第八章 4 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点，依据高考评价体系梳理位置关系判定、弦长计算、切线方程、最值问题等考查要求。通过分析近五年真题考点权重，归纳出判定类、计算类、应用类三大常考题型，构建起“知识梳理-考点突破-真题演练”的备考体系，针对性强。 课件亮点在于融合高考真题训练与应试技巧指导，如以2023新课标Ⅱ卷弦长问题为例，提炼几何法（d与r关系）和弦长公式应用，培养学生几何直观与运算能力（数学思维）。总结切线问题“斜率分类讨论”等策略，帮助学生高效突破高频考点，为教师提供系统复习框架，助力学生高考冲刺。

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 高三一轮复习讲义 北师大版 第八章 平面解析几何 课标研读 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.　 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.　 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 03 考教衔接　精研教材 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 04 课时测评 教材梳理　夯实基础 返回 1.直线与圆的位置关系 直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图形 2.圆与圆的位置关系 (1)用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝， 则圆心距d＝｜C1C2｜＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 ___________ ____________ ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 ____________ ___________ 图示 公切线数 4 0 2 1 3 d＞r1＋r2 d＜｜r1－r2｜ d＝｜r1－r2｜ d＝r1＋r2 (2)用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C1与C2______. ②判别式Δ＝0时，C1与C2______或______. ③判别式Δ＜0时，C1与C2______或______. 微提醒 (1)涉及两圆相切时，没有特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论.(2)两圆相交时两圆圆心的连线垂直平分公共弦. 相交 外切 内切 外离 内含 常用结论 (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)圆与圆的位置关系的常用结论 ①两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. ②两个圆系方程 (ⅰ)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). (ⅱ)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解). 自主检测 1.(多选题)下列说法正确的是 A.若两圆没有公共点，则两圆一定外离 B.若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 C.若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切 D.在圆中最长的弦是直径 √ √ 2.(链接北师选择性必修一P39T5)过点(2，2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为 A.x－2y＋2＝0 B.3x＋2y－10＝0 C.x＋2y－6＝0 D.x＝2或x＋2y－6＝0 √ 将点(2，2)代入(x－1)2＋y2＝5，有(2－1)2＋22＝5成立，即点(2，2)在圆上，由结论1(2)知，过圆(x－1)2＋y2＝5上点(2，2)的切线的方程为(x－1)(2－1)＋2y＝5，即x＋2y－6＝0.故选C. 3.(链接北师选择性必修一P38例9)圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是 A.外切 B.相交 C.外离 D.内切 √ 圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，所以圆心C2(4，3)，半径r2＝3，所以｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切.故选A. 4.(链接北师选择性必修一P39T9)直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________. [－3，1] 由题意可得，圆(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a，0)，半径为，所以≤，即｜a＋1｜≤2，解得－3≤a≤1.所以实数a的取值范围是[－3，1]. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　直线与圆的位置关系 自主练透 1.(一题多解)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 √ 法一(代数法)：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交.故选A. 法二(几何法)：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离为d＝＜1＜＝r，所以直线l与圆相交.故选A. 法三(定点法)：直线l：mx－y＋1－m＝0，整理得m(x－1)－y＋1＝0过(1，1)，而12＋(1－1)2＜5，即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交.故选A. 2.(2025·广东深圳质检)已知直线l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相离，则r的取值范围是 A.0＜r≤1 B.0＜r＜1 C.r≥1 D.r＞1 √ 圆心到直线的距离为d＝＝1，故0＜r＜1.故选B. 3.(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r＞0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是 A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 √ √ √ 对于A，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＜r，所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD. 4.已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上恰有3点到直线x－y＋m＝0的距离等于1，则m＝__________. 1± 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心C(1，2)，半径r＝2，由圆C上恰有3点到直线x－y＋m＝0的距离等于1，得圆心C到直线x－y＋m＝0的距离等于1，于是＝1，解得m＝1±，所以m＝1±. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1.几何法：利用d与r的关系. 2.代数法：联立方程之后利用Δ判断. 3.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 规律方法 考点二　直线与圆的综合问题 多维探究 角度1　圆的弦长问题 (1)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则｜AB｜＝__________. 典例1 2 由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2＝2. (2)已知过点P(0，1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当｜AB｜＝2时，直线l的方程为________________________. x＝0或3x＋4y－4＝0 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为 (－1，3)，半径为r＝2，因为｜AB｜＝2，所以圆心到直线l的距离为d＝＝1，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心 (－1，3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，则圆心(－1，3)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝－，此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0.综上，所求直线的方程为x＝0或3x＋4y－4＝0. (3)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.2 √ 根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2).设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C(0，－2)，半径r＝，易知点M在圆C内，连接CM(图略)，则AB⊥CM 时，｜AB｜最小，｜MC｜ ＝1，所以｜AB｜的最小值为2＝4.故选C. 角度2　圆的切线问题 (1)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为 A.3x＋4y－4＝0 B.4x－3y＋4＝0 C.x＝2或4x－3y＋4＝0 D.y＝4或3x＋4y－4＝0 典例2 √ 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.故选C. (2)(2021·天津卷)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则｜AB｜＝________. 设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0，1)，半径为1，则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以｜AC｜＝2，因为｜BC｜＝1，故｜AB｜＝＝. 角度3　直线与圆的位置关系中的最值(范围)问题 (1)(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若｜PO｜＝，则·的最大值为 A. B. C.1＋ D.2＋ 典例3 √ 如图所示，｜OA｜＝1，｜PO｜＝，则由勾股定 理可得｜PA｜＝＝1，故∠APO＝，当 点A，D位于直线PO异侧时，如图①，设∠OPC＝α， 0≤α＜，则·＝｜｜·｜｜cos＝1×cos αcos＝cos α＝cos2α－sin αcos α＝－sin 2α＝－sin，又0≤α＜，则－≤2α－＜，所以当2α－＝－时，·有最大值1； 当点A，D位于直线PO同侧时，如图②，设∠OPC＝α， 0≤α＜，则·＝｜｜·｜｜cos＝1× cos αcos＝cos α＝cos2α ＋sin αcos α＝＋sin 2α＝＋sin，又0≤α＜，则≤2α＋＜，所以当2α＋＝时，·.综上可得，·.故选A. (2)(2025·福建龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为__________. 2 由圆O：x2＋y2＝2，得r＝，四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝｜PA｜·｜AO｜＝｜PA｜，因为点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，所以P(x0，4－x0)，则｜PA｜＝＝，又｜PO｜2＝＋(4－x0)2＝2－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8，所以｜PO｜2－2≥6，则｜PA｜≥，所以四边形PAOB的面积的最小值为×＝2. 1.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长. (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 规律方法 2.求过某点的圆的切线问题 应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 3.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题 解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果. 规律方法 √ 对点练1.(1)(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为 A.±2 B.± C.± D.±3 设直线l与y轴交于点A(0，m)，由题意知，圆心C(0，0)，圆C的半径r＝2，当k的值发生变化时，要使直线l被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线l的距离最大，为｜AC｜，即｜m｜＝＝，所以m＝±.故选C. (2)(2024·南京校考一模)过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为________________________. x＝3或3x＋4y－1＝0 将圆C的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心C(1，2)，半径r＝2.当过点P(3，－2)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，是圆C的切线，满足题意；当过点P(3，－2)的直线斜率存在时，可设直线方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，得＝2，解得k＝－，即此直线方程为3x＋4y－1＝0.故所求直线方程为x＝3或3x＋4y－1＝0. (3)(2025·河南名校联考)已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作☉C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为___________________. x＋2y＋1＝0 ☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(1，1)，半径r＝2.