九年级数学上学期期中模拟卷（北师大版第1～4章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的对角线、相交于点，已知，则等于，（    ） A．5 B．6 C．4 D．8 4．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 9．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 10．如图，在正方形中，对角线交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F、G，连接、，与交于点H，则下列结论中①；②是等腰直角三角形；③；④平分；⑤．正确个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．方程的解为 ． 12．如果，那么 ． 13．现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为，则使得一次函数的图像只经过第一、三象限的概率是 ． 14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 15．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 16．如图，在中，，，作直线，点E为直线上的一个动点，连接，在右侧作，使得，，连接，则周长的最小值为 ． 3、 解答题（本题共9小题，共86分.17和18题每题8分.19-25题每题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 18．某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图：    请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)该班的学生共有________名；在扇形统计图中A类所对的扇形圆心角的度数为_______； (2)请补全条形统计图． (3)根据统计结果，请估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数． (4)从D类的10人中选5人，其中2人善于语言表达，3人善于动作表演．现从这5人中随机抽取2人参加班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的“双簧”表演，请用列表或画树状图的方法求出所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率． 19．如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 20．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论k为何值，该方程总有实数根； (2)若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根及以此两根为直角边长的三角形的周长． 21．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 22．如图，在四边形中，、交于点 F，点 D 在 上，，． (1)求证∶； (2)若，，的面积为 1，求的面积． 23．新华商场销售某种服装，将每件进价为130元的服装以174元售出，平均每天能售出20件．调查发现，在每件降价幅度不超过10元的情况下，这种服装的售价每降价1元，其销售量就将增加5件．根据题意，解答下列问题： (1)若这种服装的售价每件降价1元，则每件服装的利润是__________； (2)设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装__________件；（用含的代数式表示） (3)商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到1600元，每件服装应降价多少元？ 24．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 25．如图1，在正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，延长，过点F作，垂足为点G，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交于点M，与交于点N，与交于点P，连接，若，猜想的数量关系，并证明． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中若为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将4张卡片分别记为，，，， 则属于化学变化的有和． 画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，，共2种， 这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 故选：C． 3．如图，矩形的对角线、相交于点，已知，则等于，（    ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质．根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等且相互平分， ，，， ， ， 故选：B． 4．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 6．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 7．如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 8．如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是， ∴与的面积之比是， 故选：B． 9．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 10．如图，在正方形中，对角线交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F、G，连接、，与交于点H，则下列结论中①；②是等腰直角三角形；③；④平分；⑤．正确个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①符合题意 ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故为等腰直角三角形， 故②符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故④符合题意； 设交于点，连接，如图所示， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，． ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，故⑤符合题意； ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ 则 即； 故③符合题意； 综上，正确的序号为①②③④⑤， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．方程的解为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程， 根据如果两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零，因此分别令每个因式等于零求解. 【详解】解：， 得或， 解得或. 12．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，根据即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为，则使得一次函数的图像只经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数 的图像只经过第一、三象限， ∴，， 从四张卡片（数字为 ）中随机抽取两张，并分别记为 和 ， 所有可能的有序对共有 种， 分别为：， 其中满足 且 的有序对有和，共 2 种， 因此概率为 ， 故答案为：． 14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意得，且 解得且， 因此，的取值范围是且， 故答案为：且． 15．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，，作直线，点E为直线上的一个动点，连接，在右侧作，使得，，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接，如图所示： 由题意得：、均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； ∵， ∴的最小值为； ∵，， ∴； 由轴对称作图可知：； ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3、 解答题（本题共9小题，共86分.17和18题每题8分.19-25题每题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ． 18．某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图：    请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)该班的学生共有________名；在扇形统计图中A类所对的扇形圆心角的度数为_______； (2)请补全条形统计图． (3)根据统计结果，请估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数． (4)从D类的10人中选5人，其中2人善于语言表达，3人善于动作表演．现从这5人中随机抽取2人参加班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的“双簧”表演，请用列表或画树状图的方法求出所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率． 【答案】(1)； (2)作图见解析 (3)人 (4) 【详解】（1）解：∵， ∴该班的学生共有：（名）， ∴， 故答案为：；． （2）B类人数有：（人）， 补全条形统计图如下：    （3）（人）， 答：估计全校名学生中对垃圾分类不了解的学生人数为人． （4）设善于语言表达的2人分别用，表示，3人善于动作表演的3人分别用，，，画树状图如下：    从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演有12种结果， ∴所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为：， 答：所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为． 19．如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （2）解：由图可得： 20．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论k为何值，该方程总有实数根； (2)若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根及以此两根为直角边长的三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：在方程中，． 则 任何数的平方都大于等于0，即， 不论为何值，该方程总有实数根； （2）解：已知是方程的一个根，将代入方程得： ， 解得， 将代入原方程，得， 解得：，即另一个根为， 已知直角三角形的两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，斜边． 三角形的周长为． 21．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 22．如图，在四边形中，、交于点 F，点 D 在 上，，． (1)求证∶； (2)若，，的面积为 1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）证明，得出，，进而得出，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）证明，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为 1， ∴的面积为． 23．新华商场销售某种服装，将每件进价为130元的服装以174元售出，平均每天能售出20件．调查发现，在每件降价幅度不超过10元的情况下，这种服装的售价每降价1元，其销售量就将增加5件．根据题意，解答下列问题： (1)若这种服装的售价每件降价1元，则每件服装的利润是__________； (2)设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装__________件；（用含的代数式表示） (3)商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到1600元，每件服装应降价多少元？ 【答案】(1)43元 (2) (3)4 【详解】（1）∵原售价174元， ∴降价1元后，售价为173元， ∴利润为元． 故答案为：43元； （2）原销售量20件，每降价1元销售量增加5件，故降价x元后销售量为件． 故答案为：； （3）设每件降价x元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得，， 整理得， 解得， ∵降价幅度不超过10元， ∴． 答：每件服装应降价4元． 24．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 【答案】(1)，树状图见详解； (2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数； (3)2次． 【详解】（1）树状图如下： 由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为． （2）不公平，理由如下： 方法一：由树状图可知，， ，． 所以不公平． 方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率． ，， 所以不公平． 要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数． （3）设小军次进入迷宫中心，则， 解之得． 所以小军至少2次进入迷宫中心． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键． 25．如图1，在正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，延长，过点F作，垂足为点G，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交于点M，与交于点N，与交于点P，连接，若，猜想的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【详解】（1）证明：由旋转得，． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴； （2）证明：如图1，过点F作交于L，连接． 由（1）知， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∴． ∴； （3）解：，证明如下： 如图2，过点B作交于K，交于Q． ∵，，， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B D D A A B D D 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11． 或 12．/ 13． 14．且 15．/ 16． 三、解答题（本题共9小题，共86分.17和18题每题8分.19-25题每题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）【详解】（1）解：， ； （4分） （2）解：， ， ． （8分） 18．（10分）【详解】（1）解：∵， ∴该班的学生共有：（名）， ∴， 故答案为：；． （2分） （2）B类人数有：（人）， 补全条形统计图如下：    （4分） （3）（人）， 答：估计全校名学生中对垃圾分类不了解的学生人数为人 （6分） （4）设善于语言表达的2人分别用，表示，3人善于动作表演的3人分别用，，，画树状图如下：    从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演有12种结果， ∴所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为：， 答：所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为． （8分） 19．（10分）【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （4分） （2）解：由图可得： （10分） 20．（10分） 【详解】（1）证明：在方程中，． 则 任何数的平方都大于等于0，即， 不论为何值，该方程总有实数根； （10分） （2）解：已知是方程的一个根，将代入方程得： ， 解得， 将代入原方程，得， 解得：，即另一个根为， 已知直角三角形的两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，斜边． 三角形的周长为． （10分） 21．（10分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （5分） （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： （10分） 22．（10分） 【详解】（1）解∶∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （5分） （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为 1， ∴的面积为． （10分） 23．（10分） 【详解】（1）∵原售价174元， ∴降价1元后，售价为173元， ∴利润为元． 故答案为：43元； （4分） （2）原销售量20件，每降价1元销售量增加5件，故降价x元后销售量为件． 故答案为：； （6分） （3）设每件降价x元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得，， 整理得， 解得， ∵降价幅度不超过10元， ∴． 答：每件服装应降价4元． （10分） 24．（10分） 【详解】（1）树状图如下： 由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为． （5分） （2）不公平，理由如下： 方法一：由树状图可知，， ，． 所以不公平． 方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率． ，， 所以不公平． 要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数． （3）设小军次进入迷宫中心，则， 解之得． 所以小军至少2次进入迷宫中心． （10分） 25．（10分）【详解】（1）证明：由旋转得，． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴； （3分） （2）证明：如图1，过点F作交于L，连接． 由（1）知， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∴． ∴； （6分） （3）解：，证明如下： 如图2，过点B作交于K，交于Q． ∵，，， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $