专题4.5 整式的加减（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题4.5 整式的加减 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：去括号与添括号 1 知识点梳理02：整式的加减 2 知识点梳理03：整式的加减—化简求值 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：去括号 2 考点2：整式的加减运算 3 考点3：整式加减中的无关型问题 5 考点4：整式的加减中的化简求值 6 考点5：整式加减的应用 8 考点6：数字类规律探索 10 考点7：图形类规律探索 12 考点8：带有字母的绝对值化简问题 14 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 25 知识点梳理01：去括号与添括号 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 知识点梳理02：整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点梳理03：整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 考点1：去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林延边·期中）化简： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了去括号，熟练掌握去括号的运算法则是解题的关键． 根据去括号的运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练01】（25-26七年级上·湖南·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查去括号法则和合并同类项法则，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是做题的关键．去括号法则：括号前是“”号，去掉括号和括号前的“”号，括号里的各项都改变符号，合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为系数，字母与字母的指数不变． 根据去括号和 合并同类项法则进行计算即可． 【规范解答】解：A．，故 A错误； B．，故B错误； C．，故 C正确； D．由于和不是同类项，不能进行合并，故D错误． 故选C． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了整式加减运算中的去括号，括号前为“”时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为“”时，去括号后括号内各项符号改变，据此逐项判断即可求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【规范解答】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 考点2：整式的加减运算 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)填空：a______0，______0（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据数轴可得，则，，据此化简绝对值，并根据整式的加减计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得， ∴， 故答案为：；； （2）解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 【变式训练01】（25-26七年级上·北京·期中）化简：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则．通过合并同类项进行化简即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练02】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可． 【规范解答】解： ． 考点3：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案． (1)求出的正确答案． (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算及与某个字母无关的问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先根据误操作得到的和已知B求出A，再计算即可； （2）先计算，令其中m的系数为0，从而求出n的值即可． 【规范解答】（1）解： 由题意可得：，且， ∵ ， ∴ ． ∴ ． （2）解： ． ∵ 的值与m的取值无关， ∴ ，解得：． 【变式训练01】（25-26七年级上·吉林通化·期中）有这样一道题：“当，时，求代数式：的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件，是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？ 【答案】 小明的说法有道理，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减法，其运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；掌握整式加减的运算法则是解题关键．原式合并同类项得到最简的结果，即可进行判断． 【规范解答】解：原式， 结果与，的取值无关，所以题中给出的条件“，”是多余的， 故小明的说法有道理． 【变式训练02】（25-26七年级上·北京·期中）已知，，a，b是常数，若的项中不含二次项，求的值． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用整式的加减的法则对式子进行整理，再结合条件进行分析，求出a，b的值，从而可求解． 【规范解答】解：，， ， 不含二次项， ，， 解得：，， ． 考点4：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【思路点拨】本题考查整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【规范解答】解：原式 ， 当时， 原式． 【变式训练01】（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【思路点拨】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则是解题的关键．先去括号、合并同类项得到最简结果，把，代入即可． 【规范解答】解：原式， 把，代入原式． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏南京·期中）化简求值：，其中，． 【答案】，． 【思路点拨】此题考查了整式的加减——化简求值，将原式去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．熟练运用运算法则进行计算和化简是解题的关键． 【规范解答】解： ， 当，时， 原式 ． 考点5：整式加减的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期中）“柳庭风静人眠昼，昼眠人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为． (1)请你直接写出最小的三位回文数______； (2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由． 【答案】(1) (2)任意三位回文数的回自差最大能被9整除．理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算与新定义，解题的关键是理解回文数和回自差的概念，掌握整式的加减运算法则． （1）根据回文数的定义，可以确定最小的三位回文数百位和个位数字为1，十位数字为0，即可求解； （2）设该三位回文数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，表示出这个三位回文数，再根据回自差定义，求得回自差，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据回文数的定义，可以确定最小的三位回文数的百位和个位数字为1，十位数字为0， 则最小的三位回文数为， 故答案为：； （2）解：任意三位回文数的回自差最大能被9整除．理由如下： 设该三位回文数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则该三位回文数为． 该三位回文数的回自差为． 由题意可得，，都为整数，则为整数． 可得一定是9的倍数，即该三位回文数的回自差一定是9的倍数， 任意三位回文数的回自差最大能被9整除． 【变式训练01】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）为提高学生的实践活动技能，某校拟修建一块长方形的实践活动基地，一边靠墙（靠墙一边不用篱笆），其他三边用篱笆围起（如图所示）．已知长方形活动基地的宽为米，长比宽多米． (1)用含、的代数式表示围成该实践活动基地所需篱笆的总长度； (2)若，，篱笆的单价为50元/米，求围成该实践活动基地购买篱笆所需的总费用． 【答案】(1)米 (2)元 【思路点拨】本题考查整式的加减、列代数式、代数式求值； （1）先表示出长，再由一个长加两个宽即为篱笆的总长度求解； （2）将，代入代数式求出所需篱笆的总长度，再乘以单价为50元/米即可求解总费用． 【规范解答】（1）解：由题意得：长为米， ∴篱笆的总长度为：米； （2）解：若，，篱笆的单价为50元/米， 则总费用为：（元）． 【变式训练02】（25-26七年级上·四川泸州·期中）某校七年级四个班级的学生在植树节这天义务植树，一班植树x棵，二班植树的棵树比一班的2倍少40棵，三班植树的棵数比二班的一半多30棵，四班植树的棵数比二班的2倍少90棵． (1)求四个班共植树多少棵 （用含x 的式子表示） (2)当时，四个班中哪个班植的树最多？ 【答案】(1)棵 (2)二班 【思路点拨】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意分别表示出二班，三班，四班植的树的数目，再把四个班植的树的数目求和即可得到答案； （2）根据（1）所求分别计算出二班，三班，四班植的树的数目，比较即可得到答案． 【规范解答】（1）解： 棵， 答：四个班共植树棵； （2）解：当时，，， ， ∵， ∴四个班中二班植的树最多． 考点6：数字类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级上·四川自贡·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，若是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是（   ）． A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】A 【思路点拨】该题考查了新定义，规律探究，根据差倒数的定义，计算前几项发现其是以循环，每三项的和为．2021项中有673个完整周期和余2项，计算总和即可． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ∴ 依此类推，周期为3，按照循环， 且每三项之和：． ∵ 余， ∴ 有673个完整周期，和为 ， 余两项为和， 由周期规律：余 ， ∴ ， 余， ∴ ， ∴余两项之和：， ∴ 总和． 故选：A． 【变式训练01】（25-26七年级上·四川自贡·期中）观察下列各式： 根据规律，解答下列各题： (1)______________________． (2)计算：___________． (3)探究计算： 【答案】(1)； (2) (3) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算规律探索，合理寻找规律是解题的关键． （1）根据所给的等式找出规律即可； （2）根据所给的等式利用规律运算即可； （3）根据所给的等式利用规律运算即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， 故答案为：；； （2） 解：原式 故答案为：； （3） 解：原式 ． 【变式训练02】（25-26七年级上·全国·期中）下图是某年的月历表，用一个圈竖着圈住三个数，当你任意圈出一列上相邻的三个数时，这三个数的和不可能是（     ） A．72 B．60 C．27 D．40 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；由题意可设竖着圈住的三个数的第一个数是x，则其他两个数分别为，则这三个数的和为，然后可得这三个数的和是3的倍数，进而问题可求解． 