如图，连接MC，则四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝｜CA｜·｜AM｜＝2｜AM｜＝2.要使四边形MACB的面积最小，则需｜ CM｜最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，联立得得M(0，－1)，则｜CM｜＝.则以CM为直径的圆的方程为＋y2＝，与☉C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0. √ (1)(一题多变)设圆C1：x2＋y2－2x＋4y＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＝0，则圆C1，C2的公切线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 考点三　圆与圆的位置关系 师生共研 典例4 由题意，得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心C1(1，－2)，半径r1＝3，圆C2：(x＋3)2＋(y－4)2＝52，圆心C2(－3，4)，半径r2＝5，所以5－3＜｜C1C2｜＝2＜5＋3，所以C1与C2相交，有2条公切线.故选B. (2)(双空题)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为_____________，公共弦长为________. x－2y＋4＝0 2 联立两圆的方程得两式相减并化简，得两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组所以｜AB｜＝＝2，即公共弦长为2. (3)(开放题·一题多解)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________________________________. 法一：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1； x＝－1(或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0) ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线 l对称，易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由 由对称性可知公切线l2过点 ，设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0； ③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 法二：若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x＝m，由题意得｜m｜＝1，且｜m－3｜＝4，解得m＝－1，所以此时两圆公切线的方程为x＝－1.若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y＝kx＋b，由题意得＝1，＝4，所以有｜3k－4＋b｜＝4｜b｜，所以可得3k－4＋b＝±4b，即b＝k－或b＝－k. 将b＝k－＝1化简可得k＝，b＝－；将b＝－k代入＝1化简可得k＝－，b＝.则可得两圆公切线的方程为y＝x－或y＝－x＋，即7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.综上，可知两圆公切线的方程为x＝ －1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. (变条件、变设问)若本例(1)条件变为“圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋ m2－1＝0至少有三条公切线”，则m的取值范围是____________________. 变式探究 将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为 (－m，0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或外离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－]∪[，＋∞). 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 规律方法 √ 对点练2.(1)(2025·河北石家庄质检)“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 设圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2，由题意可知C1(0，0)，r1＝2，C2(a，－a)，r2＝1，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为｜C1C2｜≥r1－r2＝2－1＝1，即≥1，解得a≤－或a≥.因为“a≥”是“a≤－或a≥”的充分不必要条件，所以“a≥”是“圆C1与圆C2有公切线”的充分不必要条件.故选A. (2)(多选题)(2025·福建宁德二模)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值可以为 A.B.4 C. D.6 √ √ √ 因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O， 半径为m，故点P是圆O与圆C的交点，圆C：(x－3)2＋(y－ 4)2＝1的圆心为(3，4)，半径r＝1，｜OC｜＝＝5， 因此两圆相切或相交，即｜m－1｜≤≤m＋1，解 得4≤m≤6.故选BCD. 返回 考教衔接　精研教材 返回 (2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值： ______________________________________. 设点C到直线 AB 的距离为d，由弦长公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝＝，解得m＝±或m＝±2. 真题再现 2 (链接北师选择性必修一P36例8)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0. (1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形； (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P 的位置关系，若相交，求直线m被圆P 截得的弦长；若相切或相离，给出证明. 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查求解直线与圆相交所得的弦长，两题的相似度极高. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 √ 1.(2025·河南安阳模拟)过点(0，2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为 A.(x＋1)2＋y2＝3 B.(x＋1)2＋y2＝5 C.(x＋2)2＋y2＝4 D.(x＋2)2＋y2＝8 设圆心为(a，0)，由题意得＝，解得a＝－2，故圆的半径r＝＝2，所以圆的方程为(x＋2)2＋y2＝8.