 A.两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种 B.若＞1，则a＞b C.同向不等式具有可加性和可乘性 D.两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 自主检测 √ √ 因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1＞0，所以M ＞N.故选A. 2.(链接人教A必修一P38例1)若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有 A.M ＞N B.M ≥N C.M＜N D.M≤N √ 因为a＜b＜0，由不等式的性质可知，－a＞－b＞0，ab＞0，所以－＜－，所以，故A错误，D正确；由a＜b＜0，可得ab＞b2＞0，a2＞ab＞0，故B、C错误.故选D. 3.(链接人教A必修一P43T8)如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是 A. B.ab＜b2 C.ab＞a2 D.－＜－ √ 返回 4.实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是 A.＜1 B.2－x＜2－y C.lg(x－y)＞0 D.x2＞y2 √ 考点探究　提升能力 返回 考点一　数(式)的大小比较 自主练透 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4＞0，所以M ＞N.故选B. 1.已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为 A.M＜N B.M ＞N C.M≤N D.M ≥N √ 由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B. 2.设a，b∈[0，＋∞)，A，B，则A，B的大小关系是 A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B √ 法一：易知a，b都是正数，log89＞1，故a＜b. 法二：令f(x)，所以f'，当x∈(e，＋∞)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减， 所以f(4)＜f(3)，即，故a＜b. 3.若a，b，则a____b.(填“＞”或“＜”) ＜ 　　数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论. 2.作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论. 3.构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 规律方法 　　　(1)若a，b，c为实数，且a＜b，c＞0，则下列不等关系一定成立的是 A.a＋c＜b＋c B. C.ac＞bc D.b－a＞c 考点二　不等式的性质 师生共研 对于A，由不等式的性质知，a＜b⇒a＋c＜b＋c，故A正确；对于B，若a＝－2，b＝－1，则，故B错误；对于C，由不等式的性质知，c＞0，a＜b⇒ac＜bc，故C错误；对于D，a＜b⇒b－a＞0，又c＞0，所以无法判断b－a与c的大小，故D错误.故选A. 典例1 √ 对于A，因为a＞b＞c，所以a－c＞b－c＞0，所以，故A错误；对于B，因为a＞b＞c，a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，a－b＞0，所以b＋c＝－a＜0，所以a－b＞b＋c，即a－c＞2b，故B正确；对于C，因为a－b＞0，a＋b＝－c＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，即a2＞b2，故C正确；对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，故D错误.故选BC. (2)(多选)已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是 A. B.a－c＞2b C.a2＞b2 D.ab＋bc＞0 √ √ 判断不等式的常用方法 1.利用不等式的性质逐个验证. 2.利用特殊值法排除错误选项. 3.作差法. 4.构造函数，利用函数的单调性验证. 规律方法 对点练1.若a＞0＞b，则 A.a3＞b3 B.｜a｜＞｜b｜ C. D.ln(a－b)＞0 因为a＞0＞b，所以a3＞0，b3＜0，即a3＞b3，故A正确；取a＝1，b＝ －2，则｜a｜＞｜b｜不成立，不成立，故B，C错误；取a，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误.故选A. √ 对点练2.(多选)若＜0，则下列不等式正确的是(　　 ) A. B.｜a｜＋b＞0 C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2 由＜0，可知b＜a＜0.对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，则，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；对于C，因为b＜a＜0，又＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2＞ln a2，故D错误.故选AC. √ √ 　　　(1)(一题多变)已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________. 考点三　不等式性质的综合应用 师生共研 因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18. 典例2 (－4，2) (1，18) 因为4＜b＜9，所以，又3＜a＜8，所以×3＜×8，即＜2. (2)已知3＜a＜8，4＜b＜9，则的取值范围是__________. (，2) 变式探究 (变条件)若将本例(1)中条件改为“－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3”，求3x＋2y的取值范围. 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则所以 即3x＋2y(x＋y)＋(x－y)，又因为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3， 所以－(x＋y)＜10，1＜(x－y)＜， 所以－(x＋y)＋(x－y)＜，即－＜3x＋2y＜， 所以3x＋2y的取值范围为(－). 根据不等式的性质求取值范围的策略 1.严格运用不等式的性质，注意其成立的条件. 2.同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围. 3.运用待定系数法建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 规律方法 对点练3.已知0＜β＜α＜，则α－β的取值范围是________. ( 0，) 因为0＜β＜，所以－＜－β＜0，又0＜α＜，所以－＜α－β＜，又β＜α，所以α－β＞0，即0＜α－β＜，即α－β的取值范围为(0，). 对点练4.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是__________. (－3，－1) 因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即c＜－a，得＜－1，所以－3＜＜－1，即的取值范围为(－3，－1). 返回 课 时 测 评 返回 因为0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)＞0，所以M ＞N.故选B. 1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是 A.M＜N B.M＞N C.M＝N D.M≥N √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，当c＝0时，由a＞b不能推出ac2＞bc2，故A错误；对于B，当a＞0，b＜0时，由a＞b不能推出，故B错误；对于C，当c＝0时，由a＞b不能推出＞0，故C错误；对于D，由a＞b⇒a－b＞0，又c2≥0，所以c2≥0，故D正确.故选D. 2.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是 A.ac2＞bc2 B. C.