【规范解答】解：设竖着圈住的三个数的第一个数是x，则其他两个数分别为，由题意得： 这三个数的和为， ∴这三个数的和是3的倍数， 则只有D选项不是3的倍数； 故选：D． 考点7：图形类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）将一列有理数，2，，4，，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数 ，应排在A、B、C、D、E中 的位置． 【答案】 A 【思路点拨】本题考查了图形类规律探索，由题意可得，奇数为负数，偶数为正数，每个峰需要个数，由此计算即可得出“峰6”中C 的位置是有理数，再由，即可得出应排在的位置，正确得出规律是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，奇数为负数，偶数为正数，每个峰需要个数， ∵， ∴，故“峰6”中C 的位置是有理数， ∵， ∴应排在峰的第一个数，排在A的位置， 故答案为：，A． 【变式训练01】（25-26七年级上·北京·期中）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第50个图形需要（    ）根小木棒． A．338 B．345 C．352 D．359 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多7根小木棒，再结合第1个图形中小木棒的数量可得第n个图形需要根小木棒，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个图形需要根小木棒， 第2个图形需要根小木棒， 第3个图形需要根小木棒， ……， 以此类推，可知第n个图形需要根小木棒， ∴第50个图形需要根小木棒， 故选：C． 【变式训练02】（25-26七年级上·湖南常德·期中）如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意结合所给图形，发现第1个，2个，3个，…，图形所记的数，发现规律解决问题． 【规范解答】解：由题知， 第1个图记为； 第2个图记为； 第3个图记为； 第4个图记为； …， 所以第个图记为（n为正整数）． 当，即时， 所以， 第2024个图记为， ∴第个图记为， 故答案为：． 考点8：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（25-26七年级上·云南文山·期中）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，例如：，根据以上内容完成下面的问题： (1) (2)如果有理数，则______； (3)请利用你探究的结论计算下面式子： 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查绝对值的应用． （1）计算两个分数的差的绝对值即可； （2）根据判断的符号，再求绝对值即可； （3）先找出规律，再将每一项的绝对值转化为差的形式，利用裂项相消求和． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵对于任意正整数，有， ∴， ∴， 原式 ． 【变式训练01】（25-26七年级上·广西贵港·阶段练习）已知，，在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出，，相反数的对应点的位置； (2)判断下列各式与0的大小：①___________0；②___________0；③___________0；④___________0． (3)化简式子：． 【答案】(1)见解析 (2)，，， (3) 【思路点拨】本题考查了数轴、相反数、绝对值的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断数的正负及绝对值的大小关系． （1）根据相反数的定义，在数轴上找出，，相反数的对应点； （2）依据数轴上，，的位置，判断数的正负及运算结果的符号； （3）根据绝对值的性质，判断绝对值内式子的正负，进而化简式子． 【规范解答】（1）解：如图所示 （2）解：由数轴可知，且， ①：因为、都是负数，且，所以， ②是正数，是负数，正数减负数等于正数加正数，所以， ③：两个负数相乘，结果为正数，所以， ④是负数，是正数，异号两数相除，结果为负数，所以， 故答案为：，，，； （3）解：由数轴可知，所以， 所以， 所以， (因为是正数，是负数，正数减负数为正），所以， 则． 【变式训练02】（25-26七年级上·河南新乡·阶段练习）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，则a取最大值时，b的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值的化简和数轴．解题的关键在于能够结合数轴判断a、b的大小关系，进而化简．注意：最大的负整数是． 先根据A、B的位置关系，判断出a、b的大小关系，化简；再根据a取最大值，得出；最后求出b的值． 【规范解答】解：∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴， ∴； ∵点A在原点左侧， ∴a为负整数，取最大值时为， 此时，则； 故选：B． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）小宇做一道数学题：“两个多项式和，，求的值．”小宇错将“”看成“”，算得结果为． (1)求多项式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则． （1）根据，，利用列式得出答案即可； （2）将，，代入，进行计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数．对于有理数对它进行如下操作：取的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；…；若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了规律型：数字的变化类．根据题意求出前几个数，发现其规律再进行求解即可． 【规范解答】解：当时， 由题意可求得，，解得， 则， 由题意可求得，，解得， 则， 同理，，，， 故的值6次一循环的规律出现， 而， ∴的值与相同，是， 故选：D． 3．（2024·福建福州·中考真题）如图，有理数，，在数轴上的位置如图所示， (1)判断下列代数式的符号： ① 0；② 0；③ 0 (2)化简： 【答案】(1)①＜；②＞；③＞ (2)c 【思路点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算．