第六章 1 第一节 平面向量的概念及线性运算（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义围绕平面向量概念、线性运算及共线定理等高考核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑架构知识体系，通过课标研读明确考查要求，考点梳理构建内在联系，结合方法指导（如线性运算几何意义分析）与真题训练（含2022新高考Ⅰ卷题），助力学生系统突破难点。 资料以“数学思维”和“数学眼光”为导向，创新设计一题多解、变式探究（如共线向量条件变式）等教学活动，设置分层练习（自主检测、对点练），精准对接高考题型，帮助学生高效掌握向量运算规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第一节　平面向量的概念及线性运算 【课标研读】　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.　2.理解平面向量的几何表示和基本要素.　3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.　4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.　5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.向量的有关概念及向量的基本关系 (1)向量的概念与表示 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的模 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为0的向量 其方向是任意的，记作0或 单位 向量 模等于1个单位长度的向量 在非零向量a方向上的单位向量为 (2)向量的基本关系 名称 定义 备注 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等、方向相反的向量 0的相反向量为0 a的相反向量为－a 共线向量(平行向量) 方向相同或相反的非零向量，记作a∥b 0与任一向量共线(或平行) 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b 规定零向量与任一向量垂直 [微提醒]　向量概念的四点注意 (1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且｜0｜＝0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同.(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性.(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上. 2.向量的线性运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 学生用书⬇第147页 续表 定义 法则(或几 何意义) 运算律 向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量 a－b＝a＋(－b) 向量的数乘运算 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa (1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；当λ＝0时，0a＝0 (2)模：｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ 设λ，μ是实数. (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa (2)λ(μa)＝(λμ)a (3)λ(a＋b)＝λa＋λb [微提醒]　向量加法的多边形法则 (1)多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从起点指向终点的向量. (2)＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 3.向量的数乘与向量共线的关系 【常用结论】 (1)若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. (2)三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). (3)向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). (4)在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). (5)对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 【自主检测】 1.(多选题)下列命题中错误的是(　　) A.平行向量就是共线向量 B.相反向量就是方向相反的向量 C.a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 答案：BC 解析：A显然正确；由相反向量的定义知B错误；任何两个向量都不能比较大小，故C错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，故D正确.故选BC. 2.(链接北师必修二P82A组T4)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：由题图可知，根据正六边形的性质，与，，，共3个.故选C. 3.(链接北师必修二P97练习T3)设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝　　　　. 答案：－4 解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以存在λ(λ＜0)，使得ka＋2b＝λ(8a＋kb)，又a，b是两个不共线的非零向量，所以(舍去)，故k＝－4. 4.(链接北师必修二P85思考交流)已知向量a，b，若｜a｜＝2，｜b｜＝4，则｜a－b｜的取值范围为　　　　. 答案：[2，6] 解析：当a与b方向相同时，｜a－b｜＝2，当a与b方向相反时，｜a－b｜＝6，当a与b不共线时，2＜｜a－b｜＜6，所以｜a－b｜的取值范围为[2，6]. 考点一　平面向量的基本概念 自主练透 1.下列说法不正确的是(　　) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C.若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 D.若a＝b，b＝c，则a＝c 答案：A 解析：对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；对于C，因为都是单位向量，所以只有当是相反向量，即a与b反向共线时，＋＝0才成立，故C正确；对于D，由向量相等的定义知D正确.故选A. 学生用书⬇第148页 2.(一题多解)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：D 解析：法一：(排除法)，不共线，，不共线，故A，B错误；，方向相反，故C错误.故选D. 法二：在等腰梯形ABCD中，，不平行，，不平行，故A，B错误；因为AB∥CD，所以＝＝，所以＝，则＝，即＝，即＝，因为EF∥AB，所以＝＝＝，所以PE＝PF，即P为EF的中点，所以＝，故C错误，D正确.故选D. 3.(2024·河南郑州联考)已知四边形ABCD，下列说法正确的是(　　) A.若＝，则四边形ABCD为平行四边形 B.若｜｜＝｜｜，则四边形ABCD为矩形 C.若∥，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD为矩形 D.若｜｜＝｜｜，且∥，则四边形ABCD为梯形 答案：A 解析：对于A，若＝，则｜｜＝｜｜且∥，则四边形ABCD为平行四边形，故A正确；对于B，若四边形ABCD为等腰梯形，则｜｜＝｜｜，但是四边形ABCD不是矩形，故B错误；对于C，若∥，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD可以是等腰梯形，也可以是矩形，故C错误；对于D，若｜｜＝｜｜，且∥，则四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，故D错误.故选A. 平行向量有关概念的四个关注点 1.非零向量的平行具有传递性. 2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. 3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量， 解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 4.非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量. 考点二　平面向量的线性运算 多维探究 角度1　向量加、减法的几何意义 (1)若｜｜＝7，｜｜＝4，则｜｜ 的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) (2)已知单位向量e1，e2，…，e2 025，则｜e1＋e2＋…＋e2 025｜的最大值是　　　　，最小值是　　　　. 答案：(1)C　(2)2 025　0 解析：(1)由题意知｜｜＝7，｜｜＝4，且｜｜＝｜－｜，当，同向时，｜｜取得最小值，｜｜＝｜－｜＝｜｜｜－｜｜｜＝｜4－7｜＝3；当，反向时，｜｜取得最大值，｜｜＝｜－｜＝｜｜｜＋｜｜｜＝｜4＋7｜＝11；当，不共线时，3＝｜｜｜－｜｜｜＜｜｜＜｜｜｜＋｜｜｜＝11，故｜｜ 的取值范围是[3，11].故选C. (2)当单位向量e1，e2，…，e2 025方向相同时，｜e1＋e2＋…＋e2 025｜取得最大值，｜e1＋e2＋…＋e2 025｜＝｜e1｜＋｜e2｜＋…＋｜e2 025｜＝2 025；当单位向量e1，e2，…，e2 025首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 025＝0，所以｜e1＋e2＋…＋e2 025｜的最小值为0. 角度2　向量的线性运算 (2025·四川成都模拟)在△ABC中，＝3，＝2，则＝(　　) A.－＋ B.－ C.－＋ D.－ 答案：D 解析：在△ABC中，由＝3，得＝，由＝2，得＝，所以＝－＝－＝－－－)＝－.故选D. 角度3　根据向量线性运算求参数 在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：由题意，知＝＝＋)＝＋×＝＋－)＝－＋，又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.故选A. 平面向量线性运算的解题策略 1.向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. 2.求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值. 对点练1.(1)设非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜，则(　　) A.a⊥b B.｜a｜＝｜b｜ C.a∥b D.｜a｜＞｜b｜ (2)点G为△ABC的重心，设＝a，＝b，则等于(　　) A.b－2a B.a－b C.a＋b D.2a＋b (3)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合).若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　(2)A　(3)D 解析：(1)法一：利用向量加法的平行四边形法则.在▱ABCD中，设＝a，＝b，由｜a＋b｜＝｜a－b｜知，｜｜＝｜｜，从而平行四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A. 法二：因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2，所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，所以a⊥b.故选A. (2)如图所示，由题意可知＋＝，故＝－2＝b－2a.故选A. (3)依题意，设＝λ(1＜λ＜)，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，又＝x＋(1－x)，所以x＝1－λ.因为1＜λ＜，所以－＜1－λ＜0，即－＜x＜0，则x的取值范围为.故选D. 考点三　共线向量基本定理及其应用 师生共研 (一题多变)设两个非零向量a和b不共线. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b， ＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5， 所以，共线. 又直线AB与BD有公共点B， 所以A，B，D三点共线. (2)因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即解得k＝±1. 即k＝±1时，ka＋b与a＋kb共线. 学生用书⬇第149页 [变式探究] 1.(变条件)若将本例(1)中条件“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m＝　　　　时，A，B，D三点共线. 答案：7 解析：＝＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以4a＋(m－3)b＝λa＋λb，所以解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线. 2.(变结论)若将本例(2)中的条件“共线”改为“反向共线”，则k＝　　　　. 答案：－1 解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ(λ＜0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以所以k＝±1.又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线. 共线(平行)向量基本定理的应用 1.证明向量共线：对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线. 2.证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线[如本例(1)]. 3.求参数的值：利用共线向量基本定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值[如本例(2)]. 对点练2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值. 解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， 因为＝2e1－8e2，所以＝2. 又直线AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线. (2)由(1)可知＝e1－4e2，因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线， 所以可设＝λ(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，所以解得k＝12. [真题再现]　(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 答案：B 解析：＝＋，＝3－2＝－2m＋3n. [教材呈现]　(北师必修二P136T2(7))设点D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查向量的线性运算，两题的相似度极高. 学科网（北京）股份有限公司 $