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.(2025·四川南充适应性考试)若过点A(4，0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 A. B.[－，] C. D. √ 设直线l的方程为y＝k(x－4)，直线l与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线l：kx－y－4k＝0的距离d＝＝≤1⇒4k2≤k2＋1⇒3k2≤1⇒－≤k≤.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝＝，半径是2，结合图形(图略)可知，有3个符合条件的点.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.(2025·福建宁德一模)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与直线l：x＋y－1＝0，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则｜PQ｜的最小值是 A.B.2 C.－1 D.2－1 √ 圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0化为标准方程为C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，则圆C的圆心为C(2，3)，半径r＝1，则｜CP｜＝1，直线PQ与圆C相切，有｜PQ｜＝＝，因为点Q在直线l上，所以｜CQ｜≥＝2，则｜PQ｜≥.即｜PQ｜的最小值是.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 5.(多选题)(2025·山东临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0，4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则下列结论正确的是 A.线段AP长的最大值为6 B.当直线AP与圆C相切时，｜AP｜＝2 C.以线段AP为直径的圆不可能过原点O D.·的最大值为20 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 根据题意可知圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3，0)，半径r＝1， 如图所示.易知｜AP｜≤｜AC｜＋｜CP｜＝＋1＝6， 当且仅当A，C，P三点共线(且C点在中间)时，等号成立，故 A正确；当直线AP与圆C相切时，由勾股定理可得｜AP｜＝ ＝＝2，故B正确；若以线段AP 为直径的圆过原点O，由直径所对圆周角为直角可得∠AOP＝90°，易知当P在x轴上时，满足题意，所以以线段AP为直径的圆可能过原点O，故C错误；设点P(x0，y0)，易知x0∈[2，4]，y0∈[－1，1]，则＝(0，－4)，＝(x0，y0－4)，所以·＝16－4y0≤16－4×(－1)＝20，即·的最大值为20，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 6.(多选题)(2025·重庆九龙坡模拟)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：y＝kx，则 A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切 B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点 C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切 D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒过定点O(0，0)，直线l：y＝kx也恒过定点O(0，0)，所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；圆心M(－cos θ，sin θ)，圆心到直线l的距离d＝＝＝｜sin(θ＋α)｜≤1，其中tan α＝k，则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的关系是相交或者相切，故D正确，A错误；当θ＝0时，圆M为(x＋1)2＋y2＝1，此时不存在实数k，使得直线l和圆M相切，故C错误.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.(开放题)写出一个过点P(4，0)且与直线l：y＝x相切的圆的方程________ ________________________. 过点P(4，0)且与直线l垂直的直线l1的方程为y＝－x＋4，设l与l1的交点为Q，由所以Q点的坐标为(2，2)，故所求的一个圆可以是以PQ为直径的圆.因为PQ的中点坐标为(3，1)，｜PQ｜＝＝2，所以所求的一个圆的方程可以为(x－3)2＋(y－1)2＝2. (x－3)2＋ (y－1)2＝2(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.(双空题)若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝___；此公切线的方程为_________________. 1 x＋y＋2＝0 如图，由题意得C1与C2内切，又C2：(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5a，所以｜C1C2｜＝＝－1，所以2a＋1＝，解得a＝1，所以C2，＝＝.联立 ，故所求公切线的方程为y＋＝－，即x＋y＋2＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0. (1)证明：直线l总与圆C相交；(5分) 解：证明：因为圆C：x2＋(y－4)2＝4，所以圆心C(0，4)，半径r＝2， 因为直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0， 整理得(3x－y)m＋(x＋y－4)＝0， 令 所以直线l过定点M(1，3)， 因为｜CM｜＝＝＜2＝r， 所以定点M(1，3)在圆内， 所以直线l总与圆C相交. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)设直线l与圆C交于E，F两点，求△CEF面积最大时，直线l的方程.(8分) 解：由题意S△CEF＝｜CE｜·｜CF｜·sin∠ECF＝r2·sin∠ECF， 当S△CEF最大时，∠ECF＝，此时△CEF是等腰直角三角形，此时圆心C(0，4)到直线l的距离d等于r，即d＝. 因为圆心C(0，4)到直线l的距离 d＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ＝， 所以＝，解得m＝－1， 将m＝－1代入直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，得x－y＋2＝0， 所以当△CEF面积最大时直线l的方程为x－y＋2＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 10.(多选题)(2025·四川成都诊断)已知O为坐标原点，圆Ω：(x－cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，则下列结论正确的是 A.圆Ω恒过原点O B.圆Ω与圆x2＋y2＝4内切 C.直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长的最大值为 D.直线xcos α＋ysin α＝0与圆Ω相离 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，将O(0，0)代入圆Ω的方程，得cos2θ＋sin2θ＝1恒成立，所以圆Ω恒过原点O，故A正确；对于B，圆Ω的圆心为A(cos θ，sin θ)，半径为1；圆x2＋y2＝4的圆心为B(0，0)，半径为2，所以｜AB｜＝1＝2－1，所以圆Ω与圆x2＋y2＝4内切，故B正确；对于C，点A(cos θ，sin θ)到直线x＋y＝＝＝ －sin，所以直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长为2 ≤2＝，故C正确；对于D，点A(cos θ，sin θ)到直线xcos α＋ysin α＝0的距离为＝｜cos(θ－α)｜≤1，所以直线xcos α＋ysin α＝0与圆Ω相交或相切，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(一题多解)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝ a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________. 法一：由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A'(－2，2a－3)，所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 法二：设已知圆关于直线y＝a的对称圆为圆C，则易知圆心C(－3，2a＋2)，半径r＝1.又直线AB的方程为y＝x＋a，即(a－3)x－2y＋2a＝0.于是， 根据题意可知直线AB与圆C有公共点，从而可得 ≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.故所求a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(2025·福建福州期末)已知圆C过点A(1，2)，B(2，1)，且圆心C在直线y＝－x上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点. (1)求圆C的方程；(3分) 解：线段AB的中点坐标为，所在直线的斜率为kAB＝＝－1， 所以AB垂直平分线的斜率为1，垂直平分线的方程为y＝x， 联立方程 所以圆心为(0，0)，半径为r＝＝， 所以圆C的方程为x2＋y2＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若点P的坐标为(0，－3)，求证：无论l的位置如何变化，｜PM｜·｜PN｜恒为定值；(5分) 解：证明：如图，若MN斜率不存在，则｜PN｜＝3－， ｜PM｜＝3＋，｜PM｜·｜PN｜＝4； 若MN斜率存在，设为k，则直线MN的方程为y＝kx－3，联 立方程 消去y，并化简得x2－6kx＋4＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，｜PM｜＝＝，｜PN｜＝，｜PM｜·｜PN｜＝｜x1x2｜＝4，即无论l的位置如何变化，｜PM｜·｜PN｜恒为定值4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)对于(2)中的定值，使｜PM｜·｜PN｜恒为该定值的点P是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P的集合(不必证明).(7分) 解：不唯一，不妨设P(a，b)，a2＋b2＞5，当MN斜率不存在时，则｜a｜＜，联立方程 解得y＝±，｜PM｜·｜PN｜＝｜－b｜·｜－－b｜＝a2＋b2－5； 若MN斜率存在，设为k，则直线MN的方程为y＝kx＋(b－ak)， 联立方程消去y，并化简得x2＋2k(b－ak)x＋(b－ak)2－5＝0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， ｜PM｜·｜PN｜＝·＝·｜x1x2－a(x1＋x2)＋a2｜＝｜a2＋b2－5｜＝a2＋b2－5. 即不论P点在何处，MN的斜率是否存在，｜PM｜·｜PN｜＝a2＋b2－5＝4为定值，则a2＋b2＝9. 综上，使｜PM｜·｜PN｜＝4的P点不唯一，其集合为{(a，b)｜a2＋b2＝9}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 13.(多选题)已知点P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2上一点，A(－1，0)，B(1，0)，则以下说法正确的是 A.若直线AB与圆C相切，则r＝4 B.若以A，B为直径的圆与圆C相切，则r＝4 C.若·＝0，则4≤r≤6 D.当r＝1时，｜PA｜2＋｜PB｜2的最小值为34 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，由A(－1，0)，B(1，0)，则直线AB的方程为lAB：y＝0，所以圆C的圆心(3，4)到直线AB的距离为d＝4，又直线AB与圆C相切，所以r＝4，故A正确；对于B，由A(－1，0)，B(1，0)，则以A，B为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，所以圆C的圆心(3，4)到圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)的距离为5，当圆x2＋y2＝1与圆C外切时，有r＋1＝5，得r＝4，当圆x2＋y2＝1与圆C内切时，有r－1＝5，得r＝6，如图①所示，故B不正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于C，设P点的坐标为(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2－1＋y2＝0，即x2＋y2＝1，所以圆C与x2＋y2＝1有交点，所以结合选项B可得4≤r≤6，如图②所示，故C正确；对于D，设P点的坐标为(3＋cos α，4＋sin α)(α为参数)，则＝(－4－cos α，－4－sin α)，＝(－2－cos α，－4－sin α)，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝12cos α＋16sin α＋54＝20sin(α＋θ)＋54，其中tan θ＝，所以当sin(α＋θ)＝－1时，｜PA｜2＋｜PB｜2取得最小值，且最小值为34，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆C'是以圆x2＋y2＝1上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆C'交于A，B两点，则当∠ACB最大时，｜CC'｜＝______. 2 依题意，在△ABC中，｜AC｜＝｜BC｜＝，如图，显然 0＜｜AB｜≤2，∠ACB是锐角，sin＝＝， 又函数y＝sin x在上单调递增，因此当且仅当公共弦 AB的长度最大时，∠ACB最大，此时弦AB为圆C'的直径，在Rt△ACC'中，∠AC'C＝90°，｜AC'｜＝1，所以｜CC'｜＝＝2. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 直线与圆、圆与圆的位置关系 $