第十章 6 第五节 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习资料聚焦离散型随机变量及其分布列、均值与方差核心考点，按“概念-性质-计算-应用”逻辑层次系统梳理知识，通过考点梳理、方法提炼、真题实战等教学环节，帮助学生构建概率模型，突破分布列构建与均值方差计算的应用难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，设计甲、乙对抗赛得分分析等探究活动，引导学生用数学眼光抽象实际问题，结合2024新课标Ⅱ卷真题强化决策问题解法。分层练习与规律总结结合，助力教师把控复习节奏，提升学生规范表达与解题效率。

第五节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 【课标研读】　1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列.　2.理解离散型随机变量的均值、方差的概念.　3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题. 1.随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示. 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).① ①式也可以列成表，如表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 4.离散型随机变量的均值与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的平均水平. (2)方差：称DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为 学生用书⬇第269页 随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散. [微提醒]　(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确. 【常用结论】 (1)均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. ①E(X＋b)＝EX＋b.②E(aX)＝aEX. ③E(aX＋b)＝aEX＋b. (2)方差的性质 ①D(X＋b)＝DX.②D(aX)＝a2DX. ③D(aX＋b)＝a2DX. 【自主检测】 1.(多选题)下列结论中正确的是(　　) A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量 B.在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1 C.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 D.方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小 答案：ACD 2.(链接北师选择性必修一P201练习T1)下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X； ②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y； ③某人1小时内接到的电话次数X； ④1天内的温度Y. 其中是离散型随机变量的为(　　) A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 答案：B 解析：根据离散型随机变量的定义，①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X是随机变量，且X为自然数，故X是离散型随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是随机变量，但所有可能取值在直线上连续，故不是离散型随机变量；③某人1小时内接到的电话次数X是一个随机变量，且X为自然数，故X是离散型随机变量；④1天内的温度Y是一个随机变量，但其所有可能取值是一定范围内的实数，故不是离散型随机变量.故选B. 3.(链接北师选择性必修一P209练习T1)若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　. 答案：0.5 解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则Dξ＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5. 4.(链接北师选择性必修一P209练习T2)随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，EX＝1，则DX＝　　　　. 答案： 解析：设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得解得p＝，q＝，所以DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝. 考点一　离散型随机变量分布列的性质 自主练透 1.下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是(其中0＜p＜1)(　　) A. X 1 2 3 P p p－1 2－2p B. X 1 2 3 P C. X 1 2 3 P p p－p2 1－2p＋p2 D. X 1 2 3 P p 1－p－ 答案：C 解析：选项A中p－1＜0，选项B中概率之和为p，而p＜1，选项D中＞1，都不符合概率的意义.选项C中，0＜p＜1，0＜p－p2＜1，0＜1－2p＋p2＜1，且p＋(p－p2)＋(1－2p＋p2)＝1，显然p有解.因此只有选项C中的表可作为某离散型随机变量的分布列.故选C. 2.(多选题)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7 C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3 答案：ABD 解析：因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确.故选ABD. 3.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P等于(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，即a＝，所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.故选D. 规律方法 离散型随机变量分布列的性质的应用 1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值. 学生用书⬇第270页 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 注意：若X为随机变量，则aX＋b仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列. 考点二　离散型随机变量的分布列、均值与方差多维探究 角度1　离散型随机变量的分布列 (2025·山东淄博模拟)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得－1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5，求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列. 解：(1)依题意可得X的可能取值为－1，0，1. 所以P(X＝－1)＝(1－0.6)×0.5＝0.2， P(X＝0)＝0.6×0.5＋(1－0.6)×(1－0.5)＝0.5， P(X＝1)＝0.6×(1－0.5)＝0.3， 所以X的分布列为 X －1 0 1 P 0.2 0.5 0.3 (2)依题意可得Y的可能取值为－2，－1，0，1，2， 所以P(Y＝－2)＝P(X＝－1)×P(X＝－1)＝0.22＝0.04， P(Y＝－1)＝2×P(X＝－1)×P(X＝0)＝2×0.2×0.5＝0.2， P(Y＝0)＝2×P(X＝－1)×P(X＝1)＋P(X＝0)×P(X＝0)＝2×0.2×0.3＋0.52＝0.37， P(Y＝1)＝2×P(X＝0)×P(X＝1)＝2×0.5×0.3＝0.3， P(Y＝2)＝P(X＝1)×P(X＝1)＝0.32＝0.09. 所以Y的分布列为 Y －2 －1 0 1 2 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 角度2　离散型随机变量的均值与方差 (2025·山西运城模拟)为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解.组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两位选手.每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等.比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜.已知甲、乙两位选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两位选手回答每道试题是否正确相互独立.2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分. (1)求乙总得分为10分的概率； (2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望. 解：(1)由题意知，乙得10分的样本点有乙抢到2题且1道回答正确、1道回答错误或没有回答，甲、乙各抢到1题且都回答正确，甲抢到2题都回答错误或没有回答， 所以乙总得分为10分的概率 p＝2××××＋2××××＋×××＝. (2)由题意得，甲的总得分X的可能取值为0，5，10，15，20， P(X＝0)＝×××＋2××××＋×××＝， P(X＝5)＝2××××＋2××××＝， P(X＝10)＝2××××＋×××＋2××××＝， P(X＝15)＝2××××＝， P(X＝20)＝×××＝. 所以X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P 所以EX＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝. 规律方法 1.离散型随机变量分布列的求解步骤 注意：离散型随机变量的每一个可能的取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的. 2.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 第一步：理解X的意义，写出X可能的全部取值；第二步：求X取每个值的概率；第三步：写出X的分布列；第四步：由均值的定义求EX；第五步：由方差的定义求DX. 注意：结合题设背景，正确写出X的所有可能的取值，借助于排列、组合、古典概型求出各事件的概率是解决本类问题的关键. 学生用书⬇第271页 对点练1.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论中正确的有(　　) A.q＝0.1 B.EX＝2，DX＝1.4 C.EX＝2，DX＝1.8 D.EY＝5，DY＝7.2 答案：ACD 解析：因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；由已知可得EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2，故D正确.故选ACD. 对点练2.(2025·河北石家庄调研)在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目. (1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 解：(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E， 则P(E)＝＝， 故a同学摸球三次后停止摸球的概率为. (2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2， 方差DX＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝. 考点三　均值与方差中的决策问题 师生共研 [答题规范](17分)(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)假设0＜p＜q. ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ [思路分析]　(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案. (2)①首先各自计算出P甲＝q3，P乙＝·p3，再作差因式分解即可判断. ②首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再作差比较大小即可. 学生用书⬇第272页 规律方法 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 对点练3.(2025·福建厦门、福州等市质检)校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器(简称AED)若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法.经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立. (1)现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率； (2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案： 方案甲：在第一次操作时，随机等可能地选择M或 学生用书⬇第273页 N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作. 方案乙：在第一次操作时，随机等可能地选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备. 假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？ 解：设“操作成功”为事件S，“选择M型AED”为事件A，“选择N型AED”为事件B， 由题意，知P(A)＝P(B)＝，P(S｜A)＝， P(S｜B)＝. (1)恰好在第二次操作成功的概率P＝P()P(S)， P(S)＝P(A)P(S｜A)＋P(B)P(S｜B)＝×＋×＝，则P()＝1－P(S)＝， 所以恰好在第二次操作成功的概率为×＝. (2)设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X，Y， 则X，Y可能取值均为0，1，2， P(X＝0)＝P(A)P(｜A)P(｜B)＋P(B)P(｜B)P(｜A)＝××＋××＝， P(X＝1)＝P(A)P(｜A)P(S｜B)＋P(A)P(S｜A)P(｜A)＋P(B)P(｜B)P(S｜A)＋P(B)P(S｜B)P(｜B)＝××＋××＋××＋××＝， P(X＝2)＝P(A)P(S｜A)P(S｜A)＋P(B)P(S｜B)P(S｜B)＝××＋××＝， 所以EX＝0×＋1×＋2×＝. P(Y＝0)＝P(A)P(｜A)P(｜A)＋P(B)P(｜B)P(｜B)＝××＋××＝， P(Y＝1)＝P(A)P(｜A)P(S｜A)＋P(A)P(S｜A)P(｜A)＋P(B)P(｜B)P(S｜B)＋P(B)P(S｜B)P(｜B)＝××＋××＋××＋××＝， P(Y＝2)＝P(A)P(S｜A)P(S｜A)＋P(B)P(S｜B)P(S｜B)＝××＋××＝， 所以EY＝0×＋1×＋2×＝. 决策一：因为EX＞EY，故方案甲更好. 决策二：因为EX与EY差距非常小，所以两种方案均可. [真题再现]　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 解：(1)由题易知X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)由(1)可知EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 假设小明先回答B类问题，其累计得分为Y，则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 所以EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6， 所以EY＞EX， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题. [教材呈现]　(链接北师选择性必修一P208例6)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如表1、表2： ξ 0 1 2 P 表1 η 0 1 2 P 表2 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查利用均值(方差)进行问题决策，两题的相似度较高，高考题中决策的标准更明确. 学科网（北京）股份有限公司 $