第七章 1 第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何核心考点，涵盖基本立体图形结构特征、直观图画法、表面积与体积计算，按多面体与旋转体分类梳理，构建“定义-性质-公式-应用”的知识体系。通过课标研读明确考向，自主检测诊断学情，考点多维探究分层突破，配合真题精讲和方法总结，帮助学生系统掌握空间几何体的研究方法。 讲义创新采用“空间观念建构+几何直观培养”双路径教学，如在展开图问题中，通过圆柱、圆台侧面展开转化为平面几何问题，培养学生化曲为直的推理意识。设置分层练习覆盖近5年高考题型，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生空间想象与解题应试能力。

第一节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【课标研读】　1.利用实物，计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.　2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.　3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. 1.基本立体图形 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 [微提醒]　(1)常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 (2)球的截面的性质 ①球的任何截面都是圆面.②球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.③球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2. 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)具体步骤： ①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半. ⑤擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. 学生用书⬇第164页 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 [微提醒]　(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面的面积之和，而表面积是侧面积与所有底面的面积之和.(2)圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r')lS圆锥侧＝πrl. 【常用结论】 (1)与体积有关的两个结论 ①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). (2)直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 【自主检测】 1.(多选题)下列命题中错误的是(　　) A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B.用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 C.菱形的直观图仍是菱形 D.两个球的体积之比等于它们的半径比的平方 答案：ACD 2.(链接北师必修二P210A组T2)下列几何体是棱台的是(　　) 答案：D 解析：A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A、C不满足题意.B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不满足题意.D符合棱台的定义.故选D. 3. (2025·八省适应性测试)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为　　　　. 答案：π 解析：由题意可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，所以高h＝＝＝，所以圆锥的体积为V＝πR2h＝π. 4.(链接北师必修二P217B组T2)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA'B'C'的面积为4，则该平面图形的面积为(　　) A. B.4 C.8 D.2 答案：C 解析：由S原图形＝2S直观图，得S原图形＝2×4＝8.故选C. 考点一　基本立体图形 多维探究 角度1　空间几何体的结构特征 1.下列命题正确的是(　　) A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B.一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 C.圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形 D.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中，面积最大的一个 答案：C 解析：只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故A不正确；只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥时，才能得到一个圆锥和一个圆台，故B不正确；因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式知，过圆锥顶点的截面中，两条母线的夹角的正弦值越大，截面面积就越大，所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时，轴截面的面积就不是最大的，故D不正确.故选C. 2.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 答案：AD 解析：由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选AD. 学生用书⬇第165页 角度2　直观图 3.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'，则以下说法正确的是(　　) A.△ABC是钝角三角形 B.△ABC是等边三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 答案：C 解析：将其还原成原图，如图，设A'C'＝2，则可得OB＝2O'B'＝1，AC＝A'C'＝2，从而AB＝BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形.故选C. 4.如图，矩形O'A'B'C' 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形的形状是　　　　，其面积为　　　　. 答案：菱形　24 cm2 解析：如图，在原图形OABC中，OD＝2O'D'＝2×2＝4(cm)，CD＝C'D'＝2 cm，所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形，S菱形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2). 角度3　展开图 (1)已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　) A.30 B.40 C.50 D.60 (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为　　　　cm2.(结果中保留π) 答案：(1)C　(2)1 100π 解析：(1)圆台上底面半径为10，下底面半径为5，设母线长为l，所以侧面积S＝πl(10＋5)＝15πl＝300π，解得l＝20.将圆台所在圆锥的侧面展开，如图所示，且设扇形所在圆的圆心为O.线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离.设OA＝R，扇形的圆心角是α，则由题意知2×5π＝αR①，2×10π＝α(20＋R)②，由①②解得α＝，R＝20，所以OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，则M1B＝＝50.故选C. (2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).故圆台的表面积为1 100π cm2. 1.空间几何体概念的辨析方法 2.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形. 3.在解决空间曲线或折线(段)最短问题时一般要考虑几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化. 对点练1.(1)有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为　　　　. (2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为　　　　. 答案：(1)5π　(2)＋ 解析：(1)如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，铁丝的最短长度即为AB的长，此时AB＝＝5π. (2)将正三棱柱ABC-A1B1C1(如图①)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如图②所示， 在图②中，连接AC1，则AF＋FC1≥AC1，因为AA1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，所以AC1＝2AA1·sin＝2×2sin 75°＝4sin(30°＋45°)＝4×(sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°)＝＋，所以当A，F，C1共线时，AF＋FC1取得最小值，为＋. 考点二　空间几何体的表(侧)面积 师生共研 (1)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为　　　　. (2)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图①)的屋顶部分是典型的攒尖结构.如图②所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为　　　　dm2. 答案：(1)(60＋4)π　(2)34＋8 解析：(1)由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F.则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝＝5.故圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R＝5，高h1＝4，母线长l1＝5.圆锥底面半径r＝2，高h2＝2，母线长l2＝2.所以圆台侧面积S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，圆锥侧面积S2＝×2πr×l2＝×2π×2×2＝4π，圆台下底面面积S3＝πR2＝25π.故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4π＋25π＝(60＋4)π. (2)正三棱柱部分的侧面积为2×2×2＝8(dm2)，底面积为2××2×2×sin 60°＝2(dm2).正四棱台中，侧面梯形的高为＝2(dm)，所以正四棱台的侧面积为4×＝32(dm2).所以该结构的表面积为8＋2＋32＝34＋8(dm2). 1.多面体的表面积是各个面的面积之和. 2.旋转体的表面积是将其侧面展开后，展开图的面积与底面面积之和. 3.组合体的表面积求解时应注意对衔接部分的处理. 对点练2.(1)(2021·新高考Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的 学生用书⬇第166页 最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积S＝2πr2(1－cos α)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为(　　) A.26％ B.34％ C.42％ D.50％ (2)《九章算术》中有一种几何体叫做刍甍(méng)(底面为矩形的屋脊状楔体)，如图是一个刍甍，四边形EFBA 为等腰梯形，EF∥AB，FB＝FC＝，AB＝2EF＝2BC＝4，则此刍甍的表面积为　　　　. 答案：(1)C　(2)8＋8 解析：(1)由题意可得，S占地球表面积的百分比约为＝＝≈0.42＝42％.故选C. (2)如图所示，过点F 作FG⊥AB，FI⊥CD，FO⊥ 底面ABCD，点H 为BC中点，连接FH，GI，OH，由FB＝FC＝，AB＝2EF＝2BC＝4，可得FO＝1，FH＝，FG＝，故所求表面积S＝2×4＋2××2×＋2××(2＋4)×＝8＋8. 考点三　空间几何体的体积 多维探究 角度1　直接利用公式求体积 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　. 答案： 解析：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝AO－A1O1＝，则A1M＝＝ ＝，所以所求体积为V＝×(4＋1＋)×＝. 角度2　割补法求体积 (2025·北京通州模拟)如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，AA1＝1，AP＝，AB＝2，则该几何体的体积为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD交于点O，连接OP， 则OP即为正四棱锥P-ABCD的高，OA＝AC＝，OP＝＝1，所以VP-ABCD＝×2×2×1＝，＝2×2×1＝4，所以该几何体的体积为＋4＝.故选B. 角度3　等体积法求体积 (2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱BB1，AB 的中点，则三棱锥A1-D1MN 的体积为　　　　. 答案：1 解析：如图，易知＝，由正方体的结构特征，知D1A1⊥ 平面A1MN，所以D1A1 为三棱锥D1-A1MN 的高.因为M，N 分别为棱BB1，AB 的中点，所以＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝，所以＝＝××D1A1＝××2＝1. 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 注意：正四面体的体积是a3(a是正四面体的棱长). 对点练3.(1)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A.π B.π C.3π D.3π (2)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A.V3＝2V2 B.V3＝V1 C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1 (3)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是侧面BB1C1C内的一个动点，则三棱锥D-AED1的体积为　　　　. 答案：(1)B　(2)CD　(3) 解析：(1)在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB的中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝， 解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故选B. (2)设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝××2×2×2＝，V2＝××2×2×1＝.连接BD交AC于M，连接EM，FM(图略)，则FM＝，EM＝，EF＝3，则FM2＋EM2＝EF2，△EMF为直角三角形，故S△EMF＝××＝，V3＝S△EMF×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1.故选CD. (3)点E到平面ADD1的距离为2，所以＝＝·2＝××2×2×2＝. [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 答案：B 解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π.故选B. [教材呈现]　(北师必修二P256A组T1)设圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r，圆柱、圆锥的高都是2r.求它们的体积之比. 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查圆柱圆锥的体积，两题的相似度极高. 学科网（北京）股份有限公司 $