第八章 6 第五节 椭 圆（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦椭圆高考核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及应用，按“定义-方程-性质-应用”逻辑架构梳理知识，通过考点分析、方法指导（如定义法求轨迹）、真题训练（链接新高考真题）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破离心率计算、焦点三角形等难点。 资料以“数学思维”和“几何直观”为核心，创新设计一题多变（如焦点三角形角度变式）和分层练习（自主检测到综合应用），通过推导焦点三角形面积公式培养逻辑推理能力。结合课标要求和真题再现，确保复习针对性，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第五节　椭　圆 【课标研读】　1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.　3.通过对椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合思想.　4.掌握椭圆的简单应用. 1.椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点P与平面内的两个定点F1，F2 P点的轨迹叫作椭圆 F1，F2叫作椭圆的焦点 ｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a ｜F1F2｜叫作椭圆的焦距 2a＞｜F1F2｜ [微提醒]　在数学表达式｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a中：若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹为线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)、 B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)、 B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b 焦距 ｜F1F2｜＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [微提醒]　(1)焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.(2)离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁. 【常用结论】 (1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 ①b≤｜OP｜≤a；②a－c≤｜PF｜≤a＋c. (2)椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ， ①｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，△PF1F2的周长为2a＋2c. ②｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c. ③＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b，即点P的位置为短轴端点时，取最大值，最大值为bc. ④｜PF1｜·｜PF2｜≤＝a2. ⑤4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos θ. (3)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦的斜率k＝－. 【自主检测】 1.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆 C.方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆 D.＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同 答案：CD 2.(链接北师选择性必修一P53T4)若椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离为4，则点P与另一个焦点F2的距离为(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 答案：A 解析：由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，因为｜PF1｜＝4，所以｜PF2｜＝6，即点P与另一个焦点F2的距离为6.故选A. 3.(链接北师选择性必修一P58T7)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为　　　　　　　　　. 答案：＋＝1 解析：如图，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由椭圆的定义可知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a，又△ABF2的周长为16，所以｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝16，即4a＝16，a＝4，又e＝＝，则c＝2，b＝＝2，故椭圆C的方程为＋＝1. 4.(易错题)(链接北师选择性必修一P58T1)已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，则m的值为　　　　　　　. 答案：3或 解析：若0＜m＜5，则a2＝5，b2＝m，则c＝.由e＝，得＝，解得m＝3.若m＞5，则a2＝m，b2＝5，则c＝.由e＝，得＝，解得m＝.综上，m＝3或. 考点一　椭圆的定义及其应用师生共研 (1)如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 (2)(用结论)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 (3)(一题多变)点P为椭圆C：＋＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为　　　　. 答案：(1)A　(2)C　(3) 解析：(1)如图，连接QA.由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A. (2)由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.故选C. (3)由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，｜F1F2｜＝2，所以｜F1F2｜2＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)2－2｜PF1｜｜PF2｜－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°＝4a2－3｜PF1｜｜PF2｜＝4a2－16，所以｜PF1｜｜PF2｜＝，所以＝｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝××＝. [变式探究] (变条件)若将本例(3)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积. 解：因为PF1⊥PF2，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4(a2－4)＝4a2－16， 又｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a， 所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜｜PF2｜＝4a2， 即4a2－16＋2｜PF1｜｜PF2｜＝4a2， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8， 所以＝｜PF1｜｜PF2｜＝4. 规律方法 椭圆定义的应用技巧 1.椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. 2.通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题以及｜PF1｜·｜PF2｜问题. 对点练1.(1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.双曲线的一支 (2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为　　　　. 答案：(1)A　(2)8 解析：(1)设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆心为A(－1，0)，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，圆心为B(1，0)，则｜PA｜＝r＋1，｜PB｜＝8－r，可得｜PA｜＋｜PB｜＝9，又9＞2＝｜AB｜，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆.故选A. (2)根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m，则｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜＝m(8－m)＝8. 