九年级数学上学期期中模拟卷（北师大版第1～4章，高效培优·提升卷）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 5 6 7 8 10 D D B D D 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.） 11.3 12.12 13.16 14.1 6 152 16. 43 三、解答题（本题共9小题，共86分.17和18题每题8分19-25题每题10分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.) 17.(8分)【详解】(1)解：x2-4x-3=0 x2-4x=3 x2-4x+4=3+4 (x-2)2=7 x-2=万或x-2=-V7 1=2+V7,x2=2-V7: (4分) (2)解：(x-1)2=3x-3 (x-1)2-3x-1=0 (x-1(x-1-3)=0 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1=0或x-4=0 =4,x2=1. (8分) 18.(8分)【详解】(1)解：（1)列表如下： 第二次第一次 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好得到数22的结果有4种， 恰好得到数2的概率是4=1 16=4 (6分) (2)解：这个游戏不公平，理由如下： 由(1)中的表格可知，共有16种等可能的结果，其中组成的两位数不超过32的有10种，超过32的有6种， 小贝胜出的概率是6=8，小品胜出的概率是6。了 1681 :53 88 ·这个游戏不公平 (8分) 19.(10分)【详解】(1)证明：在△ABE和△ACD中， :∠B=∠C,∠A=∠A, △ABE∽△ACD; (5分) (2):△ABE∽△ACD, ABAE ·ACAD :AB=5,AD=2,AE=3, 53 都：4C-号 (10分) 20.(10分)【详解】(1)解：7÷2=7 当运动时间为s(0<1≤？)时，P8=5-cm,BQ=2cm. 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)依题意得： 、×21×(5-0=4y 整理得：t2-51+4=0, 解得：4=1，t2=4(不合题意，舍去). 答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm: (5分) (2)解：不能，理由如下： 依题意得：片×2×个5-月-7， 整理得：t2-5t+7=0 ×△=(-5)2-4×1×7=-3<0， 该方程没有实数根， △PBQ的面积不能等于7cm2. (10分) 21.(10分)【详解】(1)证明：：将ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， .AF=AE, :AH⊥FE于点H, :FH =EH, ·AH垂直平分EF. (5分) (2)解：连接EG D H FL B G C :四边形ABCD是正方形，CG=2,BG=3, ∴.∠ABC=∠C=∠D=90°，AB=AD=CD=BC=CG+BG=2+3=5, 由旋转得BF=DE,LABF=LD=90°， .∠ABF+LABC=180°， 点F在CB的延长线上， CG2+CE2=EG2,CE=5-DE=5-BF,EG=FG=3+BF, 2+(5-BF)2=(3+BF)2, 解得0-子 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF=AB2+BF2 52+ 5w17 即AF的长是57 (10分) 22.(10分)【详解】(1)解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x, 由题意得，300(1+x)2=432, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2（舍)， (5分) 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%. (2)解：设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出， (30+1.5y)(500-10y)-25×500-100y=4500, 解得写=10，=智（舍 答：需将“阳光玫瑰”储藏10天后一次性售出. (10分) 23.(10分)【详解】(1)①证明：：四边形ABCD是菱形， ∴.AD=CD,∠ADH=∠CDH,∠ADC=∠ABC, DHDH :△ADH≌△CDH, .∠DAH=∠DCH; ②解：△GEC是等腰三角形，理由如下： :四边形ABCD是菱形， .AD∥BC, .∠DAH=∠E,∠ADC=∠DCE=60°， ∠DCG+∠ECG=60°， :∠HCG=∠DCH+∠DCG=60°， ∴.∠ECG=∠DCH, ZDAH ZDCH, .∠ECG=LE, ..CG=EG, ·△GEC是等腰三角形； (5分) (2)解：分两种情况： 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，当BC=BH=6时，过点H作HM⊥BC于M,则∠BMH=∠EMH=90°， D H :四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°=∠ABC, MC 图1 ∠CBD=∠ABC=30, BC=BH=6, ∠BCH=∠BHC=180°-∠CBD-75P, 2 :∠DCE=60°， .LDCH=∠DAH=LE=180°-LBCH-∠DCE=180°-75°-60°=45°， △HME为等腰直角三角形， :HM EM, 在Rt△BHM中，∠CBH=30 :HM=-BH =3=EM BM=VBH2-HM2=V62-32=3V5, :BE BM +EM =33+3; 如图2，当BH=CH时， D B :四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°=∠ABC, 图2 :∠ABH=∠CBH=∠ADC=30°，AB=BC, :BH CH, .∠CBH=∠HCB=30°， :BH=BH,AB=AC,∠ABH=∠CBH, △ABH≌△CBH, 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAH=∠BCH=30° :∠ABC=60 ∠AEB=90° BE=24B=3 综上，BE的长为3√5+3或3， (10分) 24.（10分)【详解】(1)解：将点E0代入-次函数y=2x+2得：a=2×4+2-14 3 3 414 E33 长[9）代入76得：兰手，解稻：6=6， :直线AB的解析式为y=-x+6 (4分) (2)解：①在函数y=-x+6中，令x=0,则y=6,故B(0,6), 在函数y=2x+2中，令x=0,则y=2,故D(0,2), BD=6-2=4, 设F(m,2m+2,则G(m,-m+6), ∴.FG=2m+2--m+6=3m-4, FG-5BD, 4 ×4,解得：m=3, 3m-4=5 F(3,8: (6分) ②令y=0,则0=2x+2,解得：x=-1,故C(-1,0), 设H(0,n)n>0, 根据两点间距离公式可得： CH2=[0-(-1]+(n-02=1+m2, FH2=(3-0+(8-n=9+(8-n2, CF2=[3-(-1]+(8-0)2=80, 当∠FCH=90时，1+m+80=9+8-,解待：=含去， 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当∠CFH=90,9-8-a0=1+,解得：a则H0》 当LCHF=90°时，1+n2+9+(8-m)2=80,解得：n=4+√9或n=4-√9（舍去），则H(0,4+19), 综上，点以的坐标为04+、可成(0》： (8分) ③作FN⊥AB于点N,如图： ∴.∠FNM=90°=∠C0D, :∠FMB=∠FDB=∠CDO, .aFMN∽aCDO, :FM、cD FN CO' :C(-1,0),D0,2), .0C=1,0D=2, .CD=V0C2+0D2=V2+22=5, :FM=5FN, :A6,0,B(0,6 0A=0B, :∠A0B=90°， ∠0BA=45°， :FG∥OB, ∠FGB=∠0BA=45°， ·△FNG为等腰直角三角形， FN-FG-xBDxx4 2 24 24 2 FM=5y5x5=5o,则FM=l2 2 2 2 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :M在直线AB上， 设M(m,-m+6, (m-3)2+(-m+6-82=125 2 整理得：4m2-4m-99=0, .(2m-11(2m+9)=0, 11 9 解得：m=2,m,=2 :M点的横坐标为】或号 (10分) 25.(10分)【详解】(1)解：如图，过点B作BM⊥AC交CA延长线于点M,则∠M=90°， M B C :∠BAC=150°， .∠BAM=180°-∠BAC=30°， BM-号4e-x25-5. AC=AB=22, 5m-34C-BM-x22x2=2, 1 即ABC的面积为2； (3分) (2)解：AG=CD+2AF,证明如下： 如图，延长GA至点M使得AM=AG,GM交BC于点N,连接BM, G M E BF=FG,AM=AG, AF是△BMG的中位线， .AF∥BM,BM=2AF, ∴∠MBN=∠ADN, 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE∥AG, ∴∠E=∠MAD, :∠E+∠ABC=∠BAD, .∠ABC=∠BAD-∠E=∠BAD-∠MAD=∠BAN, .AN=BN,∠AND=2∠ABC, AD=CD, ∴.∠ACB=∠DAC, ∠ADN=2∠ACB, :AB=AC, ∠ABC=∠ACB, ∠AND=∠ADN, .AN =AD, .AN =CD :∠BNM=∠AND,∠MBN=∠ADN, ∠BNM=∠MBN, .BM MN :MN 2AF, .AM AN MN CD +2AF, :AG CD +2AF; (7分) (3)解：如图，取BC的中点G,连接AG、EG、AF, B G :∠BAC=90°，AB=AC=1, ∴.ABC是等腰直角三角形，BC=√2AB=√2， :点G是BC的中点， 4G18C,46平分∠B4C,4G=BG=CG=号5C= 2 LAGC=90,∠G4C=x90°=45°，4G-2 2 AC 2 将AE绕E顺时针旋转90°得到FE, 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=FE,∠AEF=90°， :△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=45°，E-V2 AF 2 :∠GAC=LEAF, AGAE AC AF ∴∠GAC-∠GAE=∠EAF-∠GAE, ·∠EAG=LFAC, ∴.△AEGm△AFC, .GE_AE CFAF2 CF=2GE, :当GE取得最小值时，CF也取得最小值； :将△ABD关于BD对称得到△EBD, .EB=AB=1, :BG+GE≥BE, : +GE≥1， 2 GE≥1-2 2 ·GE的最小值为1- 2 (10分) 10/10 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 分别计算各选项方程的根的判别式，然后根据计算的结果分别判断根的情况即可． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根； B、，方程没有实数根； C、，方程没有实数根； D、，方程没有实数根； 故选：A． 2．现有张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同．把这张卡片背面朝上，洗匀放好．小明先从中随机抽取张，记下描述的变化后放回．洗匀，再从中随机抽取张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是化学变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用，，表示．根据题意画出树状图，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用，，表示． 根据题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是化学变化的结果有种， ， 故选：D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 4．如图，在矩形中，对角线相交于点O．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了矩形．熟练掌握矩形对角线相等的是解题的关键． 根据矩形的对角线相等及，即得的长. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. ∵， ∴. 故选：D. 5．如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．证明，，假设，，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点． ， 可以假设，， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 6．如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， ∴小灯泡发光的概率为． 故选：A． 7．若、是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．2011 D．2023 【答案】C 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，则的面积等于（　　） A．24 B．18 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的性质得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 故选：B． 10．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，过点作边上的垂线，垂足记为点， 在中，， 长度的最小为， ∵点为中点， ， 由折叠性质可得：， ∵四边形为菱形，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．若为方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在矩形中，是对角线和的交点，是边上一点，且，若，则的长是 ． 【答案】12 【详解】解：∵是矩形， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴. 故答案为：12. 13．若，且，的周长为， 则的周长为 ． 【答案】16 【详解】解：∵， ∴相似三角形的周长比等于对应边的比，即， 已知，， 设，则， 解得． 故答案为：16． 14．2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 ． 【答案】 【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示， 根据题意可列出表格如下： 第一个第二个 A A — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果， 小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为． 故答案为：． 15．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法的应用． 先写出x的表达式，再写出的表达式，将化成后代入化简即可． 【详解】，， ，， ． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．    （1）当平分时，若，则 ． （2）当点G恰为中点时，则 ． 【答案】 4 3 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：4； （2）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 3、 解答题（本题共9小题，共86分.17和18题每题8分.19-25题每题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 18．四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．游戏规定：随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜． (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)这个游戏不公平，理由见解析 【详解】（1）解：（1）列表如下： 第二次第一次 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好得到数的结果有种， 恰好得到数的概率是． （2）解：这个游戏不公平．理由如下： 由（1）中的表格可知，共有16种等可能的结果，其中组成的两位数不超过的有种，超过的有种， ∴小贝胜出的概率是，小晶胜出的概率是， ∵ 这个游戏不公平． 19．如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 20．如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后，的面积等于 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，列出方程． （1）根据题意，求出时间的取值范围，列出一元二次方程进行求解即可； （2）列出一元二次方程判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：． 当运动时间为（）时，． （1）依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：1秒后，的面积等于； （2）解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 21．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∵于点H， ∴， ∴垂直平分． （2）解：连接 ∵四边形是正方形，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴点F在的延长线上， ∵，且，， ∴， 解得， ∴． 即的长是． 22．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为． （2）解：设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出， ， 解得，（舍）， 答：需将“阳光玫瑰”储藏10天后一次性售出． 23．已知菱形中，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于，连接． (1)若点在边上，且，过点按如图所示作并交于点 ①证明：； ②猜想的形状并说明理由． (2)若菱形边长为6，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析②是等腰三角形，理由见解析 (2)的长为或3． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， ， ， ； ②解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：分两种情况： 如图1，当时，过点作于，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中， ， ； 如图2，当时， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 综上，的长为或3． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．一次函数与x轴，y轴交于点C，D，一次函数与x轴，y轴交于点A， B，直线，直线交于点    (1)求直线的解析式； (2)平行于y轴的直线与直线，交于点F， G，点F在点G的上方，． ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H，使得为直角三角形，请直接写出点H的坐标； ③在直线上找一点M，使得，请直接写出点M的横坐标． 【答案】(1)； (2)①；②，；③或． 【分析】（1）将点代入一次函数得：，得到，再将代入，即可求解； （）①先求得两点的坐标，得到，设，，得到，又因为，解得，即可求解； ②先求得，设，根据两点间距离公式得到，分三种情况讨论即可求解； ③作于点，证明，得到，从而求得，再证明为等腰直角三角形，得到，， 设，得到，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， ∴， 将代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在函数中，令，则，故， 在函数中，令，则，故， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； ②令，则，解得：，故， 设， 根据两点间距离公式可得： ， ， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：，则； 当时，，解得：或（舍去），则， 综上，点H的坐标为或； ③作于点，如图：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，则， ∵在直线上， 设， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∴点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等性质，掌握相关知识是解题的关键． 25．在中，． (1)如图 1，若，，求的面积； (2)如图 2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图 3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)2 (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的面积为2； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点使得，交于点，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分，， ∴，，， ∵将绕E顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，也取得最小值； ∵将关于对称得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：北师大版九年级上册第一章一第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列一元二次方程有实数根的是() A.x2-2x-2=0 B.x2+2x+2=0 C.x2-2x+2=0 D.x2+2=0 2.现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同.把这3张卡片背面朝上，洗匀放好.小 明先从中随机抽取1张，记下描述的变化后放回.洗匀，再从中随机抽取1张，则这两次抽取的卡片正面图 案描述的变化恰好都是化学变化的概率是() 铁器生锈 陶瓷烧制 冰雪融化 (化学变化) (化学变化) (物理变化) A.g 8. 6 3.下列各组中的四条线段成比例的是() A.1、2、3、5B.2、3、6、8 C.3、4、5、6 D.4、3、8、6 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若BD=8,则AC的长为() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 B C A.3 B.4 C.5 D.8 5.如图，有一块三角形余料ABC,BC=120mm,高线AD=80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形 的一边在BC上，点P、M分别在AB,AC上，若满足PM:PQ=5:2,则PQ的长为() M C D N A.15mm B.30mm C.75mm D.20mm 6.如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时 闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为() ④ ⑤ ② ③ ① ⑧ A. 3 5 B. c 10 ① ② ③ ④ ⑤ ① ①，② (①，③ ①，④) (①，⑤ ② ②，① ②，③) ②，④） ②，⑤】 ③ ③，①) ③，②】 1③，④ (③，⑤ ④ ④，①) (④，② (④，③ (④，⑤) ⑤ (⑤，①】 ⑤，② (⑤，③ ⑤，④） 7.若a、B是方程x2-3x-2017=0的两个实数根，则代数式a2-2B-5a的值为() A.-2011 B.-2023 C.2011 D.2023 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH,若 AB=5,OH=3,则△BDC的面积等于() B A.24 B.18 C.14 D.12 9.古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸.有位邻居智慧高， 教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞.”大意是：“一人拿 着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过.若设竹竿的长为x 尺，则可列方程为 A.(x+3)2+(x-5)2=x2 B.(x-3)2+(x-5)2=x2 C.(x-3)2+(x+5)2=x D.(x+32+(x+5)2=x2 10.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接AC,则A'C长度的最小值是() D M A.3V2-1 B.2V5-1 c.5-1 D.万-1 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.） 11.若a为方程2x2+x-4=0的解，则6a2+3a-9的值为 12.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，E是边BC上一点，且OE⊥BC,若 ∠AOB=60°，OE=3,则AC的长是一 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 1B.若△8Co△9C,且份-子，4BC的阳长为12m,则A3C的月长为m 14.2025年国产A1大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦 A”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝” 的概率为」 第一 A B D 个第二个 y 一 (B,A) (C,A) (D,) B (A,B) (C,B) (D,B) (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 15.已知x+y=2,2y2-y-4=0,则y-的值为. 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AB<BC,E是BC边上的一动点，连接DE、AE,过点D作 DF⊥AE交BC于点G,垂足为点F,连接BF G (1)当DE平分∠FEC时，若DE=0,则AF=一 (2)当点G恰为BC中点时，则BF=一· 三、解答题（本题共9小题，共86分.17和18题每题8分.19-25题每题10分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.) 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.解方程 (1)x2-4x-3=0 (2x-12=3x-3 18.四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示.将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.游戏规定： 随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数 字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜， (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率. (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由. 第二次第一次 2 2 3 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 19.如图，∠B=∠C. D B (1)求证：△ABE∽△ACD: (2)若AB=5,AD=2,AE=3,求AC的长度. 20.如图，在ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cms的速度 移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cms的速度移动.若P,Q两点同时出发，当点Q运动到点C 时，P,Q两点同时停止运动.求： 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多P (1)几秒后，△PBQ的面积等于4cm2? (2)△PBQ的面积能否等于7cm?说明理由. 21.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF, 过点A作FE的垂线，垂足为点H,与BC交于点G, D H G (1)求证：AH垂直平分EF; (2)若CG=2,BG=3,求AF的长 22.“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种.某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023 年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩 (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率. (2)某水果市场9月底以25元kg的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用 100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元kg每千克，因国庆黄金周的到来，此后每 千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃.若市场经 理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出. 23.已知菱形ABCD中∠ADC=60°，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线 BC于点E,交BD于H,连接CH. A B 备用图1 备用图2 若点F在边CD上，且CF<CD,过点C按如图所示作∠HCG=60并交AE于点G 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①证明：∠DAH=∠DCH; ②猜想△GEC的形状并说明理由 (2)若菱形ABCD边长为6，当BCH为等腰三角形时，求BE的长. 24.一次函数y=2x+2与x轴，y轴交于点C,D,一次函数y=-x+b与x轴，y轴交于点A,B,直线AB, 直线CD交于点E B B 备用图 备用图 (1)求直线AB的解析式： 2)平行于y轴的直线FG与直线CD,AB交于点F,G,点F在点G的上方，FG=5BD. ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H,使得△CFH为直角三角形，请直接写出点H的坐标： ③在直线AB上找一点M,使得∠FMB=∠FDB,请直接写出点M的横坐标. 25.在ABC中，AB=AC. G 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=2√2，LBAC=150°，求ABC的面积： (2)如图2，D为BC上一点，AD=CD,F为DA延长线上一点，连接BF并延长至点G,使得BF=FG, 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AG,过点C作CE∥AG交AD延长线于E,若∠E+∠ABC=∠BAD,请猜想线段AG、CD、AF之 间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，∠BAC=90°，AB=1,D为线段AC上一动点，将△ABD关于BD对称得到△EBD，连接AE, 将AE绕E顺时针旋转90°得到FE,连接CF,直接写出CF的最小值. 8/8