第01讲：空间向量与立体几何【十大题型】期中复习讲义-2025-2026学年高二数学上学期《考点·题型·密卷》（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲：空间向量与立体几何 【题型归纳】 【知识梳理】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二、向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 知识点三、平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 知识点四.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点五.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 知识点六．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点七：．平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 知识点八　点P到直线 l 的距离、点P到平面α的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 知识点九　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：空间向量的概念 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【例2】．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 题型二：空间向量的线性运算 【例1】．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四面体中，为棱的中点，点分别满足，则（   ） A． B． C． D． 题型三：空间共线定理、共面定理 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【例3】．（24-25高二下·江苏·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 题型四：空间向量的数量积运算 【例1】．（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 【例2】．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【例3】．（24-25高二上·河南·期中）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，点为的中点.    (1)用向量表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 题型五：空间向量的坐标运算 【例1】．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【例2】．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知向量，，． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； 【例3】．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 题型六：空间向量研究线面平行与垂直 【例1】．（25-26高二·全国）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【例2】．（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【例3】．（2021高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 题型七：空间向量研究空间角问题 【例1】．（25-26高二上·重庆江津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【例2】．（2024·湖南益阳·一模）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面 ； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【例3】．（24-25高二上·天津·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【例4】．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)用几何法证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 题型八：空间向量研究空间距离问题 【例1】．（24-25高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 【例2】．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【例3】．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 题型九：空间向量研究存在性问题 【例1】．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【例2】．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【例3】．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 题型十：空间向量与立体几何综合问题 【例1】．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点. (1)证明: 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值; 若不存在， 请说明理由. 【例2】．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【例3】．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若，，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京房山·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）已知三棱锥中，，若分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．3 B． C． D． 6．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，给出下列两个命题： ①若，则异面直线和所成的角的余弦值为 ②若，则点到平面的距离为 则下列选项正确的是（    ） A．①真②假 B．①②全真 C．①假②真 D．①②全假 8．（25-26高二上·山东临沂·阶段练习）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 二、多选题 9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知空间向量，，则下列计算正确的是（    ） A． B． C．与的夹角满足 D． 10．（25-26高二上·福建·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量满足，，则有； C．若是空间向量的一组基底，且，则四点共面； D．若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底. 11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知平面的一个法向量为，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 12．（25-26高二上·山西大同·阶段练习）给出下列命题，其中正确的是（   ） A．向量，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．已知，则向量在向量上的投影向量是 13．（25-26高二上·辽宁·期中）如图所示，在长方体中，，，分别在棱和上，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线和平面所成角的正弦值为 D．若为线段的中点，则直线平面 三、填空题 14．（25-26高二上·天津·期中）已知向量，，若，则m的值为 . 15．（25-26高二上·新疆喀什·期中）在空间向量中，能作为基底的一组向量是 ： ①，，； ②，，； ③，，． 16．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是    17．（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    四、解答题 18．（25-26高二上·安徽亳州·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（25-26高二上·山东临沂·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 21．（25-26高二上·北京房山·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点是的中点，，．    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的长；若不存在，说明理由； (3)求平面与平面的夹角的大小． 22．（25-26高二上·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．    (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲：空间向量与立体几何 【题型归纳】 【知识梳理】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二、向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 知识点三、平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 知识点四.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点五.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 知识点六．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点七：．平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 知识点八　点P到直线 l 的距离、点P到平面α的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 知识点九　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：空间向量的概念 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 【例2】．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 【例3】．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 题型二：空间向量的线性运算 【例1】．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，又，从而可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：D． 【例2】．（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【例3】．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四面体中，为棱的中点，点分别满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点，， 所以 . 故选：D 题型三：空间共线定理、共面定理 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 【例2】．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】利用向量线性运算得，由空间向量共面定理的推论求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 故，所以P，B，C，D四点共面. 