第02讲：直线和圆的方程【十二大题型】期中复习讲义-2025-2026学年高二数学上学期《考点·题型·密卷》（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲：直线和圆的方程 【题型归纳】 【知识梳理】 知识点一．斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. 知识点二．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点三：直线平行与垂直 ①两条直线平行： (ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直： (ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. 知识点三．几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. 知识点四、圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心为(a，b) 半径为r 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0 知识点五、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要) d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法： 知识点六、．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0) 方法 位置 关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 【例1】．（25-26高二上·湖北武汉）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【例2】．（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：两直线平行和垂直问题 【例1】．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线，，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D．或 【例2】．（24-25高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：直线方程问题 【例1】．（24-25高二上·山西阳泉·期中）已知的三个顶点分别是的中点． (1)求直线的一般式方程； (2)求边的垂直平分线的一般式方程． 【例2】．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点是. (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【例3】．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 题型四：直线的交点坐标和距离问题 【例1】．（25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【例2】．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）已知的两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程； (3)求过点，且到距离相等的直线的方程. 【例3】．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． (1)若点A在直线上，且的平分线为射线， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点B的坐标． (2)若直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 题型五：直线方程的对称问题 【例1】．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【例2】．（2025高三·全国·专题练习）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【例3】．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 题型六：圆的方程 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【例2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【例3】．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 题型七：直线与圆位置关系 【例1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．-1 【例2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【例3】．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 题型八：圆的切线方程 【例1】．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【例3】．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 题型九：圆的弦长问题 【例1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. (1)求圆C的方程； (2)求直线被圆C所截得的弦长. 【例2】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，，，的外接圆为圆C. (1)求圆C的方程； (2)设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长. 【例3】．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 题型十：圆与圆的位置关系 【例1】．（25-26高二上·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【例2】．（25-26高二上·江苏·期中）两圆和的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【例3】．（25-26高二上·河南·期中）圆与的公切线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十一：圆的公切线和共切弦问题 【例1】．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【例2】．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【例3】．（24-25高二上·重庆·期中）已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 题型十二：圆的定点定值问题 【例1】．（25-26高二上·北京房山·期中）已知圆． (1)求圆的圆心坐标及半径； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 【例2】．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【例3】．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知定点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 【例4】．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【高分突破】 一、单选题 1．（25-26高二上·天津·阶段练习）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北石家庄·阶段练习）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（   ）. A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏·期中）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东惠州·期中）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 9．（25-26高二上·吉林·期中）下列命题正确的是（    ） A．直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B．直线过定点 C．若，是方程的两个实根，则点在圆外 D．若方程表示圆，则正数的取值范围是 10．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的面积是10 D．边上的高所在直线方程为 11．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知点与圆：，则下列说法正确的有（   ） A．点在圆上 B． C．若AP与圆相切于点，则 D．若圆A与圆相切，则圆的半径为 12．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 三、填空题 13．（25-26高二上·北京房山·期中）已知直线，，则使得直线的的一个取值是 . 14．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知光线从点射出，被直线反射后与圆相切，则反射光线的方程为 ． 15．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知圆与圆相交，则正数的取值范围为 ． 16．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点.若点为的中点，则动点的轨迹的方程为 . 四、解答题 17．（25-26高二上·广东惠州·期中）求下列直线方程： (1)已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程． 18．（25-26高二上·北京·期中）已知三个点，，，圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 19．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆. (1)求m的取值范围. (2)已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 20．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程. 21．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于M，N两点．求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲：直线和圆的方程 【题型归纳】 【知识梳理】 知识点一．斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. 知识点二．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点三：直线平行与垂直 ①两条直线平行： (ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直： (ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. 知识点三．几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. 知识点四、圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心为(a，b) 半径为r 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0 知识点五、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要) d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法： 知识点六、．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0) 方法 位置 关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 【例1】．（25-26高二上·湖北武汉）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】选项A：当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故A错误； 选项B：与轴垂直的直线倾斜角为，与轴垂直的直线倾斜角为，所以选项B正确； 选项C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为的直线的斜率不存在，所以选项C错误； 选项D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，故D错误． 故选：B. 【例2】．（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】    当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 【例3】．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 题型二：两直线平行和垂直问题 【例1】．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线，，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用两直线垂直的斜率关系可得出关于的等式，即得. 【详解】由题意可知，直线、的斜率分别为、， 因为，所以，解得. 故选：B. 【例2】．（24-25高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据直线一般方程垂直系数关系求参，再结合充分必要条件定义判断即可. 【详解】因为“直线与直线互相垂直”可得, 所以，故或. 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【例3】．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 题型三：直线方程问题 【例1】．（24-25高二上·山西阳泉·期中）已知的三个顶点分别是的中点． (1)求直线的一般式方程； (2)求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程． （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其一般式方程． 【详解】（1）如图， 由于分别是的中点， 所以，所以， 直线的方程为，即． （2）因为， 所以边的垂直平分线的斜率为2，又， 所以的垂直平分线的方程为， 所以边的垂直平分线的一般式方程为． 【例2】．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点是. (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程； （2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可. 【详解】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1， 所以BC边上高所在直线为，即. （2）因为点A，B到直线的距离相等， 所以直线与AB平行或过AB的中点， ①当直线与AB平行， 所以， 所以，即. ②当直线过AB的中点， 所以， 所以，即. 综上，直线的方程为或. 【例3】．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或； (2)（ⅰ）；（ⅱ）24， 【分析】（1）由题意可得恒过定点，结合直线的截距式方程计算即可求解； （2）（i）由题意可得，解不等式组即可； （ii）由（i）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）将整理可得， 令，可得，所以直线过定点， 若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为， 代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； （2）（ⅰ）显然，求得：， 依题意得：， 解得； （ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 此时直线的方程为. 题型四：直线的交点坐标和距离问题 【例1】．（25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得； （2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 【例2】．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）已知的两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程； (3)求过点，且到距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】 （1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用两点式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. （3）当过中点时由两点式可得，与平行时由点斜式可得. 【详解】（1）因为是边的中点，由中点坐标公式可得， 由两点式可得，整理可得. （2）因为是边上的高，结合上问结论可知：， ，所以， 因此高所在直线的方程为：，即. （3）由题意可得当所求直线过的中点， 所以由两点式可得，整理可得； 当所求直线平行于时，其斜率为，由点斜式可得， 整理可得. 综上，所求直线方程为和. 【例3】．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． (1)若点A在直线上，且的平分线为射线， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点B的坐标． (2)若直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 【详解】（1）（ⅰ）由题意知，直线，均过坐标原点，直线的方程为， 因为点为直线与直线的交点，所以．     因为的平分线为射线，所以点关于直线的对称点在直线上， 设，则     解得，．     （ⅱ）设，因为点，，共线，且直线斜率存在， 所以．     解得，所以．     （2）设直线的倾斜角为，则． 由，得，，     所以，     当时取等号，此时直线的斜率为1，方程为，即． 题型五：直线方程的对称问题 【例1】．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 【例2】．（2025高三·全国·专题练习）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【例3】．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】 根据对称性可求得关于直线l的对称点的坐标，再利用直线的两点式方程即可求得结果. 【详解】由题意可知，反射光线经过点关于直线的对称点， 如图所示： 直线的方程即为反射光线所在的直线方程， 又，可得， 根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为， 整理得，即反射光线所在直线的方程为. 故答案为：. 题型六：圆的方程 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且中点为，即，所以可求得其垂直平分线为， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为 （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则， ∴圆的方程为：，即. 【例2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． （2）设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 【例3】．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【详解】（1）因为圆C经过点和点两点， 所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上， 联立可解得，即， 所以圆C的半径为 则圆C的标准方程； （2）设线段MN的中点， 又M的坐标，且G为线段MN的中点， 所以， 又N在圆C上运动， 可得， 化简可得， 所以，线段MN的中点G的轨迹方程. 题型七：直线与圆位置关系 【例1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．-1 【答案】A 【分析】根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】因为过总能作圆的切线， 所以直线与圆相离或相切， 所以，即，解得， 故的最大值为. 故选：A 【例2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 【例3】．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 题型八：圆的切线方程 【例1】．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A 【例2】．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项. 【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为， 故选：D. 【例3】．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 题型九：圆的弦长问题 【例1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. (1)求圆C的方程； (2)求直线被圆C所截得的弦长. 【详解】（1）法一：设圆C的方程为， 依题意得，解得，，. 所以圆C的方程为. 法二：设线段的垂直平分线为直线m， 则C既在直线m上，又在直线上.因为的中点为即（2，2）， 直线的斜率为， 所以直线m的斜率为-1. 所以直线m的方程为， 即. 联立，解得. 所以点C坐标为. 又因为圆的半径为， 所以圆C的方程为. （2）因为圆心到直线的距离 设直线与圆C交于M，N两点， 由垂径定理得，弦长. 【例2】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，，，的外接圆为圆C. (1)求圆C的方程； (2)设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设出圆的一般式方程，代入已知点，可得答案. （2）由已知点求得直线方程，利用点到直线方程以及弦长公式，可得答案. 【详解】（1）设圆C的方程为， 将，，三点的坐标代入， 得解得 故圆C的方程为，即. （2）由题意得，与AB垂直的高线的斜率为1， 又过，所以：. 圆的圆心到的距离， 则被圆截得的弦长为. 【例3】．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 题型十：圆与圆的位置关系 【例1】．（25-26高二上·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 【例2】．（25-26高二上·江苏·期中）两圆和的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】根据两圆的圆心距与两圆的半径之和的关系，可得两圆的位置关系． 【详解】由圆可化为，则圆心，半径为； 由可化为，则圆心，半径为. 则，即两圆外切． 故选：D． 【例3】．（25-26高二上·河南·期中）圆与的公切线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断公切线的条数. 【详解】由题意得圆的标准方程为，圆心为，半径； 圆的标准方程为，圆心为，半径． 因为， 所以，得到圆与圆相交，有2条公切线． 故选：B 题型十一：圆的公切线和共切弦问题 【例1】．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【详解】（1）经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 【例2】．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 【例3】．（24-25高二上·重庆·期中）已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）首先求出的中点坐标及，即可得到圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程，进而可得弦长. 【详解】（1）因为，，所以的中点为，且， 因为圆是以线段为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以圆的方程为； （2）圆的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 所以圆心到该直线的距离， 所以两圆公共弦的长的长为. 题型十二：圆的定点定值问题 【例1】．（25-26高二上·北京房山·期中）已知圆． (1)求圆的圆心坐标及半径； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 【答案】(1)圆心为，半径 (2)和 (3)证明见解析 【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，进而得出圆心和半径； （2）根据直线与圆的位置关系，分斜率存在和不存在两种情况讨论得出对应的切线方程； （3）根据直线与圆的位置关系，分别联立圆与直线方程得出的坐标，再利用两点式求出所在直线方程，最后根据直线方程的性质得出恒过定点． 【详解】（1），化为标准形式得， 圆的圆心为，半径． （2）   圆的圆心为，半径，设切线方程斜率为， 当不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为，满足相切条件， 直线是过点且与圆相切的一条直线方程； 当存在时，设过点的切线方程为：，即， 则圆心到切线的距离，解得， ，即， 过点且与圆相切的直线方程为：和． （3）   是轴上的动点，圆与轴交于点，，令，则，解得或， ，设，若，所在直线为轴，不合题意，故， 直线， 联立直线和得：，整理得， 解得或，对应点，对应点，对应， ， 同理，联立直线和得，整理得， 解得或，对应，， 直线方程为： ， ，当时，， 直线恒过定点，命题得证． 【例2】．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)过定点， 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. （3）由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 【例3】．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知定点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. 【详解】（1）设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为，    （2）当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7.    【例4】．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②点在定直线上. 【分析】（1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）①设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ②分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. 【详解】（1）设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. （2）设直线. 由整理得， 则， 故. ①证明：因为， 所以. 把代入上式， 得. ②直线的方程为，直线的方程为. 由得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上. 【高分突破】 一、单选题 1．（25-26高二上·天津·阶段练习）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知化为圆的标准方程进行求解即可. 【详解】将方程化简得， 要使得该方程表示圆，则，解得. 故选：C. 2．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据求出参数的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由，得，解得或． 当时，，，直线与直线之间的距离为； 当时，，，直线与直线重合，舍去． 故直线与直线之间的距离是． 故选：D. 3．（25-26高二上·河北石家庄·阶段练习）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式，以及垂直关系即可由点斜式求解. 【详解】,的中点为， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 故选：A 4．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆：的圆心是，半径， 而圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏·期中）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 6．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】    如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 7．（25-26高二上·广东惠州·期中）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据的几何意义求解出的关系式，再结合基本不等式求解出结果. 【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆， ，可以看作圆上一点到点的距离的平方， 而圆上一点到的距离的最大值为， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B． 8．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆C：， 即，圆心为，半径， 因为圆与：相交于两点，且为正三角形， 所以圆心到直线的距离，， 则，解得. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高二上·吉林·期中）下列命题正确的是（    ） A．直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B．直线过定点 C．若，是方程的两个实根，则点在圆外 D．若方程表示圆，则正数的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，验证直线满足条件，但斜率不为，即可判断，对于B，将直线方程化为，求直线与直线的交点，由此确定直线所过的定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得，，结合关系证明，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数的范围，判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距相等，但直线的斜率为，A错误， 对于B，方程可化为， 由可得， 所以直线过定点，B正确， 对于C，由，是方程的两个实根，可得，， 所以， 所以点在圆内，C错误， 对于D，方程表示圆，则，所以，又， 所以正数的取值范围是，D正确， 故选：BD 10．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的面积是10 D．边上的高所在直线方程为 【答案】ACD 【分析】求出，即可判断A，利用锐角三角函数判断B，由面积公式判断C，求出，再由点斜式求出边上的高所在直线方程，即可判断D. 【详解】对于A：因为，，，所以，， 则，所以，即，故A正确； 对于B：因为，， 又为直角三角形，所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以边上的高所在直线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知点与圆：，则下列说法正确的有（   ） A．点在圆上 B． C．若AP与圆相切于点，则 D．若圆A与圆相切，则圆的半径为 【答案】BC 【分析】对于A选项，根据点到点距离与圆的半径判断即可；于选项B，根据，两点间的距离公式求解即可；对于选项C，根据直线与圆相切，可判断，再根据勾股定理求解即可；对于选项D，圆A与圆相切，分两圆相外切与内切进行讨论即可. 【详解】已知圆：，所以圆的标准方程为：， 对于选项A，，圆心，半径，根据两点间的距离公式，所以点不在圆上，故A错误； 对于选项B，由A选项可知，，故B正确； 对于选项C，若AP与圆相切于点，所以，所以，，故C正确； 对于D选项，圆A与圆相切，若圆A与圆相外切，则圆的半径为，若圆A与圆相内切，则圆的半径为，故D错误. 故选：BC. 12．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【答案】ACD 【分析】根据垂径定理可求得A正确；根据圆心到直线距离等于和可知B错误；根据垂直关系可求得，知C正确；根据圆心与切点连线垂直可推导得到圆上任一点处的切线方程，进而推导得到直线的方程，根据直线过定点的求法可构造方程组求得定点坐标，知D正确. 【详解】由圆知：圆心，半径； 对于A，当时，圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， ，圆上到直线的距离为的点有个，B错误； 对于C，为圆的两条切线，，， ，， ，当时，取得最小值， 四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：； 当或时，在处切线的斜率为， 在处切线方程为：， 又，整理可得该切线方程为：； 当或，在处切线满足方程； 综上所述：在圆上一点处的切线方程为； 设， 则直线，直线， 设，则， 坐标满足方程， 即直线方程为：； 为直线上的动点，， 直线，整理可得：， 令，解得：， 直线恒过定点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（25-26高二上·北京房山·期中）已知直线，，则使得直线的的一个取值是 . 【答案】或 【分析】应用直线垂直的系数关系列式计算求解. 【详解】直线，， 则直线可得，所以， 所以或 则使得直线的的一个取值是或. 故答案为：2或. 14．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知光线从点射出，被直线反射后与圆相切，则反射光线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题意，先求出点关于的对称点，再由反射光线与已知圆相切求出直线斜率，结合图形即可求得反射光线的方程. 【详解】由配方得：，知圆心为，半径为2， 如图，设关于的对称点为，则， 解得，即得，依题意，可设反射光线的方程为， 由反射光线与圆相切，可得， 解得，故反射光线的方程为； 又由图知，当反射光线的斜率不存在时，反射光线的方程为恰与圆相切． 故反射光线的方程为或． 故答案为：或. 15．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知圆与圆相交，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先确定两圆心及半径，再根据两圆相交得到即可． 【详解】圆的方程，可知圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意可知：两圆相交，且，，，所以． 故答案为：． 16．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点.若点为的中点，则动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的定义可得动点的轨迹的方程. 【详解】由题意得，圆， 故，所以， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 四、解答题 17．（25-26高二上·广东惠州·期中）求下列直线方程： (1)已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程． 【答案】(1)① ；② (2)或 【分析】（1）①先求得BC所在直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案；②先求得的中点坐标，由①可求得边的垂直平分线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）分别讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况，分析计算，结合点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】（1）①由题可得， 则边所在的直线方程为，即. ②线段的中点坐标为，即， 由①知，则其垂直平分线的斜率为， 则边上的垂直平分线所在直线的方程为，即． （2）当直线l的斜率不存在时，此时，l与原点距离为3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则有，解得，此时． 综上所述所求直线l的方程为或． 18．（25-26高二上·北京·期中）已知三个点，，，圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，求出、、，即可得解； （2）首先确定圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为，即； （2）由（1）可得圆的圆心为，半径， 又，所以圆的圆心到直线的距离， 所以，解得.    19．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆. (1)求m的取值范围. (2)已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)①；②或. 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）根据弦长公式，建立方程，求出参数；根据切线方程的求法，可得答案. 【详解】（1）（方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. （2）①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 20．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先得到线段的垂直平分线的方程，与线段的垂直平分线联立，可得外接圆圆心的坐标，再利用两点间的距离公式求圆的半径，可得所求三角形外接圆的方程. （2）先利用几何法确定圆心到直线的距离，再分直线的斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求直线的斜率. 【详解】（1）线段的垂直平分线为：，即. 由，即. 又. 所以外接圆方程为 （2）如图：    因为直线与圆相交截得弦长为8，所以圆心到直线的距离为：. 若直线斜率不存在，则方程为：，点到直线的距离为3，故满足题意； 若直线斜率存在，可设直线的方程为，即. 由，此时直线方程为：. 综上直线的方程为：或. 21．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于M，N两点．求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 【详解】（1）由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. （2）由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得：. 的值为. （3）圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为都是圆的切线， 所以，所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $