课时测评9 函数的奇偶性、周期性（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评9　函数的奇偶性、周期性 (时间：60分钟　满分：93分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.下列函数中，是偶函数的为(　　) A.f(x)＝ln x B.f(x)＝x3 C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ex＋e－x 答案：D 解析：对于A，因为f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)， 所以f(x)＝ln x不具有奇偶性，故A错误；对于B，C，可知f(x)＝x3，f(x)＝sin x均为奇函数，故B，C错误；对于D，因为f(x)＝ex＋e－x的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex＝ex＋e－x＝f(x)，故D正确.故选D. 2.(2025·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)＝x·为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.－ C. D.1 答案：B 解析：由于f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)恒成立，则f(－1)＝f(1)，则有－1·＝a＋，可得a＝－，经验证满足f(－x)＝f(x)恒成立.故选B. 3.(2025·上海黄浦期末)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋sin x，当x＜0时，f(x)的表达式为(　　) A.x＋sin x B.－x－sin x C.－x＋sin x D.x－sin x 答案：B 解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x，因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x－sin x.故选B. 4.(2025·广东深圳期末)已知函数f(x)＝x－sin x，a＝f(π)，b＝f(2)，c＝－f，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c 答案：A 解析：由x∈R，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，则c＝－f(－)＝f()，＜＜2＜π，函数y＝sin x在上单调递减，故f(x)＝x－sin x在上单调递增，则f＜f(2)＜f(π)，即a＞b＞c.故选A. 5.(多选题)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝4x－x2，则下列说法中错误的是(　　) A.f(x)的单调递增区间为∪[0，2] B.f(－π)＜f(5) C.f(x)的最大值为4 D.f(x)＞0的解集为 答案：ABD 解析：对于A，两个单调区间中间要用“和”或“，”连接，故A错误；对于B， 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－π)＝f(π)，又f(x)在上单调递减，则f(－π)＞f(5)，故B错误；对于C，当x≥0时，f(x)＝4x－x2＝－＋4，f(x)最大值为4，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)的最大值为4，故C正确；对于D，如图所示：f(x)＞0的解集为∪，故D错误.故选ABD. 6.(多选题)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.f(x)是周期为2的函数 C.f(－1)＝0 D.f＝ 答案：ACD 解析：因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；当x∈[0，1)时，f(x)＝x2， 因为f(x)的周期为4，所以f＝f＝f＝，故D正确.故选ACD. 7.(开放题)写出一个最小正周期为5的偶函数　　　　. 答案：f(x)＝cosx(答案不唯一) 解析：由最小正周期为5的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acos ωx＋b(A≠0)，满足f(－x)＝Acos ωx＋b＝f(x)，即是偶函数.根据最小正周期T＝＝5，可得ω＝.令A＝1，b＝0，f(x)＝cosx. 8.函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集为　　　　　　. 答案：(－1，0)∪(1，3) 解析：根据函数f(x)是周期为4的偶函数，以及当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，画出函数f(x)的部分图象如图所示，由图可知，当x∈(－1，0)时，f(x)＜0，xf(x)＞0符合题意；当x∈(1，3)时，f(x)＞0，xf(x)＞0符合题意；综上所述，不等式的解集为(－1，0)∪(1，3). 9.(13分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(3分) (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(4分) (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026).(6分) 解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. (10－12题，每小题5分，共15分) 10.已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为2，且当x∈(0，2)时，f(x)＝2x－2.则函数f(x)在区间[－4，4]内的零点个数为(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 答案：C 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x)的周期为T＝2，所以f(－4)＝f(－2)＝f(2)＝f(4)＝f(0)＝0，因为当x∈(0，2)时，f(x)＝2x－2，则f(1)＝0，结合周期性，可知f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝f(3)＝0，综上，f(x)在区间[－4，4]内的零点个数为9.故选C. 11.(多选题)(2025·江西南昌期末)已知f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，则(　　) A.f(f(x))＝f B.g(g(x))＝g(－g(－x)) C.f(g(x))＝－f(－g(－x)) D.g(f(x))＝－g(－f(－x)) 答案：ABC 解析：对于A，因为f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以f＝f(f(x))，故A正确；对于B，g(－g(－x))＝g(－g(x))＝g(g(x))，故B正确；对于C，f(－g(－x))＝f＝－f(g(x))，即f(g(x))＝－f(－g(－x))，故C正确；对于D，g(－f(－x))＝g(f(x))，故D错误.故选ABC. 12.若f(x)＝sin x＋x3＋x＋1 012，则不等式f(x＋1)＋f(2x)＞2 024的解集是　　　　　　. 答案： 解析：f(x)的定义域为R，令g(x)＝sin x＋x3＋x，则f(x)＝g(x)＋1 012，所以g(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，又g'(x)＝cos x＋3x2＋1＞0，所以g(x)在R上是增函数，由f(x＋1)＋f(2x)＞2 024，得g(x＋1)＋1 012＋g(2x)＋1 012＞2 024，所以g(x＋1)＋g(2x)＞0，所以g(x＋1)＞－g(2x)＝g(－2x)，所以x＋1＞－2x，解得x＞－，则原不等式的解集为. 13.(15分)(一题多问) 已知f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且x∈[－1，0]时，f(x)＝. (1)求函数f(x)的表达式；(4分) (2)判断并证明函数f(x)在区间[0，1]上的单调性；(5分) (3)解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0.(6分) 解：(1)当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，因为f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－， 因此f(x)＝ (2)函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. 证明如下：设x1，x2是[0，1]上任意两个实数，且x1＜x2，则有0≤x1＜x2≤1，由(1)可知f(x)＝－，x∈[0，1]， 于是f(x1)－f(x2)＝－－＝. 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. (3)因为偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递减， 所以f(1－a)－f(3＋a)＜0⇒f(1－a)＜f(3＋a)⇒ 解得a∈⌀，所以不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0的解集为空集. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(多选题)(2025·山东滨州期末)设函数f(x)＝＋，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)的值域为(0，2] D.不等式f(x＋1)＞f(2)的解集为(－3，1) 答案：BCD 解析：函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＋＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B正确；当x≥0时，易知，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，由对称性可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(0)＝2，且f(x)＞0，则f(x)的值域为(0，2]，故A错误，C正确；不等式f(x＋1)＞f(2)等价于f(｜x＋1｜)＞f(2)，则＜2，解得－3＜x＜1，即不等式f(x＋1)＞f(2)的解集为(－3，1)，故D正确.故选BCD. 15.(多选题)狄利克雷是解析数论的创始人之一，对数学分析和数学物理有突出贡献，与其有关的函数y＝x2－D(x)＝称为类狄利克雷函数，以下关于类狄利克雷函数的说法正确的是(　　) A.是偶函数 B.D(D(x))＝1 C.值域是[0，1] D.函数y＝x2－D(x)值域包含正整数集 答案：AB 解析：由题意，函数D(x)的定义域是R ，若x是有理数则－x也是有理数，若x是无理数则－x也是无理数，所以D(x)＝D(－x)，函数D(x)为偶函数，所以y＝x2－D(x)为偶函数，故A正确；当x是无理数时，D(D(x))＝D(0)＝1；当x是有理数时，D(D(x))＝D(1)＝1，故B正确；当x＝2时，x2－1＝3，故C错误；函数y＝x2－D(x)＝由x2－1＝4，可得x＝±，此时x为无理数，所以x2－1≠4，由x2＝4，可得x＝±2，此时x为有理数，所以x2≠4，综上可知，函数y＝x2－D(x)的值域内不含有4，故D错误.故选AB. 学生用书⬇第30页 学科网（北京）股份有限公司 $