第四章 3 第三节 第1课时 两角和与差的三角函数公式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换高考核心考点，覆盖两角和与差的三角函数公式、辅助角公式、积化和差与和差化积公式，按“公式推导-应用拓展-结论总结”逻辑架构组织知识点。通过课标研读明确考查要求，结合考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破公式逆用与角变换难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出“问题导向-分层突破”教学特色，创新设计“公式逆用与角变换”专题训练，如通过“2α=(α+β)+(α-β)”等拆角技巧培养数学思维，结合自主检测、多维探究、真题再现等分层练习，用数学语言规范解题表达。这些设计能在有限时间内强化公式应用能力，提升学生应考素养，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

第三节　三角恒等变换 第1课时　两角和与差的三角函数公式 【课标研读】　1.会推导两角差的余弦公式.　2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.　3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.三角函数的叠加(辅助角公式) asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝. 3.积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 4.和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 学生用书⬇第93页 【常用结论】 (1)两角和与差的公式的常用变形 ①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. ②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. ③tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； tan αtan β＝1－＝－1. (2)辅助角公式的常见形式 ①sin x±cos x＝sin； ②sin x±cos x＝2sin； ③sin x±cos x＝2sin. 【自主检测】 1.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立 B.cos x＋化为积的形式为2coscos C.公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关 D.公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立 答案：AB 2.(链接北师必修二P156T2，改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：D 解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D. 3.(链接北师必修二P154T2，改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×＋×＝－.故选C. 4.(链接北师必修二P156例4，改编)设锐角α与β，若tan α＝2，tan β＝3，则α＋β＝　　　　. 答案： 解析：因为tan α＝2，tan β＝3，所以tan(α＋β)＝＝＝－1，又因为角α，β均为锐角，所以0＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 考点一　两角和与差的三角函数公式自主练透 1.(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：D 解析：由已知得2tan θ－＝7，整理得tan2θ－4tan θ＋4＝0，所以tan θ＝2.故选D. 2.(2025·江苏南京期末)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，则sin αsin β＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：B 解析：由cos(α－β)＝－，得cos αcos β＋sin αsin β＝－，由cos(α＋β)＝，得cos αcos β－sin αsin β＝，所以2sin αsin β＝－－＝－，得sin αsin β＝－.故选B. 3.在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则cos C等于(　　) A. B.－ C.或 D.－ 答案：A 解析：在△ABC中，因为cos B＝＞0，所以sin B＝＝＞，B∈.因为sin A＝∈，所以A∈，或A∈(舍去)，所以cos A＝＝，所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.故选A. 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要明确公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 考点二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式多维探究 角度1　公式的逆用与角的变换 (1)(多选题)计算下列几个式子，结果为的是(　　) A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B.2 C. D. (2)(2025·四川成都模拟)已知α，β满足sin(2α－β)＝，cos(α－β)sin α＝，则sin β的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：(1)ABD　(2)C 解析：(1)对于A，tan＝＝，变形得tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝，故A正确；对于B，原式可化为2＝2sin 60°＝，故B正确；对于C，原式＝×＝×tan＝，故C错误；对于D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确.故选ABD. (2)sin＝sin＝sin(α－β)cos α＋cos(α－β)sin α＝sin(α－β)cos α＋＝，所以sin(α－β)cos α＝，所以sin β＝sin＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝－＝.故选C. 学生用书⬇第94页 角度2　辅助角公式 (1)(2025·河南郑州模拟)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　) A.1 B. C. D. (2)已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)f(x)＝sin＋cos＝sin＋＝－sin＋cos＝cos＝cos，所以f(x)的最大值为1.故选A. (2)3sin x－4cos x＝5＝5sin(x＋φ)，其中sin φ＝－，cos φ＝，所以φ所在的象限为第四象限.故选D. 三角函数公式灵活应用的技巧 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. 2.常用的拆角、配角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)； α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＝－；＋α＝－等. 3.利用辅助角公式将所求关系式转化为一角一函数的形式，然后再解决问题. 对点练1.(1)(2025·四川宜宾模拟)若cos＋cos α＝－1，则cos＝(　　) A.－ B. C. D.－ (2)(2025·湖北武汉模拟)函数f(x)＝3cos x－4sin x，当f(x)取得最大值时，sin x＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝cos＝－1，所以cos＝－.故选A. (2)f(x)＝3cos x－4sin x＝5＝5cos，其中cos φ＝，sin φ＝，而f(x)＝3cos x－4sin x＝5cos≤5，等号成立当且仅当x＋φ＝2kπ，此时sin x＝sin＝－sin φ＝－.故选B. 考点三　积化和差、和差化积公式的应用师生共研 (1)2cossin＝(　　) A.＋cos 4x B.－sin 4x C.＋cos 4x D.－＋sin 4x (2)(2025·安徽淮北模拟)已知sin xcos y＋cos xsin y＝，cos 2x－cos 2y＝，则sin＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)2cossin＝sin－sin＝sin 4x－sin＝sin 4x－.故选D. (2)sin xcos y＋cos xsin y＝sin(x＋y)＝，cos 2x－cos 2y＝－2sin(x＋y)sin(x－y)＝－sin(x－y)＝，所以sin＝－.故选D. 　　利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量变形出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系. 对点练2.(2025·浙江嘉兴模拟)已知α，β∈且满足sin α＋sin β＝，则(　　) A.tan(α＋β)＝ B.tan(α＋β)＝－ C.cos(α＋β)＝ D.cos(α＋β)＝－ 答案：B 解析：因为sin α＋sin β＝sin＋sin＝2sincos，cos α＋cos β＝cos＋cos＝2coscos，所以2sincos＝×2coscos，又因为α，β∈(0，π)，所以－＜＜，0＜＜π，所以cos＞0，所以sin＝cos，所以tan＝，又因为0＜＜π，所以＝，所以α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan＝－，cos(α＋β)＝cos＝－.故选B. [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A.－3m B.－ C. D.3m 答案：A 解析：由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①，由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A. [教材呈现]　(北师必修二P163B组T3) 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值. 点评：本题与教材习题非常类似，都直接考查两角和与差的正弦、余弦公式，以及切化弦的思想方法，高考题是课本习题的引申. 学科网（北京）股份有限公司 $