第一章 2 第二节 常用逻辑用语（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦常用逻辑用语专题，覆盖充分必要条件判断、全称与存在量词命题等高考核心考点，严格依据课标要求梳理概念，通过近三年高考真题分析明确充分条件应用占比45%、命题否定占30%的高频考点，归纳出条件判断、参数范围求解等三类常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题精讲+方法建模”，如以2024全国甲卷向量垂直条件题为例，用集合法突破充分必要条件判断，培养学生数学思维。总结双量词命题“恒成立与存在性”解题策略，设易错点警示，助力学生掌握逻辑推理技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第二节　常用逻辑用语 高三一轮复习讲义 人教版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；理解判定定理与 充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充 要条件的关系.　 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；能正 确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 若p⇒q，则p是q的________条件，q是p的________条件 p是q的______________条件 p⇒q且q⇏p p是q的______________条件 p⇏q且q⇒p p是q的________条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 微提醒　 (1)A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且B⇏A.(2)A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且A⇏B.　 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 2.全称量词命题与存在量词命题 ∃ ∀ ∀x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 微提醒　(1)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.(2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.　 常用结论 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x｜p(x)}，B＝{x｜q(x)}. (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； (3)若p是q的必要不充分条件，则B⫋A； (4)若p是q的充要条件，则A＝B； (5)若p是q的既不充分又不必要条件，则A⊈B且B⊈A. 1.(多选)下列结论正确的是 A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B D.命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题 自主检测 √ √ √ 2.(多选)(链接人教A必修一P34T5)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是 A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 √ √ √ 3.(链接人教A必修一P31T3)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是 A.∃x0∈R，＋x0≤0　　 B.∃x0∈R，＋x0＜0 C.∀x∈R，x2＋x≤0 D.∀x∈R，x2＋x＜0 由全称量词命题的否定是存在量词命题并且否定结论知选项B正确. √ 4.若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是 _________. (－∞，1) 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　充分、必要条件的判断 自主练透 1.(2024·全国甲卷)设向量a＝，b＝，则 A.x＝－3是a⊥b的必要条件 B.x＝－3是a∥b的必要条件 C.x＝0是a⊥b的充分条件 D.x＝－1＋是a∥b的充分条件 √ 对于A，当a⊥b时，则a·b＝0，所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或－3，即必要性不成立，故A错误；对于C，当x＝0时，a＝，b＝，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.故选C. 2.(2024·湖南怀化二模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由q⇒p，反之不成立.所以p是q的必要不充分条件.故选B. 3.(2025·江西南昌模拟)已知p：ln＞0，q：∃x＞0，≤a，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由ln＞0，得⇒a＞2，设p：A＝＝，由∃x＞0，≤a的否定为∀x＞0，＞a，令f＝＝x＋≥2，当且仅当x＝时，又x＞0，即x＝1时等号成立，若∀x＞0，＞a，则a＜2，若∃x＞0，≤a，则a≥2，设q：B＝{a|a≥2}，因为{a|a≥2}⊇，所以p⇒q且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 　　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.适用于定义、定理判断性问题. 2.集合法：即利用集合的包含关系判断.多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 规律方法 　　　　(1)命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A.a≥9 B.a≤9 C.a≥10 D.a≤10 考点二　充分、必要条件的探求与应用 师生共研 命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇒“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇒“a≥9”.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. 典例1 √ 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x｜－2≤x≤10}.因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，又S≠⌀，所以解得0≤m≤3，故实数m的取值范围为[0，3]. (2)(一题多变)已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m的取值范围为____________. [0，3] 变式探究 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为__________. [9，＋∞) 由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.因为¬P是¬S的必要不充分条件，所以P是S的充分不必要条件，所以P⇒S且S⇏P.所以[－2，10]⫋[1－m，1＋m].所以所以m≥9，则实数m的取值范围是[9，＋∞). 2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由. 解：不存在m，理由如下：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， 所以 这样的m不存在. 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 规律方法 对点练1.若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为 A.－2＜x＜1 B.－1＜x＜1 C.0＜x＜2 D.－1＜x＜0 不等式x2＜1等价于－1＜x＜1，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(－1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意.故选A. √ 对点练2.已知“(x－m)2＞3(x－m)”是“x2＋3x－4＜0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________________. 由(x－m)2＞3(x－m)得x＜m或x＞3＋m，设p：x＜m或x＞3＋m；由x2＋3x－4＜0得－4＜x＜1，设q：－4＜x＜1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，可得m≥1或m≤－7. (－∞，－7]∪[1，＋∞) 角度1　含量词命题的否定 　　　　(一题多变)已知命题p：∀x≥0，ln(1＋x)≥x－，则命题p的否定为 A.∀x≥0，ln＜x－ B.∃x≥0，ln＜x－ C.∀x＜0，ln＜x－ D.∃x＜0，ln＜x－ 考点三　全称量词命题与存在量词命题 多维探究 典例2 √ 根据含有全称量词命题的否定可知，命题p：∀x≥0，ln≥x－，则命题p的否定为∃x≥0，ln＜x－.故选B. 变式探究 (变条件)若将本例中的“∀”改为“∃”，如何选择答案？ 解：p：∃x≥0，ln(1＋x)≥x－的否定为¬p：∀x≥0，ln(1＋x)＜x－.故选A. 典例3 角度2　含量词命题的真假判断 　　　　(多选)下列命题中的真命题是 A.∀x∈R，3x－1＞0 B.∀x∈N*，(x－1)2＞0 C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 √ √ √ 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确.故选ACD. 角度3　含量词命题的应用 　　　　(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为______________. 典例4 (－∞，－2] 由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]. (2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)＞g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是____________. f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m.由题知f(x)min＞g(x)max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是(－∞，0). (－∞，0) 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围. 规律方法 3.含有双量词命题的类型 (1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔f(x1)max≤g(x2)min. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空. (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集. 规律方法 ∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1＜0，故A项是真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以≤＜，故D项是假命题.故选ABC. 对点练3.(多选)下列命题是真命题的是 A.∀x∈R，－x2－1＜0 B.∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D.存在实数x，使得＝ √ √ √ 因为p为假命题，所以¬p为真命题，故∀x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1≥0，即∀x∈(0，＋∞)，λ≤x＋.又当x∈(0，＋∞)时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2].故选A. 对点练4.已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，使得x2－λx＋1＜0成立.若p为假命题，则实数λ的取值范围是 A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，2] D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) √ 因为对∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，所以f(x1)min≥g(x2)min.因为f(x)＝x2，x∈[－1，3]，所以f(x)min＝f(0)＝0.因为g(x)＝－m，x∈[0，2]，所以g(x)min＝g(2)＝－m.由0≥－m，得m≥，即实数m的取值范围为. 对点练5.已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_______________. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 对于p而言，取x＝－1，则有＝0＜1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.故选B. 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x，则 A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 √ (人教A必修一P35T7)写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根； (2)每个正方形都是平行四边形； (3)∃m∈N，∈N； (4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°. 点评：该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题角度完全相同. 教材呈现 2.(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 真题再现 √ a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时等号成立，所以二者互为充要条件.故选C. (人教A必修一P22习题T2)在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件““充要条件”“既不充分也不必要条件“回答)： (1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0(a≠0)；(3)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(4)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(5)p：x＞y，q：x2＞y2. 点评：该高考试题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材习题角度完全一致，且难度小于教材习题. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.命题“∃x＞0，x2－2｜x｜－2 025＜0”的否定是 A.∃x＞0，x2－2｜x｜－2 025≥0 B.∃x≤0，x2－2｜x｜－2 025≥0 C.∀x＞0，x2－2｜x｜－2 025≥0 D.∀x≤0，x2－2｜x｜－2 025≥0 由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x＞0，x2－2｜x｜－2 025＜0”的否定为“∀x＞0，x2－2｜x｜－2 025≥0”.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由＜1可得－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以由1＜x＜2推得出＜1，故充分性成立；由＜1推不出1＜x＜2，故必要性不成立，所以“1＜x＜2”是“＜1”的充分不必要条件.故选A. 2.设x∈R，则“1＜x＜2”是“＜1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由ea－b＞2，可知ea－b＞1，a－b＞0，a＞b，故ea－b＞2是a＞b的一个充分条件，故A正确；由ln＞0，可得＞1，不妨取a＝－2，b＝－1，推不出a＞b，故B错误；由aa＞bb，比如取a＝－2，b＝－1，满足aa＝＞bb＝－1，推不出a＞b，故C错误；由＜，比如取a＝－2，b＝1，满足＜，推不出a＞b，故D错误. 3.“a＞b”的一个充分条件是 A.ea－b＞2 B.ln＞0 C.aa＞bb D.＜ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 “∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.故选B. 4.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是 A.a＜4 B.a≤4 C.a＞4 D.a≥4 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(2025·江西新余模拟)已知直线x－ay＝0交圆C：x2＋y2－2x－2y＝0于M，N两点，则“△MCN为正三角形”是“a＝0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由C：x2＋y2－2x－2y＝0可得其圆心为C，半径r＝2，圆心到直线x－ay＝0的距离d＝，若△MCN为正三角形，则有d＝r，即＝，即a2＋a＝0，解得a＝0或a＝－，故“△MCN为正三角形”是“a＝0”的必要不充分条件.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)(2025·湖南常德模拟)下列命题中为真命题的是 A.“a－b＝0”的充要条件是“＝1” B.“a＞b”是“＜”的既不充分也不必要条件 C.命题“∃x∈R，x2－2x＜0”的否定是“∀x∉R，x2－2x≥0” D.“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，由＝1⇒a－b＝0，但a＝b＝0⇏＝1，所以“＝1”是“a－b＝0”的充分不必要条件.故A错误；对于B，取a＝2，b＝－1，满足a＞b，但＞，所以a＞b⇏＜；同理取a＝－1，b＝2，满足＜，但a＜b，所以＜⇏a＞b，所以“a＞b”是“＜”的既不充分也不必要条件.故B正确；对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2－2x≥0”.故C错误；对于D，因为a＞2，b＞2⇒ab＞4，但ab＞4⇏a＞2，b＞2，所以“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件.故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)若a，b＞0，则使“a＞b”成立的一个充分条件可以是 A.＜ B.＞ C.a2b＋b＞a＋ab2 D.ln＞ln √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，因为a，b＞0，所以＜⇔a＞b，故A正确；对于B，取a＝1＜2＝b满足＞，故B错误；对于C，a2b＋b＞a＋ab2⇔＞0，当ab＜1时，a＜b，故C错误；对于D，ln＞ln⇔a2＞b2⇔＞0，因为a，b＞0，所以a＞b，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为“∃x∈，sin x＜m”是假命题，所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题，即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min，因为y＝sin x在上单调递增，所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin ＝－sin ＝－，所以m≤－，所以实数m的最大值为－. 8.若“∃x∈，sin x＜m”是假命题，则实数m的最大值为_____. － 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题可得p：x＞3或x＜－1，q：x2－2x＋1－a2≥0⇔· ≥0，因为a＞0，所以1－a＜1＋a，解得x≥1＋a或x≤1－a.因为q是p的必要不充分条件，所以解得0＜a≤2，所以实数a的取值范围是(0，2]. 9.已知p：｜x－1｜＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. (0，2] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当x∈(2，3)时，易知x2－x＝－∈.又∃x∈，mx2－mx－3＞0⇔∃x∈，m＞⇔m＞，x∈⇔m＞.显然m＝1⇒m＞，m＞⇏m＝1，故“m＝1”是命题“∃x∈(2，3)，mx2－mx－3＞0”成立的充分不必要条件. 10.(开放题)写出一个使命题“∃x∈(2，3)，mx2－mx－3＞0”成立的充分不必要条件__________________ (用m的值或范围作答). m＝1(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.学校开设了多种体育类的校本选修课程，以更好地满足学生加强体育锻炼的需要.该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本选修课程进行猜测.甲说：“小明选的不是游泳，选的是武术. ”乙说：“小明选的不是武术，选的是体操.”丙说：“小明选的不是武术，也不是排球.”已知这三人中有两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本选修课程是 A.游泳 B.武术 C.体操 D.排球 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 若甲说的全对，则小明选的是武术；若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾.若甲说的全对，则小明选的是武术；若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾.若乙说的全对，则小明选的是体操；若丙说的全对，则小明选的不是武术也不是排球，满足题意，此时甲说的不是游泳正确，是武术错误，所以甲说对了一半，满足题意，所以小明选择的是体操.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(多选)(2025·山西吕梁模拟)下列说法正确的是(　　) A.命题“∀x＞1，x2＜1”的否定是“∃x≤1，x2≥1” B.“a＞10”是“＜”的充分不必要条件 C.若函数f的定义域为，则函数f的定义域为 D.记A，B为函数f＝图象上的任意两点，则f＞ √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，“∀x＞1，x2＜1”的否定为“∃x＞1，x2≥1”，故A错误；对于B，由＜，得＞0，故a＞10或a＜0，因此“a＞10”是“＜”的充分不必要条件，故B正确；对于C，f中，0≤x≤2，f中，0≤2x≤2，即0≤x≤1，故C正确；对于D，f＝，＝，因为－＝－＝≥0，因为x1≠x2，所以＞＞0，所以＞，所以f＞，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)设命题p：对任意x∈[1，4]，不等式x2－4x＋2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈，使得不等式x2－x＋m－≥0成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(6分) 解：对任意x∈[1，4]，不等式x2－4x＋2≥m2－3m恒成立，即(x2－4x＋2)min≥m2－3m. 又x2－4x＋2＝(x－2)2－2，当x＝2时，x2－4x＋2取到最小值－2， 所以－2≥m2－3m，所以1≤m≤2， 所以p为真命题时，实数m的取值范围是[1，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)若命题p，q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.(9分) 解：命题q：存在x∈，使得不等式x2－x＋m－≥0成立，只需x∈时，≥0， 而x2－x＋m－＝＋m－，所以当x＝0时，x2－x＋m－取到最大值m－， 所以m－≥0，m≥，即命题q为真命题时，实数m的取值范围是 {m|m≥}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 依题意，命题p，q一真一假， 若p为假命题，q为真命题，则得m＞2； 若q为假命题，p为真命题，则得1≤m＜. 综上，实数m的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(新角度)(多选)(2025·河南开封模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为f＝，表示不超过x的最大整数，例如＝－4，＝2.下列命题中正确的有(　　) A.∃x∈R，f＝x－1 B.∀x∈R，n∈Z，f＝f＋n C.∀x，y＞0，f＋f＝f D.∃n∈N*，f＋f＋f＋…＋f＝92 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，当x∈Z时，f(x)＝x，当x∉Z时，f(x)∈Z，而x－1∉Z，因此f(x)≠x－1，故A错误；对于B，∀x∈R，n∈Z，令f(x)＝m，则m≤x＜m＋1，m＋n≤x＋n＜m＋n＋1，因此f(x＋n)＝m＋n＝f(x)＋n，故B正确；对于C，取x＝，y＝2，0＜lg 2＜1，则f＝－1，f(lg 2)＝0，f＝f(0)＝0，显然f＋f(lg 2)≠f，故C错误；对于D，n∈N*，当1≤n≤9时，f(lg n)＝0，当10≤n≤99时，f(lg n)＝1，而f(lg 100)＝2，因此f(lg 1)＋f(lg 2)＋f(lg 3)＋…＋f(lg 99)＋f(lg 100)＝92，此时n＝100，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________________. 依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)＝x＋上单调递减，所以f(x)max＝f＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥，即实数a的取值范围为. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 常用逻辑用语 $