第八章 14 培优课15 非对称韦达定理的应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线中非对称韦达定理应用这一高考核心难点，以对称型韦达问题为基础过渡到非对称结构，通过“和积互化”“配凑代换”两大技法系统梳理解题思路，结合考点分析、方法指导、真题讲解及分层练习，帮助学生构建从问题识别到策略应用的完整解题体系。 讲义特色在于创新突破非对称结构处理瓶颈，通过典型例题拆解韦达定理和积转化、代数式配凑的推理过程，培养学生数学思维与运算能力，设置基础巩固与能力提升分层练习，确保复习高效精准，助力教师把控难点突破节奏，提升学生高考实战解题能力。

培优课15　非对称韦达定理的应用 直曲联立、韦达定理解决圆锥曲线问题时，很多情况会出现如“＋，＋，＋，｜x1－x2｜…”之类的式子，它们的结构特点是将x1与x2互换之后结果不变，即“对称性”，此类问题称为“对称型韦达问题”，这类问题稍作变形，即可直接利用韦达定理的结果整体代入求解，但在某些问题中，我们会遇到两根不对称的结构，如“，λx1＋μx2(λ≠μ)，，…”之类的问题，就难以直接应用韦达定理了，一般称这类问题为“非对称韦达问题”. 技法一　利用和积互化 已知点H，椭圆C：＋＝1(y≠0)，过C的右焦点F的动直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，过点M作y轴的垂线l'，试判断直线l'与NH的交点是不是恒在一条直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由. 解：显然过点F的直线l不垂直于y轴，设l：x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立化简得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，易知Δ＞0， y1＋y2＝，y1y2＝， 显然y1y2＝(y1＋y2)， 由 解得x＝＋＝＋＝， 所以交点恒在定直线x＝上. 本题解析中的表达式是典型的非对称问题，解题关键是把韦达定理通过比例进行和积互化，从而使问题得到解决. 对点练1.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4，左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线l交椭圆E于M，N两点，△F1MN的周长为12. (1)记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2.证明：为定值； (2)记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，求S1＋S2的最大值. 解：(1)证明：由椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4可知：c＝2. 由△F1MN的周长为12可知：4a＝12，a＝3. 所以b2＝a2－c2＝9－4＝5. 所以椭圆E的方程为＋＝1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2. 联立y2＋20my－25＝0. 易知Δ＞0，所以y1＋y2＝，y1y2＝. 所以＝＝，即my1y2＝(y1＋y2). 则＝＝＝＝＝＝＝. 所以. (2)由题意可知：S1＋S2＝S△MAB＋S△NAB＝×2×3×｜y1－y2｜＝3｜y1－y2｜ ＝3×＝， 令t＝≥1，则S1＋S2＝＝. 又y＝5t＋在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1，即m＝0时，S1＋S2取得最大值为＝10. 所以S1＋S2的最大值为10. 技法二　配凑代换 已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F2作直线l与椭圆交于P，Q两点(不与A，B重合)，记AP与BQ的斜率分别为k1，k2，证明：为定值. 证明：法一：由题知A(－2，0)，B(2，0)，①当直线PQ斜率不存在时，直线PQ：x＝1.将x＝1代入＋＝1，得y1＝，y2＝－. 故k1＝，k2＝或k1＝－，k2＝－，所以＝.②当直线PQ斜率存在时，设直线PQ：y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，易知Δ＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝，＝·＝·＝·＝＝ ＝＝＝， 易知，k1，k2同号，所以＝. 法二：由题知A(－2，0)，B(2，0)，设直线PQ：x＝ty＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立化简得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，易知Δ＞0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以k1＝kAP＝，k2＝kBQ＝， 所以＝＝＝＝＝ ＝＝. 学生用书⬇第232页 本题在解答中将y1y2＝－＝，依然无法得到定值，因为分式中的y1和3y2不一致，所以将分式配凑成＝形式，再用韦达定理代入就水到渠成了.所以此题的化简目标是利用韦达定理代换之后，分子分母仅保留y2(当然也可以仅保留y1)，明白了这个化简的目标，配凑就显得十分自然了. 对点练2.(2025·安徽黄山模拟)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F(－1，0)，点P在E上，PF⊥x轴，且直线PA的斜率为. (1)求E的方程； (2)M(异于点F)是线段PF上的动点，AM与E的另一交点为C，CF与E的另一交点为D，直线BD与直线AM相交于点N，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由. 解：(1)设P(－1，y0)， 因为点P在E上，直线PA的斜率为，椭圆E的左焦点为F(－1，0)， 则由题意得 解得a＝2，b＝，y0＝， 所以E的方程为＋＝1. (2)由(1)知A(－2，0)，B(2，0)， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，N(m，n)，其中y1≠0，y2≠0， 由题意设lCD：x＝my－1，与＋＝1联立消去x得y2－6my－9＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 因为直线BD与直线AM相交于点N，且AM与E的另一交点为C， 所以kAC＝kAN，kBD＝kBN， 即＝，＝， 所以＝＝＝＝＝＝＝＝＝3. 所以m＝－4，即点N在直线x＝－4上， 又MF⊥x轴，F(－1，0)， 所以＝＝2，即为定值2. 学科网（北京）股份有限公司 $