第03讲：椭圆、双曲线、抛物线【十二大题型】期中复习讲义-2025-2026学年高二数学上学期《考点·题型·密卷》（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲：椭圆、双曲线、抛物线 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 考点二、．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 考点三、．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ 通径长 2p 【题型归纳】 题型一：椭圆的定义及其应用 【例1】．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【例2】．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例3】．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型二：椭圆焦点三角形问题 【例1】．（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【例2】．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【例3】．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三：椭圆的方程 【例1】．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：椭圆的几何性质 【例1】．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【例2】．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．10 B．8 C． D． 【例3】．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为1 C． D．的周长为 题型五：椭圆的离心率问题 【例1】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型六：双曲线的定义及其方程 【例1】．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 【例3】．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型七：双曲线的几何性质 【例1】．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【例2】．（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（　　） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 【例3】．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型八：双曲线的渐进线问题 【例1】．（24-25高二上·吉林·期末）已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型九：双曲线的离心率问题 【例1】．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（2025·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【例3】．（25-26高三上·湖南·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，左，右顶点分别为，，M为C上一点，且轴，点N在线段上，直线交y轴于H点，直线交y轴于G点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 题型十：抛物线的最值问题 【例1】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【例2】．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】．（2025·江西萍乡·一模）设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．7 题型十一：抛物线的方程及其性质 【例1】．（2025·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【例2】．（2025·天津和平·二模）双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例3】．（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 题型十二：圆锥曲线的综合问题 【例1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【例2】．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【例3】．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 2．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 5．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 6．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆上存在点，使得 D．的最小值为2 10．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 11．（25-26高三上·江西·阶段练习）设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（    ） A． B． C．与面积之比为3 D．面积为 12．（25-26高三上·河北·开学考试）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 13．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（　　） A． B．为等腰直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 三、填空题 15．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 16．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 17．（25-26高二上·河南·期中）已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为 ． 18．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为 . 19．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是 ． 四、解答题 20．（25-26高二上·河南·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 21．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 22．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 23．（25-26高二上·云南红河·期中）已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. (1)若，求直线的斜率； (2)求面积的最大值. 24．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点； ②设和的面积分别为、，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲：椭圆、双曲线、抛物线 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 考点二、．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 考点三、．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ 通径长 2p 【题型归纳】 题型一：椭圆的定义及其应用 【例1】．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 【例2】．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 【例3】．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 题型二：椭圆焦点三角形问题 【例1】．（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    【例2】．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积. 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 【例3】．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A. 题型三：椭圆的方程 【例1】．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 【例2】．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 【例3】．