正确根据题意得到，是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置可得，，据此求解即可； （2）根据（1）所求化简绝对值即可． 【规范解答】（1）解：由数轴知，，． ①； ②； ③． 故答案为：①<；②>；③>． （2）解：原式 ． 4．（2024·北京海淀·中考真题）无人机经过程序设定可以排布为多种多样的美丽图案如图，某兴趣小组设计了一个多层“♡”形图案、图中每个点表示一架无人机，从内至外分别为第一层，第二层……．第一层由10架无人机组成，从第二层开始每一层比前一层多6架．现有120架无人机可供展演，则该“♡”形图案最多有 层． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了规律问题． 求出前层数共需架数，找出的最大层数即可． 【规范解答】解：第一层由10架无人机组成，从第二层开始每一层比前一层多6架． 则前两层共架； 前三层共架； 前四层共架； 前五层共架； 前六层共架； 即现有120架无人机可供展演，则该“♡”形图案最多有5层． 故答案为：5． 5．（2024·上海·中考真题）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了整式化简求值，准确理解题意是解题的关键． 先根据求出，代入计算即可． 【规范解答】 ，， ， ， ． 基础夯实 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列算式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【思路点拨】本题考查数字的规律探索．先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【规范解答】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， …… 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第507组的第2个数字， ∴的末位数字是3， 故选：A． 2．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，这是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第675个图案中灰色小正方形有（   ） A．2024个 B．2025个 C．2026个 D．2027个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了图形的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形（两个图形相邻）多3个灰色小正方形，再结合第1个图形中有4个灰色小正方形总结规律求解即可． 【规范解答】第1个图案中，灰色小正方形的个数为； 第2个图案中，灰色小正方形的个数为； 第3个图案中，灰色小正方形的个数为； ……； 以此类推，可知第个图案中，灰色小正方形的个数为， ∴第675个图案中，灰色小正方形的个数为． 故选：C． 3．（25-26七年级上·云南昆明·期中）去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了去括号，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【规范解答】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期中）已知轮船在静水中前进的进度是千米/时，水流的速度是5千米/时，则这轮船在水中顺流行驶5小时比逆流航行3小时多行驶 千米． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，将已知条件和问题用代数表达式表达，根据题意列出方程是解题的关键． 根据顺流速度和逆流速度的计算公式，分别求出顺流5小时和逆流3小时行驶的距离，再计算两者的差值即可． 【规范解答】解：顺流速度为千米/时，顺流5小时行驶的距离为千米；逆流速度为千米/时，逆流3小时行驶的距离为千米，则多行驶的距离为： 千米． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·北京·期中）数所表示的点在数轴上的位置如图所示．化简 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查数轴表示数，绝对值的运算，掌握当时，，当时，是解题的关键． 根据数轴确定，则，再去绝对值求解即可． 【规范解答】由题可知，，则， ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·山西运城·期中）已知为多项式的各项系数之和，，则代数式的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了多项式的项数，整式的加减运算，化简求值．先求多项式系数之和得a，再计算b的值，然后化简代数式，并代入数据进行求值，即可作答． 【规范解答】解：∵为多项式的各项系数之和， ∴， 则 ， 代数式， 原式 ， 代入，，则， 故答案为：6 7．（25-26七年级上·山西运城·期中）已知某三角形的周长为，其中两边长的和为，则该三角形第三边的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查整式的加减，熟悉掌握是解答关键． 根据三角形周长的定义，周长等于三边之和，因此第三边等于周长减去已知两边之和，进而求解即可． 【规范解答】∵某三角形的周长为，其中两边长的和为， ∴第三边长为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）求代数式的值，其中． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的加减运算中的化简求值，非负数的性质，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． 先将原式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值后代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 9．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． 第一个等式    第二个等式 第三个等式    第四个等式 …… (1)请写出第7个等式___________；请写出第个等式___________； (2)计算． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键． （1）通过观察所给的等式直接写出即可； （2）根据（1）中结论进行求解即可． 【规范解答】（1）解：根据前面四个等式可得：第7个等式为：；第个等式：； 故答案为：； （2）解：原式 . 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）为了提高业主的宜居环境，在某居民区的建设中，因地制宜规划修建一个草坪（图中阴影部分）． (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)若，，计算阴影部分的面积（取3）． 【答案】(1)； (2)14． 【思路点拨】本题考查了整式的加减的应用，求解代数式的值，理解题意，列出正确的代数式是解本题的关键． （1）由阴影部分的面积等于长方形的面积减去一个半圆与一个圆面积的即可得到答案； （2）把，代入（1）中的代数式进行求值即可． 【规范解答】（1）解：由图可得，； （2）解：当，时，． 培优拔高 11．（25-26七年级上·北京海淀·期中）在右图所示的6个方格中分别填有一个关于x的多项式，其中n为有理数．将图中横、竖、斜三条虚线各自经过的3个方格中所填的多项式分别求和，合并同类项后每个和的次数和项数均为m，给出下面三个结论： ①； ②☆处所填多项式的次数一定为3 ③△处所填多项式的次数可能为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算、多项式的次数以及项数等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先列出斜线、横线、竖线的代数式，然后运用整式的加减运算法则逐个判断即可． 【规范解答】解：由题意可知： 斜线：； 横线：； 竖线：； 则横线和为：，即该多项式的次数为2， ∵合并同类项后每个和的次数和项数均为m， ∴，，即，故①正确； 竖线和为：， ∵的次数为2， ∴处的多项式的次数一定是3，且含的项的系数为1，即②正确； 斜线和为：， ∵的次数为2，由②可得多项式的次数一定是3且含的项的系数为1， ∴△处所填多项式的次数一定为3，且含的项的系数为，即③错误. 综上，正确的为①②． 故选A． 12．（25-26七年级上·广东珠海·期中）一个有趣的游戏：首先发给，，三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量为，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，同学拿出三张扑克牌给同学；第二步，同学拿出五张扑克牌给同学；第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学．请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查整式的加减运算，根据游戏步骤逐步计算各同学手中的扑克牌数量，最终得到B同学剩余的扑克牌张数．解题关键是准确理解每一步操作，并运用整式加减进行计算，注意最终结果与无关． 【规范解答】解： 初始时，、、各有张扑克牌；   第一步：拿出张给，   有张，有张，有张；   第二步：拿出张给，   有张，有张，有张；   第三步：此时有张，拿出张给，   剩余扑克牌张数为：（张）．   故选：B． 13．（25-26七年级上·云南昆明·期中）合并同类项的结果为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506个，计算即可得到结果． 【规范解答】解： ， 故选：A． 14．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）下图中，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．照这样摆下去，10个黑色圆片周围一共摆有 个白色圆片；个黑色圆片周围一共摆有 个白色圆片． 【答案】 42 / 【思路点拨】本题考查了图形的规律探索，主要培养学生的观察能力和总结能力， 即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片，由此解答即可． 【规范解答】解：1个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片； 2个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片； 3个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片； 4个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片； …… 由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片， ∴10个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片， 故答案为：42；． 15．（25-26七年级上·河南焦作·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则与数轴上表示2025的点重合的点是圆周上数字 对应的点． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数与数轴，圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进4个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从0开始的整数分别对应圆上的0，1，2，3，据此规律求解即可． 【规范解答】解：∵圆的周长为4个单位长度， ∴圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进4个单位长度， ∴每一圈的滚动过程中数轴上从0开始的整数分别对应圆上的0，1，2，3， ∵ ， ∴与数轴上表示2025的点重合的点是圆周上数字2对应点， 故答案为：2． 16．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若，，，则 （用含n的式子表示）． 【答案】 【思路点拨】本题考查幻方，解题的关键是根据幻方的特点，列式得到，．先根据题意，得，易得，，再根据，即可得，据此即可解答． 【规范解答】解：根据题意，， ，， ， ， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·上海·期中）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有 个“孤立数” 【答案】50 【思路点拨】本题主要考查数字类的规律探索，解此题的关键在于准确找到题中所给规律，再根据规律进行归纳总结． 根据孤立数的定义，整数a不能表示为两个不同整数的平方之差，通过分析，整数a是孤立数当且仅当（为整数），绝对值小于100的整数中共有50个孤立数． 【规范解答】根据题意，“孤立数”可以为：2，6，10，14，18，， 因此，a为孤立数当且仅当（为整数） 绝对值小于100的整数中，要满足（为整数），最小可取，最大可取， 故绝对值小于100的整数中共有50个孤立数． 故答案为：50． 18．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即时，则 ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则 综上所述，的值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)填空： ①当时，则的值为___________； ②已知、、是有理数，当时，则的值为___________； (2)已知、、是有理数，当时，求的值； (3)已知、、是有理数，，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘法，分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）①根据绝对值的意义，得出，，代入式子即可求解； ②仿照题目给出的思路和方法，解决即可； （2）根据， 分 ,,为一负两正或三负两种情况讨论，再化简求值即可； （3）根据已知等式，利用绝对值的意义判断出中负数有1个，正数有2个，原式利用绝对值的意义化简计算即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴，， ∴， ∴的值为； 故答案为：． ②是不为的有理数，当时，即， ∴ 或， 当时，； 当 时，． 故答案为：． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， 当、、都是负数，即时， 则：； 、、有一个为负数，另两个为正数时，设， 则； （3）为三个不为的有理数，且，， ∴， ∴a、、中一个为负数，另两个为正数，设， ． 19．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）观察下列三行数，并解答后面的问题： (1)根据第行数的规律，写出其中第个数为___________；第个数为___________； (2)根据排列规律，分别写出上面三行数的第个数，并计算这三个数的和； (3)设、、分别表示第行数的第个数，求出的值． 【答案】(1)，；(2)；(3)． 【思路点拨】本题主要考查数字规律，有理数的乘方运算，理解数字规律的计算，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． 根据第行的前个数的变化规律可知第行的第个数是，第行的第个数是； 由中的规律可知，第行的第个数是，根据第行的数的变化规律可知，它们的绝对值是连续的正整数，符号是交替出现，可知第行的第个数是，根据第行的数比相对应的第行的数小，可知第行的第个数是，计算出这三个数的和即可； 根据规律分别写出三行的第个数，再求和即可． 【规范解答】（1）解：第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， ， 第行的第个数是； 故答案为：，； （2）解：由可知第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 三行数的第个数之和是； （3）解：由规律可知，第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， ． 20．（25-26七年级上·吉林·期中）窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，整个窗户是铝合金窗框（包含内窗格、外窗框），内部全部安装玻璃，已知下部小正方形的边长是米，窗框的宽度、厚度不计． (1)求窗户的总面积； (2)计算窗户内外所有铝合金窗框的总长； (3)若窗户的玻璃每平方米100元，所有铝合金窗框平均每米50元，材料买好后交付工人制作费100元/个，当米时，求制作5个这种窗户成品需要总费用是多少元？（其中，取3） 【答案】(1)平方米 (2)米 (3)制作个这种窗户成品需要总费用是元． 【思路点拨】本题考查了列代数式表示实际问题，关键分清数量关系，抓住关键词语，正确的列出代数式，然后再代入求值即可． （1）根据题意可直接进行列式求解； （2）根据圆的周长公式及正方形的周长可求解； （3）由（1）（2）及题意可直接进行求解． 【规范解答】（1）解： ， 该窗户的总面积为平方米； （2）解： ， 答：窗户内外所有铝合金窗框的总长是米； （3）解：当米时， （元） 答：制作个这种窗户成品需要总费用是元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 整式的加减 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：去括号与添括号 1 知识点梳理02：整式的加减 2 知识点梳理03：整式的加减—化简求值 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：去括号 2 考点2：整式的加减运算 3 考点3：整式加减中的无关型问题 3 考点4：整式的加减中的化简求值 4 考点5：整式加减的应用 4 考点6：数字类规律探索 5 考点7：图形类规律探索 6 考点8：带有字母的绝对值化简问题 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：去括号与添括号 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 知识点梳理02：整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点梳理03：整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 考点1：去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林延边·期中）化简： ． 【变式训练01】（25-26七年级上·湖南·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 考点2：整式的加减运算 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)填空：a______0，______0（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【变式训练01】（25-26七年级上·北京·期中）化简：． 【变式训练02】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 考点3：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案． (1)求出的正确答案． (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 【变式训练01】（25-26七年级上·吉林通化·期中）有这样一道题：“当，时，求代数式：的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件，是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？ 【变式训练02】（25-26七年级上·北京·期中）已知，，a，b是常数，若的项中不含二次项，求的值． 考点4：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式训练01】（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值： ，其中，． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏南京·期中）化简求值：，其中，． 考点5：整式加减的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期中）“柳庭风静人眠昼，昼眠人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为． (1)请你直接写出最小的三位回文数______； (2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由． 【变式训练01】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）为提高学生的实践活动技能，某校拟修建一块长方形的实践活动基地，一边靠墙（靠墙一边不用篱笆），其他三边用篱笆围起（如图所示）．已知长方形活动基地的宽为米，长比宽多米． (1)用含、的代数式表示围成该实践活动基地所需篱笆的总长度； (2)若，，篱笆的单价为50元/米，求围成该实践活动基地购买篱笆所需的总费用． 【变式训练02】（25-26七年级上·四川泸州·期中）某校七年级四个班级的学生在植树节这天义务植树，一班植树x棵，二班植树的棵树比一班的2倍少40棵，三班植树的棵数比二班的一半多30棵，四班植树的棵数比二班的2倍少90棵． (1)求四个班共植树多少棵 （用含x 的式子表示） (2)当时，四个班中哪个班植的树最多？ 考点6：数字类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级上·四川自贡·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，若是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是（   ）． A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【变式训练01】（25-26七年级上·四川自贡·期中）观察下列各式： 根据规律，解答下列各题： (1)______________________． (2)计算：___________． (3)探究计算： 【变式训练02】（25-26七年级上·全国·期中）下图是某年的月历表，用一个圈竖着圈住三个数，当你任意圈出一列上相邻的三个数时，这三个数的和不可能是（     ） A．72 B．60 C．27 D．40 考点7：图形类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）将一列有理数，2，，4，，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数 ，应排在A、B、C、D、E中 的位置． 【变式训练01】（25-26七年级上·北京·期中）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第50个图形需要（    ）根小木棒． A．338 B．345 C．352 D．359 【变式训练02】（25-26七年级上·湖南常德·期中）如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为 ． 考点8：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（25-26七年级上·云南文山·期中）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，例如：，根据以上内容完成下面的问题： (1) (2)如果有理数，则______； (3)请利用你探究的结论计算下面式子： 【变式训练01】（25-26七年级上·广西贵港·阶段练习）已知，，在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出，，相反数的对应点的位置； (2)判断下列各式与0的大小：①___________0；②___________0；③___________0；④___________0． (3)化简式子：． 【变式训练02】（25-26七年级上·河南新乡·阶段练习）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，则a取最大值时，b的值为（    ）． A． B． C． D． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）小宇做一道数学题：“两个多项式和，，求的值．”小宇错将“”看成“”，算得结果为． (1)求多项式． (2)求的值． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数．对于有理数对它进行如下操作：取的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；…；若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·中考真题）如图，有理数，，在数轴上的位置如图所示， (1)判断下列代数式的符号： ① 0；② 0；③ 0 (2)化简： 4．（2024·北京海淀·中考真题）无人机经过程序设定可以排布为多种多样的美丽图案如图，某兴趣小组设计了一个多层“♡”形图案、图中每个点表示一架无人机，从内至外分别为第一层，第二层……．第一层由10架无人机组成，从第二层开始每一层比前一层多6架．现有120架无人机可供展演，则该“♡”形图案最多有 层． 5．（2024·上海·中考真题）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 基础夯实 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列算式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，这是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第675个图案中灰色小正方形有（   ） A．2024个 B．2025个 C．2026个 D．2027个 3．（25-26七年级上·云南昆明·期中）去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期中）已知轮船在静水中前进的进度是千米/时，水流的速度是5千米/时，则这轮船在水中顺流行驶5小时比逆流航行3小时多行驶 千米． 5．（25-26七年级上·北京·期中）数所表示的点在数轴上的位置如图所示．化简 ．    6．（25-26七年级上·山西运城·期中）已知为多项式的各项系数之和，，则代数式的值为 ． 7．（25-26七年级上·山西运城·期中）已知某三角形的周长为，其中两边长的和为，则该三角形第三边的长为 （用含的代数式表示）． 8．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）求代数式的值，其中． 9．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． 第一个等式    第二个等式 第三个等式    第四个等式 …… (1)请写出第7个等式___________；请写出第个等式___________； (2)计算． 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）为了提高业主的宜居环境，在某居民区的建设中，因地制宜规划修建一个草坪（图中阴影部分）． (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)若，，计算阴影部分的面积（取3）． 培优拔高 11．（25-26七年级上·北京海淀·期中）在右图所示的6个方格中分别填有一个关于x的多项式，其中n为有理数．将图中横、竖、斜三条虚线各自经过的3个方格中所填的多项式分别求和，合并同类项后每个和的次数和项数均为m，给出下面三个结论： ①； ②☆处所填多项式的次数一定为3 ③△处所填多项式的次数可能为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（25-26七年级上·广东珠海·期中）一个有趣的游戏：首先发给，，三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量为，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，同学拿出三张扑克牌给同学；第二步，同学拿出五张扑克牌给同学；第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学．请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·云南昆明·期中）合并同类项的结果为（   ） A． B． C． D．无法确定 14．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）下图中，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．照这样摆下去，10个黑色圆片周围一共摆有 个白色圆片；个黑色圆片周围一共摆有 个白色圆片． 15．（25-26七年级上·河南焦作·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则与数轴上表示2025的点重合的点是圆周上数字 对应的点． 16．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若，，，则 （用含n的式子表示）． 17．（25-26七年级上·上海·期中）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有 个“孤立数” 18．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即时，则 ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则 综上所述，的值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)填空： ①当时，则的值为___________； ②已知、、是有理数，当时，则的值为___________； (2)已知、、是有理数，当时，求的值； (3)已知、、是有理数，，，求的值． 19．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）观察下列三行数，并解答后面的问题： (1)根据第行数的规律，写出其中第个数为___________；第个数为___________； (2)根据排列规律，分别写出上面三行数的第个数，并计算这三个数的和； (3)设、、分别表示第行数的第个数，求出的值． 20．（25-26七年级上·吉林·期中）窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，整个窗户是铝合金窗框（包含内窗格、外窗框），内部全部安装玻璃，已知下部小正方形的边长是米，窗框的宽度、厚度不计． (1)求窗户的总面积； (2)计算窗户内外所有铝合金窗框的总长； (3)若窗户的玻璃每平方米100元，所有铝合金窗框平均每米50元，材料买好后交付工人制作费100元/个，当米时，求制作5个这种窗户成品需要总费用是多少元？（其中，取3） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $