第五章 2 教材拓展9 斐波那契数列（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列专题核心考点，围绕斐波那契数列的定义、递推公式、通项公式及性质应用系统展开，通过考点梳理、性质证明方法指导、高考真题与模拟题训练等环节，帮助学生构建数列问题的分析框架，突破递推关系应用难点。 讲义以兔子繁殖问题为情境培养数学眼光，通过性质证明的逻辑推理训练数学思维，设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习。如利用累加求和法推导前n项和公式，助力学生快速掌握递推数列解题策略，有效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

　斐波那契数列 1202年，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在《算盘书》中提到下面的问题： 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？即从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2). 这是由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列，也称兔子数列，通常用数列{Fn}表示.数列{Fn}有很多优美的性质，其中常用的有如下几个基本性质. [性质1]　＋＋…＋＝FnFn＋1 证明：由Fn＋1＝Fn＋Fn－1得，FnFn＋1＝Fn(Fn＋Fn－1)＝＋(Fn－1＋Fn－2)Fn－1＝＋＋Fn－2(Fn－2＋Fn－3)＝＋＋＋(Fn－3＋Fn－4)Fn－3＝…＝＋＋…＋＋.所以＋＋…＋＝FnFn＋1. [性质2]　数列{Fn}的通项公式Fn＝ 证明：由Fn＋2＝Fn＋1＋Fn得，Fn＋2－λFn＋1＝(－λ＋1)Fn＋1＋Fn＝(－λ＋1). 令－λ＝，得λ2－λ－1＝0， 解得λ＝. 当λ＝时，F2－F1＝，Fn＋2－Fn＋1＝. 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以Fn＋1－Fn＝×＝. ① 当λ＝时，F2－F1＝，Fn＋2－Fn＋1＝. 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以Fn＋1－Fn＝×＝. ② 学生用书⬇第125页 　　由①②联立解得Fn＝. [性质3]　数列{Fn}的前n项和Sn＝Fn＋2－1. 证明：因为Fn＋2＝Fn＋1＋Fn＝Fn＋Fn－1＋Fn－1＋Fn－2＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－2＋Fn－3 ＝…＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋…＋F2＋F2＋F1＝Sn＋F2＝Sn＋1. 所以Sn＝Fn＋2－1. 　(1)(2025·江西新余期末)数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A.F2 026＝S2 024＋1 B.F2 026＝S2 025＋1 C.S2 024＝F2 026＋2 D.S2 025＝F2 026＋2 (2)(多选题)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记Sn为数列的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A.a7＝13 B.S8＝97 C.＋＋…＋＝a2 024a2 025 D.a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a200 答案：(1)A　(2)ACD 解析：(1)由题意得Fn＋2＝Fn＋1＋Fn，故F3－F2＝F1，F4－F3＝F2，F5－F4＝F3，…，F2 026－F2 025＝F2 024，上面的式子相加得F2 026－F2＝S2 024，又F2＝1，故F2 026＝S2 024＋1.故选A. (2)对于A，由题意，数列的前7项为：1，1，2，3，5，8，13，故a7＝13，故A正确；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B错误；对于C，由题意a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，所以an＋1＝an＋2－an，＝a1a2，＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，＝a3(a4－a2)＝a3a4－a2a3，…，＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－an－1an，所以＋＋…＋＝a1a2＋(a2a3－a1a2)＋(a3a4－a2a3)＋…＋(a2 024a2 025－a2 023a2 024)＝a2 024a2 025，故C正确；对于D，由C可知，a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a200－a198)＝a200，故D正确.故选ACD. 　　理解斐波那契数列的概念，用好斐波那契数列的性质即可解决问题. 对点练.(1)(2025·河南焦作模拟)我们把由0和1组成的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列(F1＝F2＝1，Fn＋2＝Fn＋Fn＋1)中的奇数换成0，偶数换成1可得到0－1数列，若数列的前n项和为Sn，且Sk＝100，则k的值可能是(　　) A.100 B.201 C.302 D.399 (2)(多选题)(2025·山东烟台模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用F(n∈N＋)表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：F＝F＝1，F＝F(n＋1)＋F.则下列说法正确的是(　　) A.F＝34 B.3F＝F＋F C.F(1)＋F(2)＋…＋F＝F－1 D.＋＋…＋＝F·F (3)(2025·北京海淀模拟)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：an＝an－1＋an－2，a1＝a2＝1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则b2 026＝　　　　. 答案：(1)C　(2)BCD　(3)3 解析：(1)因为F1＝F2＝1，Fn＋2＝Fn＋Fn＋1，所以F3＝2，F4＝3，F5＝5，F6＝8，F7＝13，F8＝21，F9＝34，…，所以数列的前若干项为：a1＝a2＝0，a3＝1，a4＝0，a5＝0，a6＝1，a7＝0，a8＝0，a9＝1，…，则a1＋a2＋a3＝a4＋a5＋a6＝a7＋a8＋a9＝…＝1，所以S100＝33×1＋0＝33，S201＝67×1＝67，S302＝100×1＋0×2＝100，S399＝133×1＝133.故选C. (2)对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以F＝55，故A错误；对于B，当n≥3时，F(n－1)＋F＝F(n)，F(n＋1)＝F＋F(n－1)，F＝F(n＋1)＋F，所以三式相加得F(n－1)＋F(n－2)＋F(n＋1)＋F(n＋2)＝F(n)＋F(n)＋F(n－1)＋F(n＋1)＋F(n)，所以3F(n)＝F＋F，故B正确；对于C，因为数列满足：F(1)＝F(2)＝1，F(n＋2)＝F(n＋1)＋F(n)，所以F(3)＝F(2)＋F(1)，F(4)＝F(3)＋F(2)，F(5)＝F(4)＋F(3)，…，F(2 023)＝F(2 022)＋F(2 021)，F(2 024)＝F(2 023)＋F(2 022)，F(2 025)＝F(2 024)＋F(2 023)，以上2 023个等式相加得F(2 025)＝F(2)＋F(1)＋F(2)＋F(3)＋…＋F(2 022)＋F(2 023)，因为F(2)＝1，所以F(1)＋F(2)＋…＋F＝F－1，故C正确；对于D，因为F(1)＝F(2)＝1，F＝F(n＋1)＋F(n)，所以＝F(1)F(2)，＝F(2)F(3)－F(1)F(2)，＝F(3)F(4)－F(2)F(3)，＝F(4)F(5)－F(3)F(4)，…，＝F(2 024)F(2 025)－F(2 023)F(2 024)，＝F(2 025)F(2 026)－F(2 024)F(2 025)，所以＋＋…＋＝F·F，故D正确.故选BCD. (3)因为an＝an－1＋an－2，a1＝a2＝1，所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…此数列各项除以4的余数依次构成的数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…是以6为周期的周期数列，所以b2 026＝b6×337＋4＝b4＝3. 学生用书⬇第126页 学科网（北京）股份有限公司 $