故选：C． 【例3】．（24-25高二下·江苏·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 题型四：空间向量的数量积运算 【例1】．（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. 【详解】（1）以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； （2）由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 【例2】．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 【例3】．（24-25高二上·河南·期中）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，点为的中点.    (1)用向量表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）以向量为空间的一个基底，利用空间向量的线性运算表示出向量. （2）由（1）的结论，利用空间向量数量积的运算律求出模长及向量夹角的余弦值. 【详解】（1）在四棱柱中， . （2）由四边形是正方形，， 得， 则 ，即线段的长为； 而， 则 ， ， 因此，即直线与所成角的余弦值为， 所以线段的长为，直线与所成角的余弦值为. 题型五：空间向量的坐标运算 【例1】．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【详解】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 【例2】．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知向量，，． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意，由向量模长的坐标公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由向量模长的坐标公式即可得到，再由向量垂直的坐标公式，代入计算，即可得到. 【详解】（1）因为，，则， 所以. （2）因为，即，解得，所以， 又，且向量与垂直， 所以，即，解得， 所以实数和的值分别为和. 【例3】．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∵， ∴，解得. （2）由题意得，， ∵且， ∴,解得. 题型六：空间向量研究线面平行与垂直 【例1】．（25-26高二·全国）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【例2】．（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. 【详解】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）由（1）易得， 因，故. 【例3】．（2021高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 题型七：空间向量研究空间角问题 【例1】．（25-26高二上·重庆江津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线及平行线的传递性得到，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，表示点的坐标，并求得平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）由于点，分别为的中点，即为的中位线， 故，又，所以， 又平面，平面，故平面． （2）因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【例2】．（2024·湖南益阳·一模）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面 ； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2）作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 【例3】．（24-25高二上·天津·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）    连接交于点，由底面是正方形，可得， 又因为E是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由侧棱底面， 底面，所以， 由已知得：，，所以由勾股定理得：， 因为，所以， 再由余弦定理得：， 由于，则可得， 又因为E是的中点，，所以， 又因为侧棱底面， 底面，所以， 又因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即与平面所成的角就是， 所以， 故与平面所成角的余弦值为； （3）    根据题意可如图建立空间直角坐标系： 则， 即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 因为平面，所以平面的法向量为 即， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【例4】．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)用几何法证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②； (3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）①由（1）中信息，求出点Q到平面的距离，再求出锥体的体积；②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且平面，所以平面. （2）①在四边形中，，则，而， 则梯形的面积，由点Q为棱的中点， 得点Q到平面的距离为，所以四棱锥的体积. ②由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 题型八：空间向量研究空间距离问题 【例1】．（24-25高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， ，，，． 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2）因为，， 所以， 所以， 所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面 的距离， 设平面的一个法向量为， 又，，， 由， 令，则，，即， 又， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为． 【例2】．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离； (2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 【例3】．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 题型九：空间向量研究存在性问题 【例1】．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）记中点为，连接，，    则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以，又因为，所以， 且，平面，所以平面. （2）由（1）知，平面，且. 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则，令，得. ，令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【例2】．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 【例3】．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2），，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 题型十：空间向量与立体几何综合问题 【例1】．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点. (1)证明: 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值; 若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【详解】（1）如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在点，理由如下： 设，其中， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时. 【例2】．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【详解】（1）因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. （2）因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，    则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）假设存在线段上存在一点，使得平面平面,设，，则.所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 【例3】．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）取PD的中点N， 连接AN， MN， 如图所示： 为棱PC的中点，四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面，   平面. （2） 平面平面， 平面平面， 平面， 平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，如图， 则为棱PC的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为，所以二面角的正弦值为. （ii） 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若，，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算得，进而利用数量积的坐标运算求得和，最后代入投影向量公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 又， 所以在上的投影向量的模为 . 故选：A 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理的推论可得，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·北京房山·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量的加减法计算求解. 【详解】因为是平行四边形，所以点为与的中点， 则. 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）已知三棱锥中，，若分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对棱相等的三棱锥可构造在一个长方体中，从而利用长方体来建立空间直角坐标系，由空间向量法来求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】由于对棱相等的三棱锥可如图构造在一个长方体中，    根据，可设， 则， 由图可知，则， 如图建系，可得， 所以 则， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 6．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过点在直线OP上运动可得点，然后利用空间向量数量积的坐标运算得，利用二次函数性质求得最小值及点的坐标即可. 【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得， 则当时，有最小值，此时，点． 故选：C 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，给出下列两个命题： ①若，则异面直线和所成的角的余弦值为 ②若，则点到平面的距离为 则下列选项正确的是（    ） A．①真②假 B．①②全真 C．①假②真 D．①②全假 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据异面直线的向量公式求解异面直线所成角判断①；根据点面距的向量求法求解判断②. 【详解】如图， 以点为原点，向量为轴的正方向，再作， 若，，，，，， ，，所以， 所以异面直线和所成的角的余弦值为，故①为真命题； ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为，且， 所以点到平面的距离为，故②为真命题. 故选：B 8．（25-26高二上·山东临沂·阶段练习）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】D 【详解】在正方体中，， 以为原点，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确； 又， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故B正确； 因为，所以平面，故C正确； 点到平面的距离为，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知空间向量，，则下列计算正确的是（    ） A． B． C．与的夹角满足 D． 【答案】ABC 【分析】对A，由向量数量积坐标运算求解判断；对B，由向量的模长公式求解判断；对C，由向量的夹角公式求解；对D，由空间向量垂直的坐标关系求解判断. 【详解】对于A，由向量的数量积坐标运算得，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由题意，，所以，故C正确； 对于D，由，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高二上·福建·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量满足，，则有； C．若是空间向量的一组基底，且，则四点共面； D．若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底. 【答案】AD 【分析】根据空间向量基底的概念，可判定A正确；举出反例，说明满足，，但 与不共线，可判定B错误；设，结合，列出方程组，求解即可判定C错误；假设，列出方程组，求解即可判定D正确. 【详解】对于A，若向量与空间任意向量都不能构成基底， 即向量与空间任意向量共面，所以，所以A正确； 对于B，若向量， 此时满足，，但与不共线，所以B错误； 对于C，因四点共面，等价于存在实数，使得， 即， 可得， 因为，故需使 ，而此方程组无解， 故四点不共面，即 C错误； 对于D，假设存在不全为的实数，使得， 可得， 因为向量是空间向量的一组基底，不共面， 所以，即， 即线性无关，故它们可以作为空间向量的基底，所以D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知平面的一个法向量为，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】由可得选项A正确；利用点到平面的距离公式可得选项B正确；根据投影向量的概念计算可得选项C错误；利用空间向量计算线面所成角的正弦值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意得，，故，解得，故A正确； 对于B，点到平面的距离为，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量为：，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角的为，则，故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高二上·山西大同·阶段练习）给出下列命题，其中正确的是（   ） A．向量，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．已知，则向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【分析】由共线反向得到可判断A，坐标系中点的对称，可判定B；根据共面向量定理，可判定C；根据投影向量的计算方法，可判定D. 【详解】对于A，当时，共线反向，故A错； 对于B，由对称坐标表示可知点关于坐标平面的对称点是，B正确， 对于C，若共面，则存在，使得， 由，则，显然这两个未知量无实数解， 所以也是空间的一个基底，C正确； 对于D中，由，，， 可得，则， 所以向量在向量上的投影向量为，所以D错误. 故选：BC 13．（25-26高二上·辽宁·期中）如图所示，在长方体中，，，分别在棱和上，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线和平面所成角的正弦值为 D．若为线段的中点，则直线平面 【答案】ABD 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用向量法判断直线不平行于平面，结合等体积即可判断；对于BC，利用直线方向向量和平面法向量，根据线线角、线面角的向量公式直接计算即可；对于D，连接，交于点，通过即可判断. 【详解】对于A，因为，又，所以， ，所以， 又，，，所以 综上可知，分别为所在棱的三等分点， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以，所以直线不平行于平面， 所以两点到平面的距离不相等，所以，故A正确； 对于B，，    则直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，， 设平面的一个法向量为，则， 取，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，连接，交于点，连接， 因为为矩形，所以是的中点， 有为的中点，所以， 又平面，平面，从而平面，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 14．（25-26高二上·天津·期中）已知向量，，若，则m的值为 . 【答案】 【分析】利用向量线性关系的坐标运算和向量垂直的坐标表示列方程，求出结果. 【详解】由题设， ， 由，故， 所以. 故答案为： 15．（25-26高二上·新疆喀什·期中）在空间向量中，能作为基底的一组向量是 ： ①，，； ②，，； ③，，． 【答案】②③ 【分析】逐一分析①②③，检查是否共面，分析即可得答案. 【详解】对于①：， 所以共面，不能作为空间向量中的基底，故①错误； 对于②：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故②正确； 对于③：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故③正确； 故答案为：②③ 16．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是    【答案】/ 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即 ①． 又，所以，即②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 17．（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    【答案】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高二上·安徽亳州·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． （3）由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 19．（25-26高二上·山东临沂·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）取的中点E，连接，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出相关点坐标并求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）根据，设且，由点到平面距离的向量求法列出方程，求参数即可得. 【详解】（1）取的中点E，连接，因为M是的中点，所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）由题意平面且，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 又因为，是的中点， 所以，显然平面的一个法向量为， 设平面PCD的一个法向量为，， 所以，令，则， 所以， 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为； （3）设且，， 则，，， 设平面PAQ的法向量为，则， 令，所以，又点D到平面的距离为， 又，所以， 所以，则，解得， 所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时. 20．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件确定的长，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为底面，平面，所以. 又底面为矩形，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，为的中点，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，平面，， 所以平面. （2）由（1）知，平面，垂足为. 所以即为与平面所成的角. 由，，所以. 在中，，，所以， 所以. 由，所以. 由，所以. 以为原点，建立如图空间直角坐标系： 则，，，，， 因为为中点，所以. 且，. 设平面的法向量为， 则，可取. 由（1）可知，平面的法向量可取. 设平面与平面所成的角为， 则, 平面与平面夹角的余弦值为. 21．（25-26高二上·北京房山·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点是的中点，，．    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的长；若不存在，说明理由； (3)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）利用面面垂直，且直线垂直于面面交线，推出线面垂直； （2）结合四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，假设上存在点，使得，利用平行关系得出直线与平面法向量垂直，构造关于的方程解出，进而求出； （3）同（2）空间坐标系，求出对应向量，进而求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式求出平面与平面的夹角余弦值，进而求出夹角． 【详解】（1）   点是的中点，， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，即平面． （2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，   底面为正方形，，点是的中点，， ，，， ， ， 设在上，则，， ，， 设平面的法向量，平面，则，令，则， ，解得． 线段上存在点，使得平面，且点是的中点． ，， 线段的长为． （3）同（2）所示坐标系，则， ，设平面的法向量为，平面的法向量为， ，则为平行于轴的单位向量，即； ，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 平面与平面的夹角为． 22．（25-26高二上·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．    (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【详解】（1）∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面 又平面，平面平面， ∴    （2）如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得，取 ∴点M到平面PBC的距离为 （3）∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，则， ∴，解得，即 设，则 又，设平面的法向量为 则，取 设直线与平面所成角为，则 ， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $