第七章 5 第四节 垂直关系（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦空间垂直关系核心考点，涵盖线线、线面、面面垂直的定义、定理及转化关系，按“定义-定理-应用”逻辑梳理知识体系。通过自主检测诊断基础，考点分层探究结合方法总结与真题演练，帮助学生突破证明难点，构建系统复习路径。 讲义采用“定理辨析-模型构建-真题迁移”教学策略，如在面面垂直证明中引导学生通过“线面垂直→面面垂直”转化，培养逻辑推理与空间观念。设置分层练习配合即时指导，高效提升空间论证能力，为教师把控复习节奏提供精准参考。

第四节　垂直关系 【课标研读】　1.从立体几何的定义、4个基本事实和定理出发，认识和理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理.　2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论，证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. (2)性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α [微提醒]　“任何一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直. 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：α⊥β. (2)性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β [微提醒]　三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 【常用结论】 (1)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 【自主检测】 1.(多选题)下列命题中错误的是(　　) A.若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α B.若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b C.若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 D.若α⊥β，a⊥β，则a∥α 答案：ACD 2.(链接北师必修二P264T5)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β 答案：D 解析：α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以β可以绕交线a任意旋转，所以不能得到α⊥β，故B不正确；a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确；当a⊥β，a∥α，过直线a作平面与平面α交于直线b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β，又b⊂α，所以α⊥β，故D正确. 3.(链接北师必修二P248T7)(多选题)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是(　　) A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EF C.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC 答案：ABD 解析：对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可 知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，故A正确；对于B，由A项可知，BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB，所以AE⊥EF，故B正确；对于C，若AC⊥PB，又PA⊥AC，PB∩PA＝P，则AC⊥平面PAB，所以AC⊥AB，不符合题意，所以AC⊥PB不成立，故C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得，平面AEF⊥平面PBC，故D正确.故选ABD. 4.(双空题)(链接北师必修二P248T5)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的投影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的　　　　心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的　　　　心. 答案：(1)外　(2)垂 解析：(1)如图①，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心. (2)如图②，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心. 学生用书⬇第177页 考点一　直线与平面垂直的性质与判定 多维探究 角度1　证明直线与平面垂直 S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D 为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明：(1)如图所示，取AB 的中点E，连接SE，DE. 在Rt△ABC中，因为D，E 分别为AC，AB 的中点， 所以DE∥BC， 所以DE⊥AB. 因为SA＝SB，E 是AB 的中点，所以SE⊥AB. 又SE∩DE＝E，SE，DE⊂平面SDE， 所以AB⊥平面SDE. 又SD⊂平面SDE，所以AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D 为AC的中点，所以SD⊥AC. 又AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)由于AB＝BC，D 是AC的中点，则BD⊥AC. 由(1)可知，SD⊥平面ABC， 又BD⊂平面ABC，所以SD⊥BD. 又SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC. 角度2　证明直线与直线垂直 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F-EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为侧面AA1B1B为正方形，所以BB1⊥A1B1.又因为BF⊥A1B1，且BF∩BB1＝B，所以A1B1⊥侧面B1C1CB.因为A1B1∥AB，所以AB⊥侧面B1C1CB.又BC⊂侧面B1C1CB，所以AB⊥BC.因为E，F分别为AC，CC1的中点，所以CF＝1，且S△BEC＝S△ABC＝×AB·BC＝××2×2＝1. 所以三棱锥F-EBC的体积V＝S△BEC·CF＝×1×1＝. (2)证明：取BC的中点M，连接EM，B1M，A1E，则EM∥AB∥A1B1，所以A1，B1，M，E四点共面.在正方形B1C1CB中，由B1B＝CB，BM＝CF，且∠MBB1＝∠FCB＝90°，所以△FCB≌△MBB1，所以∠CBF＝∠MB1B，∠CFB＝∠B1MB，所以∠CBF＋∠B1MB＝90°，则BF⊥B1M.又因为BF⊥A1B1，且A1B1∩B1M＝B1，所以BF⊥平面A1EMB1.又因为DE⊂平面A1EMB1，所以BF⊥DE. 1.证明直线和平面垂直的常用方法 (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质. 2.证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 对点练1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD， 又因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD， 所以AE⊥PD. 因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， 所以PD⊥平面ABE. 考点二　平面与平面垂直的性质与判定 师生共研 (一题多变)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面PAB⊥平面PAC. 证明：因为D为圆锥顶点，O为底面圆心， 所以OD⊥平面ABC， 因为P在DO上，OA＝OB＝OC， 所以PA＝PB＝PC， 因为△ABC是圆内接正三角形， 所以AC＝BC，△PAC≌△PBC， 所以∠APC＝∠BPC＝90°， 即PB⊥PC，PA⊥PC， 又PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， 所以PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC， 所以平面PAB⊥平面PAC. 学生用书⬇第178页 [变式探究] 　(变条件、变设问)本例的已知条件增加“设DO＝，圆锥的侧面积为π”，求三棱锥P-ABC的体积. 解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为πrl＝π，rl＝，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，l＝，AC＝2rsin 60°＝，在等腰直角三角形APC中，AP＝AC＝，在Rt△PAO中，PO＝＝＝，所以三棱锥P-ABC的体积为VP-ABC＝PO·S△ABC＝×××3＝. 1.判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理. 2.面面垂直性质的应用 (1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”；(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面. 对点练2.(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC， 因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面 ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 又因为A1B＝AB，BC为公共边， 所以△ABC与△A1BC全等，所以A1C＝AC. 所以△ACA1与△A1CC1均为等腰直角三角形， 所以A1O＝CC1＝1， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 考点三　平行、垂直关系的综合应用 师生共研 (2025·河北石家庄模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点. (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O， 所以O为AD1的中点. 又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1， 所以OE∥BD1. 又因为O为AD1的中点， 所以E为AB的中点. (2)存在点E，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下：设AC∩DE＝F， 因为四边形AA1D1D为正方形， 所以D1D⊥AD， 又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D， 所以D1D⊥平面ABCD， 又因为AC⊂平面ABCD， 所以D1D⊥AC. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中， tan∠ADE＝＝， 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝， 所以∠ADE＝∠BAC， 又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°， 所以∠ADE＋∠DAC＝90°， 则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE， 又因为DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE， 所以AC⊥平面D1DE. 又因为AC⊂平面AD1C， 所以平面D1DE⊥平面AD1C. 1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用. 2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证. 对点练3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (1)求证：B1C∥平面A1BM； (2)求证：AC1⊥平面A1BM； (3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面ACC1A1？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 解：(1)证明：连接AB1，AB1与A1B交于点O，连接OM， 在△B1AC中，M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C， 又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM. (2)证明：因为AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC， 所以AA1⊥BM. 又M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC. 因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1， 所以BM⊥平面ACC1A1， 又因为AC1⊂平面ACC1A1， 所以BM⊥AC1. 因为AC＝2，所以AM＝1. 又AA1＝，在Rt△ACC1和Rt△A1AM中， tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝， 所以∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1， 又BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM， 所以AC1⊥平面A1BM. (3)存在点N为BB1的中点，即＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C. 证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN， 因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1且DM＝CC1，又N为BB1的中点， 所以DM∥BN且DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，故BM∥DN， 由(2)知，BM⊥平面ACC1A1， 所以DN⊥平面ACC1A1， 又DN⊂平面AC1N， 所以平面AC1N⊥平面ACC1A1. 学生用书⬇第179页 [真题再现]　 (2024·新课标Ⅱ卷节选)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F分别满足＝，＝，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4. 证明：EF⊥PD. 证明：由AB＝8，AD＝5，＝，＝， 得AE＝2，AF＝4，又∠BAD＝30°，在△AEF中，由余弦定理得EF＝＝＝2， 所以AE2＋EF2＝AF2，则AE⊥EF，即EF⊥AD， 所以EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE， 所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE， 故EF⊥PD. [教材呈现]　 (链接北师必修二P267T3)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD＝90°，且PA⊥AB，PD⊥CD. (1)判断CD是否与平面PAD垂直，证明你的结论； (2)证明：平面PAB⊥平面ABCD. 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查直线与平面垂直的判定与性质. 学科网（北京）股份有限公司 $