＞0 D.c2≥0 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，显然正确；对于B，当c＜0时，有ac＜bc，故B错误；对于C，当a＜0，b＞0时，满足，但此时a＜b，故C错误；对于D，当a＝ －3，b＝2时，满足a2＞b2，但此时a＜b，故D错误.故选A. 3.设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是 A.若a＞b，则a＋c＞b＋c B.若a＞b，则ac＞bc C.若，则a＞b D.若a2＞b2，则a＞b √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，所以当0＜a＜b时，a－＜b－，充分性成立；当a＜b＜0时，a－＜b－成立，而a－＜b－不能推出0＜a＜b，必要性不成立，所以“0＜a＜b”是“a－＜b－”的充分不必要条件.故选A. 4.“0＜a＜b”是“a－＜b－”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是 A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若，则a＜b C.若a＜b＜c＜0，则 D.若a＞b，则a2＞b2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，当c＝0时不满足，故A错误；对于B，由不等式性质知，两边同时乘以c2＞0，可得a＞b，故B错误；对于C，若a＜b＜c＜0，则a＋c＜0，b－a＞0，(b－a)c＜0，a(a＋c)＞0，故＜0，即，故C正确；对于D，取a＝－1，b＝－2，可得a2＜b2，故D错误.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是 A.ad＞bc B.＜0 C.a－c＞b－d D.a(d－c)＞b(d－c) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中是真命题的是 A.若ac2＞bc2，则a＞b B.若bc－ad≥0，bd＞0，则≤ C.若a＜b＜0，则 D.若a＞b，，则a＞0，b＜0 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，若ac2＞bc2，则c2＞0，所以a＞b，故A正确；对于B，若bc－ad≥0，bd＞0，则≥0，化为≥，可得≤，故B正确；对于C，若a＜b＜0，则a2＞b2＞0，ab＞0，可得＜0，故，故C错误；对于D，若a＞b，，则＞0，所以ab＜0，所以a＞0，b＜0，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2＞b2＞c2，此时a＋b＝－4＜0，所以a＋b＞c是假命题. 8.(开放题)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a2＞b2＞c2，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_________________________. －3，－1，0(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为－4＜β＜2，所以0≤｜β｜＜4，又1＜α＜3，所以2＜2α＜6，所以2＜2α＋｜β｜＜10. 9.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则2α＋｜β｜的取值范围是________. (2，10) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 －()(a－b)·()，因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，所以≥0.所以≥. 10.已知a＋b＞0，则与的大小关系是__________________. ≥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则 A.1≤x≤4 B.－2≤y≤1 C.2≤4x＋y≤15 D.≤x－y≤6 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，所以3≤3x≤12，所以1≤x≤4，故A正确；因为所以－2≤－3y≤11，解得－≤y ≤，故B错误；因为4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)，－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9，所以2≤4x＋y≤15，故C正确；因为x－y＝－(x＋y)＋(2x－y)，－1≤－(x＋y)≤≤(2x－y)≤6，所以≤x－y≤，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(开放题)给出三个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③ .能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是____________________.(答案不唯一，写出一个即可) a＞b＞0(答案不唯一) 使三个不等式同时成立的一个条件是a＞b＞0，当a＞b＞0时，①②显然成立，对于③，()2－()2＝2－2b＝2)，因为a＞b＞0，所以2)＞0，所以()2－()2＞0，即. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.已知M，N，则M，N的大小关系为________. M＞N 法一：M－N 法二：令f(x)，显然f(x)是R上的减函数，所以f(2 024)＞f(2 025)，即M＞N. ＞0.所以M＞N. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.已知a＞b＋1＞1，则下列不等式一定成立的是 A.｜b－a｜＞b B.a＋＞b＋ C. D.a＋ln b＜b＋ln a √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 取a＝10，b＝8，则｜b－a｜＜b，故A错误；取a＝3，b，则a＋b＋，故B错误；取a＝3，b＝1，则a＋ln b＝3，b＋ln a＝1＋ln 3＜1＋ln e2＝3，即a＋ln b＞b＋ln a，故D错误；对于C，证明一个不等式：ex≥x＋1，令y＝ex－x－1，则y'＝ex－1，于是x＞0时，y'＞0，y＝ex－x－1单调递增；x＜0时，y'＜0，y＝ex－x－1单调递减，所以x＝0时，y有极小值，也是最小值e0－0－1＝0，于是y＝ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号.ex≥x＋1，当x＞－1时，两边同时取以e为底的对数可得，x≥ln(x＋1)，用(x－1)替换x，得到x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取等号，因为a＞b＋1＞1，所以eb＞b＋1，ln a＜a－1，＞1＞，即，故C正确.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2024·九省适应性测试)以maxM表示数集M中最大的数.设0＜a＜b＜c＜1，已知b≥2a或a＋b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为_____. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 令b－a＝m，c－b＝n，1－c＝p，其中m，n，p＞0，所以 ①若b≥2a，则1－n－p≥2(1－m－n－p)，故2m＋n＋p≥1. 令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，因此故4M≥2m＋n＋p≥1， 则M≥，当2m＝n＝p时，等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 ②若a＋b≤1，则(1－n－p)＋(1－m－n－p)≤1，即m＋2n＋2p≥1，令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，则 故5M ≥m＋2n＋2p≥1，则M ≥，当m＝2n＝2p时，等号成立.综上可知max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 等式性质与不等式性质 $