第八章 2 第二节 两条直线的位置关系（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考“两条直线的位置关系”核心考点，涵盖平行垂直判定、距离公式、对称问题及直线系应用，按“定义-公式-应用”逻辑架构知识体系。通过课标研读明确要求，表格化梳理关系条件，分考点设置自主练透、师生共研环节，配合规律总结和真题训练，帮助学生系统突破重点难点。 资料特色在于分层教学与多维探究，如对称问题从点关于点、直线等四角度切入，结合“一题多变”活动培养学生数学思维。通过教材例题与高考真题对比分析，强化模型建构能力，设置基础巩固到综合应用分层练习，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第二节　两条直线的位置关系 【课标研读】　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.　3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置 关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 位置 关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 [微提醒]　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形. 2.三种距离公式 两点间的距离公式 点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离 ｜AB｜＝ 点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝(其中A，B不全为0) 两条平行直线间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2) 学生用书⬇第199页 [微提醒]　(1)利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式.(2)利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式. 3.对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P'(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P'(x'，y')， 则有可求出x'，y'. 【常用结论】 (1)四类常见直线系方程 ①平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C). ②垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R). ③定点直线系方程：过定点(x0，y0)的所有直线可设为y－y0＝k(x－x0)或x＝x0. ④交点直线系方程：过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. (2)五种常用对称关系 ①点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y). ②点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y). ③点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x). ④点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y). ⑤点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k). 【自主检测】 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2 B.如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1 C.若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交 D.直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 答案：CD 2.(链接北师选择性必修一P19T1)直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是(　　) A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 答案：C 解析：直线6x－2y＋10＝0可化为3x－y＋5＝0，所以直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是重合.故选C. 3.(链接北师选择性必修一P25练习T4)若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则a的值为(　　) A.4 B.或－6 C.4或－16 D.8或－16 答案：C 解析：将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝＝，根据题意可得：＝，即｜a＋6｜＝10，解得a＝4或a＝－16，所以a的值为4或－16.故选C. 4.(链接北师选择性必修一P26B组T7)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　) A.3x＋4y－5＝0 B.3x＋4y＋5＝0 C.3x－4y＋5＝0 D.3x－4y－5＝0 答案：B 解析：设所求对称直线上点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线的方程为3x＋4y＋5＝0.故选B. 考点一　两条直线的平行与垂直自主练透 1.已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A.0或－1 B.－1或1 C.－1 D.1 答案：A 解析：由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.故选A. 2.(2025·湖北武汉调研)设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：A 解析：若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件.故选A. 3.已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.故选D. 规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 学生用书⬇第200页 考点二　两条直线的交点坐标与距离公式师生共研 (一题多变)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值. 解：(1)设经过两已知直线交点的直线为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以＝3，解得λ＝或λ＝2. 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得 即交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离， 则d≤｜PA｜(当l⊥PA时等号成立). 所以dmax＝｜PA｜＝. [变式探究] (变条件)若将本例变为：直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点且到点A(1，0)和点B(3，4)的距离相等，求直线l的方程. 解：由解得交点坐标为(2，1). 当AB∥l时，又kAB＝2， 所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)， 即2x－y－3＝0； 当l过AB中点时，又AB的中点为(2，2)， 所以直线l的方程为x＝2. 综上，直线l的方程为2x－y－3＝0或x＝2. 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝｜x0－a｜，到直线y＝b的距离d＝｜y0－b｜.(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等. 对点练1.(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0 C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0 (2)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离.当θ，m变化时，d的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (3)(2025·云南宣威模拟)已知P，Q分别在直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：x－y－1＝0上，且PQ⊥l1，点A(－4，4)，B(4，0)，则｜AP｜＋｜PQ｜＋｜QB｜的最小值为　　　　　. 答案：(1)D　(2)C　(3)＋ 解析：(1)由所以直线l1与l2的交点为(－1，1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.故选D. (2)法一：由题意可得d＝ ＝ ＝ ＝，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3.故选C. 法二：易知点P(cos θ，sin θ)在单位圆x2＋y2＝1上，直线x－my－2＝0恒过定点A(2，0).如图所示，作OB垂直该直线，垂足为B，则由图可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3(其中r是单位圆的半径)，所以dmax＝3，此时A，B重合，直线方程为x＝2.故选C. (3)由直线l1与l2间的距离为得｜PQ｜＝，过B(4，0)作直线l垂直于l1：x－y＋1＝0，如图，则直线l的方程为y＝－x＋4，将B(4，0)沿着直线l往上平移个单位到B'点，有B'(3，1)，连接AB'交直线l1于点P，过P作PQ⊥l2于Q，连接BQ，有BB'∥PQ，｜BB'｜＝｜PQ｜，即四边形BB'PQ为平行四边形，则｜PB'｜＝｜BQ｜，即有｜AP｜＋｜QB｜＝｜AP｜＋｜PB'｜＝｜AB'｜，显然｜AB'｜是直线l1上的点与点A，B'距离和的最小值，因此｜AP｜＋｜QB｜的最小值，即｜AP｜＋｜PB'｜的最小值｜AB'｜，而｜AB'｜＝＝，所以｜AP｜＋｜PQ｜＋｜QB｜的最小值为｜AB'｜＋｜PQ｜＝＋. 考点三　对称问题多维探究 角度1　点关于点中心对称 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 角度2　点关于直线对称 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝　　　　. 答案： 解析：由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的垂直平分线，于是故m＋n＝. 角度3　直线关于点对称 直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线方程为(　　) A.4x＋3y－4＝0 B.4x＋3y－12＝0 C.4x－3y－4＝0 D.4x－3y－12＝0 答案：B 解析：设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线上任意一点为P(x，y)，则P(x，y)关于A(1，1)的对称点为B(2－x，2－y)，又因为B(2－x，2－y)在直线4x＋3y－2＝0上，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故选B. 角度4　直线关于直线对称 两直线方程l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　) A.3x－2y－4＝0 B.2x＋3y－6＝0 C.2x－3y－4＝0 D.3x－2y－6＝0 答案：C 解析：设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M'(x1，y1)， 则(*) 因为点M'在直线3x－2y－6＝0上，所以将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程.故选C. 1.解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. 2.中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 对点练2.(1)(2025·广东广州模拟)已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　) A.(3，4) B.(4，5) C.(－4，－3) D.(－5，－4) 学生用书⬇第201页 (2)(2025·陕西宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　) A.a＝，b＝6 B.a＝－3，b＝ C.a＝3，b＝－ D.a＝－，b＝－6 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)设A(x，y)，则所以点A的坐标为(－5，－4).故选D. (2)由题意得，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－.故选D. [真题再现]　1.(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 答案：D 解析：化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3.故选D. 2.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 答案：B 解析：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.故选B. [教材呈现]　(链接北师选择性必修一P23例23)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0. 点评：这两道高考题与教材例题非常类似，都是求点到直线的距离.而高考题24北京卷又涉及求圆心，20全国Ⅲ卷更进一步考查距离的最值，是课本例题的变式和引申，源于教材，高于教材. 学科网（北京）股份有限公司 $