培优04 插项数列、公共项数列、存在性数列等7种考法（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

培优04 插项数列、公共项数列、存在性问题等7种考法 题型1 插项构成等差（比）数列 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2.插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 1．在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为则， 于是， ，则得，依题意， ， 故， 因，则 故由可得，. 故答案为：. 2．已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 【答案】B 【详解】，所以． 当时，，所以等差数列的公差为， 故，则． 故选：B. 3．在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.则数列的通项公式是 ． 【答案】 【详解】设在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列的公比为q， 则，即， 所以， 所以， 故答案为： 4．已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 由，得： 由，得： 将代入上式：化简得： 因此，公差，通项公式为： 在与之间插入个数，构成项的等差数列，其公差为： 设，则 故，所以单调递增，最小值为. 数列的最小值：，当时，. 对任意，存在，使得.由于且，只需保证，即. 故答案为：. 5．等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 6．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入6个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. (1)求数列的通项公式. (2)记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，或6，最大值为 【详解】（1），公比，， 设新数列的公比为， 则，，由， 所以. （2）. 令， 当或6时，有最大值30. 所以的最大值为，此时或6. 题型2 混合插项 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的 7．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为（    ） A．29 B．28 C．27 D．30 【答案】A 【详解】由题意得数列的前n项依次为：个个个个 当时， 当时， 所以使成立的n的最小值为29. 故选：A. 8．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【详解】由题设，数列各项依次为， 当时，， 当时，， 所以成立的n的最小值为21. 故选：B. 9．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 10．已知正项数列的前项和为满足，在数列的每相邻两项，之间依次插入，得到数列则数列的前60项和为 . 【答案】410 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减，得， 因为数列是正项数列， 所以由， 所以数列是公差为的等差数列， 由，所以， 显然也适合，因此， 在数列中按照题中操作， 得到数列的项数为， 所以由，舍去， 因为 所以当时，， 于是数列的前60项和为 ， 故答案为： 11．已知数列的通项公式为，在项和之间插入个x，形成一个新数列，若的前2027项的和为9138，则 ． 【答案】4.5 【详解】在数列中，后面插入个，后面插入个，.......，后面插入个， 那么到为止，新数列的项数为. 由等比数列前项和公式可得， 所以到为止，新数列的项数为. 当时，；当时，； 因为，所以在新数列的前2027项中，不在. 新数列的前2027项中，. 在新数列的前2027项中的个数为个，而到为止插入的的个数为：个， 所以的个数为2016个，那么的和为. 所以，解得. 故答案为：. 12．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 【答案】30 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，3，，，3，3，3，，，个，，个，，， 当时，， 当时，， 因，则数列为递增数列， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 13．已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3)12182 【分析】 【详解】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 题型3 菲波那契数列 14．19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波纳契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 累加得： 即. 故选：D. 15．斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余数数列是周期数列，周期为8，，所以数列的前2022项中能被3整除的项有，所求概率为， 故选A． 16．数列的发展史，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波拉契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即···也即， ，若此数列被整除后的余数构成一个新的数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得：，，，，，；，，，，，，． 数列是周期为6的数列， 所以 故选：A 【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（多选）裴波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．裴波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示裴波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，，，，A对； 对于B选项，当时，，① ，可得，② ①②得，B对； 对于C选项，对任意的，，则， 因此，，C错； 对于D选项，， 因此， ，D对. 故选：ABD. 18．（多选）数列，，，该数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，…，，两边相加并代入得，故A正确； 对于B，因为，则， 则 . 故B正确； 对于C，假设为公比为q等比数列， 故，即， 所以，，矛盾，故C不成立. 对于D，假设为公比为q的等比数列， 故，即， 由已知得：，，解得，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活利用数列的递推关系，将选项进行变形转化，由，转化 ，再结合累加得出结果.本题是一个偏难的题目，灵活性强，学生不容易把握. 19．斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似的得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为 . 【答案】 【详解】设第个圆弧的半径为，设前个圆弧的半径之和为， 则，，，，， 依题意，， 则 ， ， 所以， 所以， 所以前个正方形中圆弧总长为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出根据斐波拉契数列的性质. 题型4 公共项数列 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1.不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2.周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 20．设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【详解】由题意可知，数列：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、...， 数列：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、...， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列：5、17、29、...， 易知数列是首项为5，公差为12的等差数列，则， 由，可得， 因此，集合中元素的个数为169. 故选：C 21．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为 ． 【答案】 【详解】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以3为首项，以3为公差的等差数列， 可知这两个数列的公共项所构成的新数列是以3为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为：， 则 ， 则的前10项和为. 故答案为：. 22．已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ； 【答案】 【详解】令数列的第项与数列的第项相等，即，则， 由， 显然是3的正整数倍，由，得是3的倍数， 则，因此为正奇数，即，于是， 所以数列的通项公式. 故答案为： 23．已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为 ． 【答案】 【详解】，当时，， 当时，， 当时也满足，故； 又，当时，，， 当时，，，即， 是首项为，公比为的等比数列，， 数列是数列的公共项， 又，，，， ，，， ，，，，且为单调递增数列， 满足的的最大值为. 故答案为：. 24．已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设首项为，公差为d，因， 则 解得或（舍）. 则； （2）由时，令， 当时，， 则此时； 当时，， 则 综上， （3）由题意得，， 因为，所以，即， 因此，   所以. 25．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 【答案】(1)，； (2)①；②9880. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则有，解得， 因此；由，得，而， 则数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）①由（1）知，，， 则，， 所以数列，的前4个公共项依次为. ②，而， 因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项， 所以剩下所有项的和为. 题型5 存在性问题 26．记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 【答案】(1)证明见解析， (2)是， (3)不存在 【分析】 【详解】（1）∵，∴， ∵， ∴是首项为4，公比为2的等比数列. ∴，即. （2）方法一：∵， ∴（）， 两式相减得， 整理得， ∴， 两式相减得，即， ∴是等差数列，由于，，∴公差，∴的通项公式为. 方法二（数学归纳法）： ∵， ∴， ∵，，代入上式解得， 猜想. 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即. 下证时，猜想成立，即证， ∵， ∴，， ∵，， ∴，解得. 由数学归纳可得是等差数列，. （3）由（1）知，， ∴当时，，经检验，满足上式， ∴（），， 假设存在这样的三个正整数，则，，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，解得，不满足题意， ∴假设不成立，不存在这样的正整数. 27．已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为数列满足，且，则， 所以， 故，且， 因此数列是等比数列. （2）当为偶数时，设，则， 由（1）可知，则， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，设，则，， 此时 ， 当为奇数时，设，则， 此时 ， 综上所述，. （3）由（2）可知， 假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列， 且有，不妨设，则， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得， 因为为偶数，为奇数，等式不成立， 故数列中不存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列. 28．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式及； (2)记，，当时，比较与的大小； (3)是否存在实数，使得对任意的正整数，，都有成立？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)实数存在，最大值为 【分析】 【详解】（1）设公差为，由，，成等比数列得，即， 求得或（舍去）， 所以，． （2）由（1）知，，，则， ， ， 因为当时，，即，所以． （3）要使恒成立， 只需恒成立，即， 因为，又因为， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以时，对任意的正整数，，不等式都成立， 即实数存在，最大值为． 29．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在, 【分析】 【详解】（1）证明：根据条件可得， ， 数列是以为首项，1为公差为等差数列. （2） 数列为以为首项，1为公差的等差数列， ， ， ①， ②， ①-②得：， . （3）， 当时 ， 当时 ， 当时 ， 又，即 ， 当且仅当时，有. 30．已知数列，数列的前n项和为，且. (1)令，求数列的前n项和. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为 故数列为等差数列，公差为2， 又， 所以. 所以数列的通项公式. 因为① ② ①-②可得， 当n=1时，， 故是首项为2，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式. 因为 所以 化简得：. （2）由（1）知，. 所以. 所以. 设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则，所以，即. 又因为m，k，p成等差数列，所以，所以， 化简得，所以， 又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 31．已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数． (1)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； (2)设，为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，是等比数列；当时，不是等比数列，证明见解析 (2)当时，不存在这样的；当时，存在这样的，此时的取值范围是. 【分析】 【详解】（1）我们有 . 所以是等比数列当且仅当，即. 综上，当时，是等比数列；当时，不是等比数列. （2）我们已经证明，而， 所以无论怎样都有. 这表明 . 故条件即为对任意正整数成立， 此即，即. 当为奇数时，有，； 而当为偶数时，有，. 故，而这两个不等号分别在和时取等， 故条件等价于且. 此即且. 由于，故且，从而条件等价于. 这表明存在的充要条件是，即，此时的取值范围是. 综上，当时，不存在这样的；当时，存在这样的，此时的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对参数之间大小关系的分类讨论，在分类讨论时需要避免重复或遗漏. 题型6 取整数列 32．已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 当n＝1时，；当时，， 所以． 故选：C． 33．已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【答案】A 【详解】因为数列是等差数列，所以由 可得解得， 故． 根据设问所求，可知， 故当时，， 当时，， 所以． 故选：A. 34．设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则 ． 【答案】198 【详解】由于当时，，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，即．又， 即， 所以． 由于， 则， ， 所以， 又由于， 所以，故． 故答案为：198. 35．记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则 . 【答案】18 【详解】由数列满足：，可得，且， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，故， 因为，所以当时，， 即， 所以 ， 所以， 综上所述，故. 故答案为：. 36．已知数列满足. (1)记，求数列的通项公式，并求的前99项和； (2)记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如． （ⅰ）求； （ⅱ）求数列的前2025项和． 【答案】(1)； (2)（i） ；（ii） 【分析】 【详解】（1）解：由，因为为偶数，且， 所以，即数列的通项公式为， 又由，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）解：（ⅰ）由，所以， 因为，根据取整函数的定义，可得， 又由，所以， 因为，根据取整函数的定义，可得， 由，故，而， 所以. 由，所以， 因为，根据取整函数的定义，可得. （ⅱ）由（i）知，当时，可得，此时，共有项； 当时，可得，此时，共有项； 当时，可得，此时，共有项； 当时，可得，此时，共有项， 因为， 所以. 37．已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)4971 【分析】 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1），，所以，， 当时，，即， 所以，则，，， 当且时，不是整数， 所以当时，，时，，当时，， 当时，， 所以. 38．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【答案】(1) (2)681 【分析】 【详解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 题型7 数列新定义 39．如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（    ） A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】A 【详解】因为数列为“速增数列”， ，，且， 所以对，，， 所以，且， 所以， 相加得， 所以，即，， 当时，， 当时，， 故正整数的最大值为. 故选：A 40．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A． B．16 C． D． 【答案】C 【详解】记数列为，设， 则，，，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， . 故选：C. 41．定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线变形得： ，当时， 所以直线过定点，即， 由数列为“等和”数列且（为常数）， 所以， 所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2， 所以 ， 故选：D. 42．（多选）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（    ） A．第三次得到的数列共9项 B． C．数列是等比数列 D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 【答案】AC 【详解】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确； 由已知，，所以， 当时，设第次构造后得到的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 则，所以B不正确； 因，则，所以， 因，则， 所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确； 因为数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有， 假设以为边长能构成一个三角形，所以， 从而，即， 即，显然不成立，所以D不正确. 故选：AC 43．已知数列满足，定义使为整数的数叫作“企盼数”，则区间内所有“企盼数”的和 . 【答案】2026 【详解】因为， 所以， 要使为正整数， 可设，即，令， 则， 则区间内所有“企盼数”的和 . 故答案为：2026. 44．已知有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，若有336项的数列，，，的“凯森和”为2022，则有337项的数列，，，，的“凯森和”为 ． 【答案】2018 【详解】  令， 则． 所以． 故答案为：. 45．若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 【答案】/0.2 【详解】依次抽取4个数构成一个数列，共有种情况， 依题意数列中仅连续三项等差，这三项可以为2，4，6（或6，4，2）； 4，6，8（或8，6，4）；6，8，10（或10，8，6）；2，6，10（或10，6，2）四类， 其中2，4，6（或6，4，2）有6种情况， 分别是8，2，4，6；10，2，4，6；2，4，6，10；6，4，2，8；6，4，2，10；10，6，4，2； 4，6，8（或8，6，4）有4种情况， 分别是10，4，6，8；4，6，8，2；8，6，4，10；2，8，6，4； 6，8，10（或10，8，6），有6种情况， 分别是2，6，8，10；6，8，10，2；6，8，10，4； 2，10，8，6；10，8，6，2；4，10，8，6； 2，6，10（或10，6，2）有8种情况， 分别为4，2，6，10；8，2，6，10；2，6，10，4；2，6，10，8； 4，10，6，2；8，10，6，2；10，6，2，4；10，6，2，8； 列举可得共有种情形. 则概率为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优04 插项数列、公共项数列、存在性问题等7种考法 题型1 插项构成等差（比）数列 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2.插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 1．在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，则 . 2．已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 3．在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.则数列的通项公式是 ． 4．已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 5．等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 6．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入6个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. (1)求数列的通项公式. (2)记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由. 题型2 混合插项 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的 7．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为（    ） A．29 B．28 C．27 D．30 8．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 9．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 10．已知正项数列的前项和为满足，在数列的每相邻两项，之间依次插入，得到数列则数列的前60项和为 . 11．已知数列的通项公式为，在项和之间插入个x，形成一个新数列，若的前2027项的和为9138，则 ． 12．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 13．已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 题型3 菲波那契数列 14．19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波纳契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 15．斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 16．数列的发展史，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波拉契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即···也即， ，若此数列被整除后的余数构成一个新的数列，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）裴波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．裴波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示裴波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）数列，，，该数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 19．斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似的得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为 . 题型4 公共项数列 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1.不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2.周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 20．设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 21．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为 ． 22．已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ； 23．已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为 ． 24．已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 25．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 题型5 存在性问题 26．记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 27．已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 28．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式及； (2)记，，当时，比较与的大小； (3)是否存在实数，使得对任意的正整数，，都有成立？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 29．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 30．已知数列，数列的前n项和为，且. (1)令，求数列的前n项和. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 31．已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数． (1)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； (2)设，为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 题型6 取整数列 32．已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 33．已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 34．设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则 ． 35．记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则 . 36．已知数列满足. (1)记，求数列的通项公式，并求的前99项和； (2)记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如． （ⅰ）求； （ⅱ）求数列的前2025项和． 37．已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 38．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 题型7 数列新定义 39．如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（    ） A．63 B．64 C．65 D．66 40．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A． B．16 C． D． 41．定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 42．（多选）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（    ） A．第三次得到的数列共9项 B． C．数列是等比数列 D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 43．已知数列满足，定义使为整数的数叫作“企盼数”，则区间内所有“企盼数”的和 . 44．已知有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，若有336项的数列，，，的“凯森和”为2022，则有337项的数列，，，，的“凯森和”为 ． 45．若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $