第四章 10 教材拓展 8 三角形中的射影定理（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角形射影定理应用，围绕解三角形、判定形状、求面积三大高考核心角度构建知识体系，通过定理梳理、方法指导（如对比定理与题设条件推导边角关系）、真题训练（含2023全国乙卷等典型题）等环节，帮助学生系统突破定理应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料亮点在于以高考真题为载体，创新采用“定理对照—条件转化”教学策略，如通过射影定理与已知等式对比确定角B，培养学生数学思维和推理能力。设置分层练习（角度题、对点练）保障复习效果，能在有限时间内提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

　三角形中的射影定理 三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 角度1　解三角形 (1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　) A.2 B.3 C. D. 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)由射影定理acos B－bcos A＝c＝acos B＋bcos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. (2)由射影定理a＝bcos C＋ccos B和条件a＝bcos C＋csin B，所以sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝，又S△ABC＝1＋，所以acsin B＝1＋，即ac＝4＋2.所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝4，当且仅当a＝c时取等号，所以b的最小值为2.故选A. 角度2　判定三角形的形状 (2025·陕西渭南模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcos C＋ccos B＝b，且a＝ccos B，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案：D 解析：由射影定理bcos C＋ccos B＝a＝b，又a＝ccos B＝ccos B＋bcos C，故cos C＝0，因为C∈，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形.故选D. 角度3　求三角形的面积 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝bcos C，且c＝6，A＝，则△ABC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－，则△ABC的面积为　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由射影定理a＝bcos C＋ccos B，又a＝bcos C，所以ccos B＝0，故cos B＝0，因为B∈，所以B＝，故△ABC为直角三角形.又c＝6，A＝，所以a＝6tan＝2，所以S△ABC＝ac＝6.故选D. (2)由三角形中的射影定理c＝acos B＋bcos A，结合已知条件c＝acos B＋2cos A，可得b＝2，又因为2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2abcos C，可得16＝a2＋4－4a×，解得a＝3(负值舍去)，所以三角形的面积为absin C＝×3×2×＝. 　　将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意正确应用. 对点练.(1)(2025·河南南阳模拟)在△ABC中，已知a＝acos B＋bcos A＝1，sin C＝，则(　　) A.b＝1 B.b＝ C.c＝ D.c＝ (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝3，且sin2＝，b＝3，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 (3)(2025·天津南开区模拟)△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 答案：(1)B　(2)C　(3) 解析：(1)由acos B＋bcos A＝1，则c＝1；又sin C＝，C∈，故C＝；又a＝c＝1，故A＝C，显然A＝C＝，则B＝π－＝，△ABC为等腰直角三角形，故b2＝a2＋c2＝2，解得b＝.故选B. (2)因为acos B＋bcos A＝3，所以c＝acos B＋bcos A＝3，又因为sin2＝，所以＝＝，所以cos C＝，所以C＝，又因为b＝c＝3，C＝，所以△ABC是等边三角形.故选C. (3)根据题意知bcos C＋ccos B＝a＝asin A，则sin A＝1，所以得A＝，由S＝＝×2bacos C＝basin C，可得tan C＝1，0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝. 学生用书⬇第114页 学科网（北京）股份有限公司 $