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取弦的中点，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出之间的关系，即可求得. 【详解】由题意知以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，设交点为A，B， 取弦的中点，连接，如下图所示：    则，，因为，所以， 因为为的中点，是的中点，所以， ，且垂直平分弦， 因为，，所以， 所以， 由椭圆定义可知，，， 所以，解得，， 因为，，所以，， 所以椭圆方程为. 故选：B 题型四：椭圆的几何性质 【例1】．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 【例2】．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】取椭圆的右焦点，易证直线是线段的垂直平分线，可得，，结合椭圆的定义求得答案. 【详解】由椭圆方程可得，，则， 如图，取椭圆的右焦点，连接， 则，即为正三角形， 又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，即， 所以直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 . 故选：B. 【例3】．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为1 C． D．的周长为 【答案】C 【分析】依题设椭圆方程：，列出方程组，解得椭圆方程为：，排除A项，对于B，利用焦距概念为，即得，即可排除B，对于C，利用条件，依次求得的坐标，即得；对于D，根据椭圆的定义式，易得的周长为，排除D. 【详解】 对于A，由题意，可设椭圆方程为：， 则有解得，则椭圆方程为：，故A错误； 对于B，椭圆的焦距为，故B错误； 对于C，依题意，点，把代入题意方程，求得， 即，故，故C正确； 对于D，的周长为，故D错误. 故选：C. 题型五：椭圆的离心率问题 【例1】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【详解】设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以，， 因为，所以，即，即， 因为点B在椭圆C上，所以， 则，得到C的离心率为．    故选：B． 【例2】．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 【例3】．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 题型六：双曲线的定义及其方程 【例1】．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A.    【例2】．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 【答案】B 【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得. 【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，， 根据双曲线定义，， 解得或1，又，所以. 故选：B. 【例3】．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 题型七：双曲线的几何性质 【例1】．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线的斜率，进而得到的关系，再结合点到直线的距离公式求出的值，最后根据的关系求出焦距. 【详解】双曲线（，）的渐近线方程为，即． ，分别为C的两条渐近线的倾斜角， ． 又，， ，． 又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，， 双曲线C的焦距为． 故选：C 【例2】．（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（　　） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出、，即可求出，再一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，所以， 则虚轴长为，焦距为，离心率， 渐近线为即，故A、B、C错误，D正确. 故选：D 【例3】．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 题型八：双曲线的渐进线问题 【例1】．（24-25高二上·吉林·期末）已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，可得出双曲线的方程，根据题意，设所求双曲线的方程为，根据所求双曲线与双曲线有相同的渐近线可得出的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】由题意且，则，则双曲线的方程为. 以椭圆的短轴端点为顶点的双曲线可设为， 若与双曲线具有相同渐近线，则，即. 故所求双曲线的方程为，即. 故选：B. 【例2】．（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解. 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 【例3】．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，由，且是的角平分线，得到，结合双曲线定义，和为的中位线，求出，进而得到渐近线. 【详解】如图，延长交于点，由，且是的角平分线， 是等腰三角形，且，又∵点在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义有， 又有为的中位线，∴，∴， ∴双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B． 题型九：双曲线的离心率问题 【例1】．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 【例2】．（2025·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C    【例3】．（25-26高三上·湖南·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，左，右顶点分别为，，M为C上一点，且轴，点N在线段上，直线交y轴于H点，直线交y轴于G点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似可得，，即可根据得解. 【详解】因为轴，轴，则， 所以，则，同理. 因为，则， 即，得，所以. 故选：A 题型十：抛物线的最值问题 【例1】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |   故选：C 【例2】．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值. 【详解】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． 【例3】．（2025·江西萍乡·一模）设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】分析点的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可得. 【详解】，因为，垂足为， 所以点的轨迹是以FA为直径的圆（不包括F，A两点）， 半径，圆心为，又因为在拋场线上， 其准线为直线，过点作准线的垂线，垂足为， 则， 当四点共钱且在点下方时取等号， . 故选：C. 题型十一：抛物线的方程及其性质 【例1】．（2025·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线与轴交点为，则，故，所以. 故选：D 【例2】．（2025·天津和平·二模）双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由双曲线的一条渐近线为直线l：有， 又，的一个焦点为到直线的距离为， 所以，所以双曲线， 设，由在上，所以， 由， 故选：B.    【例3】．（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 设，则， 因为，即， 解得，则，即， 又因为的面积为，且，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 题型十二：圆锥曲线的综合问题 【例1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【详解】（1）依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 【例2】．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以. 由，，得，, 因为，所以，又，所以， 则， 所以椭圆的方程为，离心率. （2）由（1）知，    根据题意易知直线斜率必然存在，设为. 由，得， 则，即， 设，，则，， 所以. 因为， 所以，解得，符合， 所以直线的方程为. 【例3】．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 【详解】（1）因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为.由椭圆的定义可得：，，所以，. 所以椭圆E的标准方程为. （2）（ⅰ）设，.联立，整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. .因为，所以， 即.所以.解得. 所以的值为. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【分析】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【详解】由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 2．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出，再利用公式可求出椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 4．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A.    5．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 6．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对于直线，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 7．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 8．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】设，因为，所以， 根据双曲线的定义，可得，即， 解得，所以，， 又， 因为为中点，且，所以， 那么， 所以，则， 则， ， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以直线的斜率. 故选：. 二、多选题 9．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆上存在点，使得 D．的最小值为2 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】AD 【分析】作可知，由此确定点坐标，得到，知A正确；利用，结合韦达定理可构造方程求得B错误；利用长度关系和两角和差正切公式可推导得到，知C错误；根据，结合韦达定理可知D正确. 【详解】 对于A，作，垂足为，设， ，，又，，， ，， ，即直线的斜率为，A正确； 对于B，由A可设直线，即， 由得：，，， ，又，，即， ，即， ，解得：或， 又，，即，，B错误； 对于C，，， 由B知：，， ，， ， ， ，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 11．（25-26高三上·江西·阶段练习）设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（    ） A． B． C．与面积之比为3 D．面积为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程由求出的值判断选项A；由求出点坐标，得直线MN的斜率和的值判断选项B；联立方程组利用韦达定理求出点坐标，可求与面积之比判断选项C；结合的坐标求出面积判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为， ，即，解得，A选项正确； 抛物线，由，可得，. 直线MN的斜率为，则，B选项错误； 直线MN方程为，代入抛物线中有， 则有，得， ， 与面积之比为，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD.    12．（25-26高三上·河北·开学考试）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD 【分析】由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出. 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 13．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（　　） A． B．为等腰直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线方程及直线与圆相切求出即可判断A；根据双曲线的关系求出，可得，进而结合勾股定理判断B；结合双曲线的定义可得周长为，结合三角形的几何性质求解判断C；设，进而结合两点间的距离公式、二次函数的性质求解判断D. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由圆，圆心为，半径为， 因为渐近线与圆相切，所以，解得，故A正确； 而，则，即，所以， 则，故，即， 所以为等腰直角三角形，故B正确； 的周长为 ， 当且仅当三点共线时等号成立， 则的周长的最小值为，故C不正确； 设，则，即， 所以， 则时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD．    14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 【答案】CD 【分析】用点差法，利用直线与圆锥曲线的两个交点，将它们代入圆锥曲线的方程并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，进而简化计算过程． 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A × 由题意可知，准线方程为， 若直线过焦点，直线的斜率可以不存在，但不能为0， 故设直线， 联立消去可得，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． B × 由，可得， 当且仅当E，F，A共线时取等号，所以的最大值为． C √ 由题意知因为在抛物线上，所以两式作差可得，若直线AB的斜率存在，则，所以直线AB的斜率与无关，与有关． D √ 联立消去可得，可得，则，又，所以，则，所以． 三、填空题 15．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 16．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 【答案】2 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 17．（25-26高二上·河南·期中）已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为 ． 【答案】/ 【分析】先列出直线斜率的表达式，然后联立直线与双曲线的方程，令判别式为0，即可求出的值，进而求出结果. 【详解】因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得消去，整理得． 由题意得解得，所以． 故答案为：. 18．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为 . 【答案】 【分析】由题意设出点的坐标，根据两点距离公式，整理等式，结合椭圆方程，求得参数，易得答案. 【详解】由题意知，， 设，则，， 所以，整理得，对照椭圆方程可知， 所以，故椭圆的焦距为. 故答案为： 19．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】根据已知得到为等边三角形，为的垂直平分线，进而有的周长等于，结合椭圆的定义求三角形的周长，再联立直线与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求椭圆参数，即可得周长. 【详解】因为离心率为，故，则， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线为，联立，得， 又，故， 设，则， 故，解得，故， 则的周长为.    故答案为：16 四、解答题 20．（25-26高二上·河南·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【详解】（1）由题意得可得故椭圆的方程为． （2）根据椭圆的定义，得， 所以的周长为． 21．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【详解】（1）由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 22．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 23．（25-26高二上·云南红河·期中）已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. (1)若，求直线的斜率； (2)求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为. 由，消得，， 设，，则，， 则， ， ，， 因为，所以， 即，所以， 即，整理得到，解得. 所以直线的斜率为. （2）由（1）得，所以的中点的纵坐标为， 所以的面积， 当且仅当时，的面积最大值为. 24．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点； ②设和的面积分别为、，求的最大值． 【详解】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得，椭圆的标准方程为． （2） ①证明：设点，、，， 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意； 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立，消去可得， 由，得， 由韦达定理可得，， 则， ， 解得， 即直线的方程为，故直线过定点． ②由韦达定理可得，， ， ，令，则， ， 函数在上单调递增， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $