第六章 2 第二节 平面向量基本定理及坐标表示（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义围绕平面向量基本定理及坐标表示核心考点，按“定理理解-坐标表示-运算应用-共线条件”逻辑梳理知识，通过表格呈现定理要素，微提醒规避易错点，结合自主检测、考点分块讲解及真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破向量分解与坐标运算难点。 讲义创新采用“一题多变”“结论迁移”教学策略，如考点二用奔驰定理推论解决面积比问题，培养数学思维与推理能力，通过坐标法将抽象向量转化为具体运算，提升数学语言表达能力。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 【课标研读】　1.理解平面向量基本定理及其意义.　2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.　3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.　4.能用坐标表示平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 条件 e1和e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2} 正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基 学生用书⬇第150页 [微提醒]　(1)基e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基.(2)基给定，同一向量的分解形式唯一.(3)如果对于一组基e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 2.平面向量及运算的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y). (2)平面向量运算的坐标表示 ①向量加法、减法、数乘运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1). ②向量坐标的求法 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. [微提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 【常用结论】 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)三点共线的充要条件 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. (3)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (4)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，△ABC的重心为G⇔＋＋＝0⇔G. 【自主检测】 1.(多选题)下列命题中，正确的是(　　) A.平面内的任意两个向量都可以作为一组基 B.设{a，b}是平面内的一组基，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0 C.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝ D.平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 答案：BD 2.(链接北师必修二P100例1)如图，在△ABM中，BM＝3CM，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：D 解析：＝＝＋)＝＋×＝＋－)＝－＋，故λ＋μ＝－＋＝.故选D. 3.(链接北师必修二P105A组T8)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4) D.(1，4) 答案：A 解析：法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4).故选A. 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).故选A. 4.(链接北师必修二P105练习T5)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，若a∥b，则x＝　　　　. 答案： 解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，a∥b，所以1－2x＝0，解得x＝. 考点一　平面向量的坐标运算 自主练透 1.(2024·福建福州模拟)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：如图建立平面直角坐标系，则P(－2，－2)，Q(4，－1)，H(3，－3)，E(－2，2)，F(－2，3)，G(－1，3)，所以＝(3，－3)，＝(－2，－2)，＝(4，－1)，＝(－1，3)，＝(2，－3)，＝(2，－2)，所以＋＝(－2，－2)＋(4，－1)＝(2，－3)，所以＋＝.故选C. 2.已知A(－1，2)，B(3，0)，点P在直线AB上且｜｜＝2｜｜，则点P的坐标为(　　) A. B.(7，2) C.或(7，－2) D.(2，1)或(7，－2) 答案：C 解析：设点P的坐标为(x，y)，因为A(－1，2)，B(3，0)，所以＝(x＋1，y－2)，＝(3－x，－y).由点P在直线AB上且｜｜＝2｜｜，得＝2＝－2.所以所以点P的坐标为或(7，－2).故选C. 学生用书⬇第151页 3.(2024·四川成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C. D.2 答案：B 解析：在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－2，2)，λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ的值为.故选B. 向量坐标运算问题的一般思路 1.巧借方程思想求坐标. 2.向量问题坐标化. 考点二　平面向量基本定理及应用 师生共研 (1)(一题多变)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点.若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝(　　) A. B. C. D. (2)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别是SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0. 其推论为：已知P是△ABC内任意一点，且x＋y＋z＝0，则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝x∶y∶z.若点P是△ABC内一点，且＝＋，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是(　　) A.1∶3 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶2 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＋，＝－.所以＝＋＝＋＝＋，而＝λ＋μ，所以λ＝μ＝，即λ＋μ＝.故选D. (2)法一(常规法)：如图，延长CP交AB于点Q，取AB靠近A的三等分点M，取AC靠近A的四等分点N，连接PM，PN.因为＝＋，所以四边形AMPN为平行四边形，PN∥AQ，所以＝＝.分别过点P，C作AB的垂线，垂足分别为E，F，则＝，所以△ABP的面积与△ABC的面积之比为＝＝.故选C. 法二(结论法)：＝＋＝－)＋－)＝＋－，即＋＋＝0，利用奔驰定理的推论得S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝∶∶＝5∶4∶3，所以＝＝.故选C. [变式探究] 1.(变条件)若将本例(1)中条件“”改为“”，则λ＋μ的值为　　　　. 答案：0 解析：结合本例(1)知，＝－＝－＝2－2，而＝λ＋μ，所以λ＝2，μ＝－2，即λ＋μ＝0. 2.(变条件、变设问)若将本例(1)变为：在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，E是OD的中点，连接AE并延长交CD于F，设＝a，＝b，若＝xa＋yb，则x＝　　　　，y＝　　　　. 答案：－　－ 解析：由题意知，△DEF∽△BEA，且＝，所以＝.所以＝＋＝＋＝(－)＋－)＝(－b－a)＋(b－a)＝－a－b，又＝xa＋yb，所以x＝－，y＝－. 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 注意：(1)一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.(2)同一个向量在不同基下的分解是不同的，但在每组基下的分解都是唯一的.(3)合理运用坐标法有时更简捷. 对点练1.(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　) A. B. C.2 D.3 (2)若点O为△ABC内一点，且S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)设AC＝1，因为∠C＝90°，∠B＝30°，所以AB＝2，又AD是∠BAC的平分线，所以＝＝，CD＝BC，＝＋＝＋＝＋－)＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以＝.故选B. (2)根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋.故选A. 考点三　平面向量平行(共线)的坐标表示 多维探究 角度1　利用向量平行(共线)求向量或点的坐标 (一题多解)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　. 答案：(3，3) 解析：法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ).又＝－＝(－2，6)，由共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3). 法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3). 角度2　利用向量平行(共线)求参数 已知向量a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)当ka－b与a＋2b共线时，求k的值； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值. 解：(1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)， 所以ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2). 又因为ka－b与a＋2b共线， 所以2(k－2)－(－1)×5＝0，所以k＝－. (2)由题知＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m). 因为A，B，C三点共线，所以∥， 所以8m－3(2m＋1)＝0，所以m＝. 学生用书⬇第152页 平面向量平行(共线)的坐标表示问题的解题策略 1.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. 2.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便. 3.A，B，C三点共线等价于共线. 对点练2.(1)在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为　　　　. 答案： 解析：因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以点C，同理点D.设M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，而＝，因为A，M，D三点共线，所以共线，所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.而＝，＝＝，因为C，M，B三点共线，所以共线，所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.由所以点M的坐标为. (2)平面内给定的三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). ①若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； ②若d满足(d－c)∥(a＋b)，且(d＋c)∥a，求d的坐标. 解：①a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 由题意得2(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. ②设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，d＋c＝(x＋4，y＋1)，又a＋b＝(2，4)， 所以 所以d的坐标为. [真题再现]　(2023·上海卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，2)，则a－2b＝　　　　. 答案：(1，0) 解析：因为向量a＝(3，4)，b＝(1，2)，所以a－2b＝(3－2×1，4－2×2)＝(1，0). [教材呈现]　(北师必修二P104练习T2)已知a＝(2，4)，b＝(－1，1)，求2a－3b，4a＋2b的坐标. 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查平面向量运算的坐标表示，两题的相似度极高. 学科网（北京）股份有限公司 $