考点二　椭圆的标准方程多维探究 角度1　定义法 (2025·湖南长沙开学考)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，若｜F1F2｜，｜PF2｜，｜PF1｜成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D 解析：如图所示，由题知，｜F1F2｜＝2c，｜PF2｜＝2c＋2，｜PF1｜＝2c＋4，又PF2垂直于x轴，所以(2c)2＋(2c＋2)2＝(2c＋4)2，解得c＝3，又由椭圆定义可得2a＝2c＋2＋2c＋4＝18，即a＝9，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，所以椭圆方程为＋＝1.故选D. 角度2　待定系数法 求适合下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； (3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点； (4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－). 解：(1)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 因为椭圆过点A(3，0)，所以＝1得a＝3， 因为2a＝3×2b，所以b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 因为椭圆过点A(3，0)，所以＝1得b＝3， 又2a＝3×2b，所以a＝9， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由已知，有 所以b2＝9， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则有 则所求椭圆的标准方程为＋＝1. (4)椭圆＋＝1的离心率是e＝， 当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)， 所以 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 所以 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 角度3　相关点代入法 (2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y＞0) B.＋＝1(y＞0) C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0) 答案：A 解析：设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以＋＝16(y0＞0)，即＋＝1(y0＞0)，所以线段PP'的中点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0).故选A. 求椭圆方程的方法 1.定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义. 2.待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. 3.相关点代入法. 对点练2.(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)＋＝1 解析：(1)依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1.故选B. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n).由解得m＝，n＝.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 考点三　椭圆的简单几何性质多维探究 角度1　离心率 (1)(一题多解)(2025·山东名校联考)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是(　　) A. B. C. D. (2)(2024·河南洛阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是椭圆C的任意两点，四边形ABF1F2是平行四边形，且｜AB｜≤2｜AF2｜，则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)法一：无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，可得2b＝，即a2＝3b2，故a2＝3(a2－c2)，2a2＝3c2，则e2＝，所以离心率e＝.故选C. 法二：无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，得tan 60°＝＝，所以＝，所以离心率e＝＝＝.故选C. (2)因为四边形ABF1F2是平行四边形，则AB∥F1F2，且｜AB｜＝｜F1F2｜＝2c，所以AB⊥AF2，则｜AF2｜＝.因为｜AB｜≤2｜AF2｜，即2c≤，所以ac≤b2＝a2－c2，即c2＋ac－a2≤0，同除以a2可得e2＋e－1≤0，解得≤e≤.因为0＜e＜1，所以0＜e≤，所以椭圆C的离心率的取值范围是. 角度2　与椭圆性质有关的最值(范围)问题 如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b＞0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为　　　　. 答案：4 解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.设P点的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1，0)，A(2，0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝－x0－2＋＝－x0＋1＝(x0－2)2，所以当x0＝－2时，·取得最大值4. 规律方法 1.求椭圆离心率(或其取值范围)的三种方法 (1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值. (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解. (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 注意：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根. 2.与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 对点练3.(1)(2025·湖南长沙调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2.若AB∥PF1，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. (3)设点M是椭圆C：＋＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则｜MN｜的最小值是　　　　. 答案：(1)A　(2)C　(3) 解析：(1)由题意，知A(－a，0)，B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，所以kAB＝.因为AB∥PF1，所以＝kAB＝.将x＝c代入椭圆方程＋＝1中解得y＝±.易知点P位于第一象限，所以P，所以＝，所以＝，即b＝2c，两边平方，得b2＝4c2.又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝＝.故选A. (2)依题意，得B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则｜y0｜≤b，＋＝1，可得＝a2－，则｜PB｜2＝＋(y0－b)2＝＋－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤.故选C. (3)由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.因为直线MN与圆E相切于点N，所以NE⊥MN，且｜NE｜＝1.设M(x0，y0)，因为点M在椭圆＋＝1上，所以－3≤x0≤3，因为｜MN｜＝＝＝＝＝＝＝，所以当x0＝3时，｜MN｜取得最小值，｜MN｜min＝＝. [真题再现]　(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 答案：B 解析：法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而＝b2tan 45°＝1＝×｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B. 法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝42＝16，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，平方得：｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝16＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B. [教材呈现]　(链接北师选择性必修一P53T4)椭圆＋＝1上一点P到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为　　　　. 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查利用椭圆的第一定义解决问题，两题的相似度极高. 学科网（北京）股份有限公司 $