专题08 平移、旋转、对称的综合问题7大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题08 平移、旋转、对称的综合问题 目录 典例详解 类型一、利用平移的性质求图形 类型二、利用平移的性质求坐标 类型三、利用旋转求角度、长度 类型四、利用轴对称的性质求图形 类型五、利用轴对称求和的最值 类型六、折叠问题 类型七、利用中心对称的性质求忓图形 压轴专练 类型一、利用平移的性质求图形 【例1】如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵将沿方向平移（）得到， ∴，，， ∴阴影部分的周长为 ， 故选：． 【例2】如图，直线a与直线b垂直于点O，点A，B分别在直线a，b上，，向右平移得三角形，线段与直线b交于点F．若图中阴影的面积为，求的长度． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵直线于点O， ∴ ∵三角形向右平移得三角形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴ , ∴． 【变式1-1】将图1中周长为72的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为110的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 【答案】92 【详解】解：设1号正方形的边长为， 2号正方形的边长为， 则3号正方形的边长为， 4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图1中长方形纸片的周长为72， ， ， 如图， 图2长方形的周长为110， ， ， 由平移的性质可知，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ， 即没有覆盖的阴影部分的周长为92， 故答案为：92 【变式1-2】如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】 【详解】（1）解：平移到的位置， ∴ ， 与互余， ； （2）解：，分别平移到和的位置，且 ，， ， ， ， 即， ． 【变式1-3】如图，在两个相同的长方形、中，边、完全重合，边、在一条直线上，，，长方形不动，将长方形沿射线方向平移，速度为每秒，时间为t． (1)请分别求出和时两个长方形重叠部分的面积； (2)当为何值时，重叠部分的面积等于长方形面积的一半？ 【答案】(1)时，两个长方形重叠部分的面积为；时两个长方形重叠部分的面积为 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：如图， 当时，， ∴两个长方形重叠部分的面积为， 当时，如图， ， ∴两个长方形重叠部分的面积为， （2）解：长方形面积为 当时，在的左侧， 两个长方形重叠部分的面积为， 解得： 当时，在的右侧，有重叠部分 ∴， 两个长方形重叠部分的面积为， 解得： 综上所述，或时，重叠部分的面积等于长方形面积的一半 类型二、利用平移的性质求坐标 【例3】在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移得到线段，使点平移到点处，若，两点都在坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当在轴上时， 设点坐标为， 点，使点的对应点为点， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点， ， 此时点坐标为，即， 在轴上， 则， 解得， 此时，； 当在轴上时， 设点坐标为， 点，使点的对应点为点， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ， 此时点坐标为，即， 在轴上， 则， 解得：， 此时为，为， 综上，点坐标为或， 故选：D． 【例4】如图，第四象限内有一正方形，且，，将正方形平移，使A，C两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点C的坐标是 【答案】或 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论如下： 当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的纵坐标为0，点的横坐标为0， 在第四象限正方形中，，， ， 由点的纵坐标由到平移后为0，可知向上平移了个单位；由点的横坐标由到平移后为0，可知向左平移了个单位， 平移后点的对应点的纵坐标是， 平移后点的对应点的坐标是； 当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的横坐标为0，点的纵坐标为0， 在第四象限正方形中，，， ， 由点的横坐标可知向左平移了个单位，由点的纵坐标可知向上平移了个单位， 平移后点的对应点的横坐标是， 平移后点的对应点的坐标是； 综上所示，平移后点的对应点的坐标是或， 故答案为：或． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将线段平移得线段，若点的对应点为坐标为；点的对应点为坐标为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵线段平移得线段， 且点的对应点为坐标为；点的对应点为坐标为， ∴． 由①可得， 由②可得， 将代入中，得到． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了图形的平移和点的平移规律，解题的关键是理解图形的平移性质，并掌握平移规律，即左右平移，横坐标减加，纵坐标不变，上下平移，纵坐标加减，横坐标不变． 【变式2-2】如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    【答案】或或 【详解】解：当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：或或． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．    【答案】 【详解】解：设， ，，， ， ∵平移线段至线段， ∴， ∵，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标图形变换，熟练掌握点平移的特点，再由三角形面积公式求出三角形面积，由面积建立等量关系求解是关键． 类型三、利用旋转求角度、长度 【例5】如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项A不符合题意； B. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项B不符合题意； C. 由旋转的性质可知，，，，，由“8字模型”可得，，又，，故选项C符合题意； D. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项D不符合题意． 故选：C． 【例6】如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)求初始位置的度数． (2)若将三角板绕点A转到如图2位置，使，且，求的度数． (3)在（2）的基础上，若继续将三角板绕点A转动到图3位置，使，求与存在的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由题意知，旋转前，，，， 当时，，是钝角； 当时，，是锐角； 当时，，是钝角； 故当是钝角时，旋转角度α的取值范围是或， 故选D． 【变式3-2】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 【答案】5，45，135，175 【分析】 【详解】解：设t秒时，射线构成内半角，分情况讨论． 如图①：当 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图②：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图③：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图④：当, 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，旋转时间为5，45，135，175． 故答案是：5，45，135，175． 【变式3-3】如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度； (2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，若，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2）解：，， ． ， ． 类型四、利用轴对称的性质求图形 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：连接， 轴于点，， ，， 点关于直线的对称点恰好在上， 是线段的垂直平分线， ， ， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ． 故选：B． 【例8】如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 【变式4-1】已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图，∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图， ∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：为或. 故答案为：或 【变式4-2】圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为．则 ． 【答案】24 【详解】解：如图，作出两条直径平移后关于圆心对称的线段； 由对称性可得：，，， 中间长方形的长为，宽为， ∴长方形 长方形的面积 ； 故答案为： 【变式4-3】如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)1，3 (2)或； (3)①；②或 【分析】 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则， ∵，， ∴， ∴当时，则， ∴， 故答案为：1，3； （2）解：∵长方形中，，， ∵平分的面积，    ∴，即， 解得； ∵平分的面积，    ∴，即， 解得； ∴或； （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结， ∴最短时，即最短， 此时（垂线段最短），即点与点重合， ∴； ②∵边形的面积是长方形的面积， ∴， ∵， ∴， 当点P在上时，    ∴， 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 类型五、利用轴对称求和的最值 【例9】如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 【例10】如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【答案】C 【分析】 【详解】解∶如图作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，， ，，， ， 共线， ， ， 当共线时，且时，的值最小， 最小值， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 【变式5-1】中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【答案】A 【分析】 【详解】解：如图，作F关于的对称点，连接， 则， ∵是的角平分线， ∴在上， ∴， ∴当A、E、三点共线，且即、重合时，的值最小， ∵，，， ∴ 的最小值为4， 故选：A． 【变式5-2】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 【变式5-3】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 类型六、折叠问题 【例11】小明用长宽比为的卡纸制作三折式贺卡：左右折叠使与重合，展开后得图1所示折痕；将折痕右侧折叠使与折痕重合，得图2所示长方形；翻折至，使点分别落在线段上，得图3．若长，长方形面积恰为贺卡面积的一半，则贺卡的面积为（   ）． A．252 B．210 C．315 D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵卡纸的长宽比为， ， 由折叠的性质得：， ∵长方形面积恰为贺卡面积的一半， ， 设，则， ， 由题意得：， 解得：， ， ∴贺卡的面积， 故选：A． 【例12】如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为，则折痕对应的刻度为 ． 【答案】，，或 【详解】解：∵三段长度由短到长的比为， ∴三段长度分别为：， ①当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ②当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ③当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ④当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ⑤当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ⑥当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； 综上所述，折痕对应的刻度为，，或． 故答案为：，，或． 【变式6-1】如图，三角形中，，点D是上一点，将沿折叠，恰好使点C落在点E处，E在上．则的周长为 ． 【答案】11 【详解】解：沿折叠点C落在边上的点E处， ， ， 的周长． 故答案为：11． 【变式6-2】如图，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，若和的周长分别是24和7，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：∵沿折叠使点C落在边上的点E处， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ①， ∵的周长为7， ②， ∴①②得：，即． 故答案为：． 【变式6-3】如图在长方形纸片中，点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点，若平分，且在内部，如图设，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 类型七、利用中心对称的性质求图形 【例13】如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为 ． （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 关于点A成中心对称 【分析】 【详解】（1）如图，连接． 由轴对称的性质可知，，， ，， 三点共线，点F和点G关于点A成中心对称． 故答案为：关于点A成中心对称. （2）在中，． 由（1）知，，当最小时，最小， ∴当时，最小，此时为中边上的高． 设中边上的高为h，则，解得， 的最小值为． 故答案为： 【例14】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】(1)是中心对称，图见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 【变式7-1】如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；    （2）解：和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 【变式7-2】如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】 【详解】（1）如图，点O为所作： （2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4， ∴△DEF的周长=4+5+6=15； （3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴OA=OD，OC=OF， ∴四边形ACDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． 【变式7-3】探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 1．如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到与交于点，连接交于点．若的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】∵，的面积为， ∴， ∴， 由翻折可知：，， ，， ， ， ， 故选：B． 2．如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵将直角三角形平移2个单位得到直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积． 故答案为：． 3．如图，在中，，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论：①；②；③四边形的周长是27；④点B到直线的距离是．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵将 沿直线 向右平移3个单位得到， ∴ ，故①正确； ∴，故②正确； ∵将沿直线向右平移3个单位得到， ∴， ∵ ∴ ∴四边形 的周长，故③错误； 延长 ，交于点G，过点A作于点H，如图所示： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点B到的距离为，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 4．如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：点随着绕点M旋转得到， 点与点关于点中心对称， ，， ，， 故答案为：，． 6．将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比． (1)在图中画出点，并连出三角形； (2)三角形的面积与三角形的面积之比是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：如图，在上取一点，使，则该点即为所求，三角形即为所求； （2）解：根据图形折叠的性质可知，， ∵， ∴， 根据等高模型可得，， 根据图形折叠的性质可知，， ∴， ∴． 7．以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则　　； (2)如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分，则　　； ②若在内部，请直接写出与的数量关系为 　　； (3)将直角三角板绕点O顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 【答案】(1) (2)①，② (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：当在内部，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当在的外部，∵， ， ∴， ∴ ∴， 综上所述，的度数为或． 8．（1）观察与发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②），小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：将长方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图④）；再展平纸片（如图⑤），求图⑤中的大小． 【答案】（1）同意，见解析；（2） 【分析】 【详解】解：（1）同意； 理由如下：连接、，如图， 由第一次折叠可知：为的平分线， ， 由第二次折叠可知：，，， ， ， ∵ ∴≌， ， 是等腰三角形； （2）由折叠知，四边形是正方形，， ． 又由折叠知，， 又， ． 9．已知，，、、分别是内的射线． (1)如图1，若平分，平分，当绕点O在内旋转时，求的大小； (2)如图2，是内的一条射线，，平分，平分．当绕点O在内旋转时，求的大小； (3)在（2）的条件下，，当在内部绕O点以每秒的速度逆时针旋转秒，如图3，若，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：，平分，平分， ∴，， 即 ． （2）∵平分，平分， ∴，， 即 ． （3）∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 解得：． 答：t的值为． 10．【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 【答案】(1)75 (2) (3)平行：105度或285度；垂直：15度或195度 【分析】 【详解】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75； （2）由旋转的性质得， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在点O的右侧时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在点O的左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线平行． 当在点O的上侧时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，以及四边形内角和，分类讨论是解（3）的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平移、旋转、对称的综合问题 目录 典例详解 类型一、利用平移的性质求图形 类型二、利用平移的性质求坐标 类型三、利用旋转求角度、长度 类型四、利用轴对称的性质求图形 类型五、利用轴对称求和的最值 类型六、折叠问题 类型七、利用中心对称的性质求忓图形 压轴专练 类型一、利用平移的性质求图形 【例1】如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【例2】如图，直线a与直线b垂直于点O，点A，B分别在直线a，b上，，向右平移得三角形，线段与直线b交于点F．若图中阴影的面积为，求的长度． 【变式1-1】将图1中周长为72的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为110的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 【变式1-2】如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【变式1-3】如图，在两个相同的长方形、中，边、完全重合，边、在一条直线上，，，长方形不动，将长方形沿射线方向平移，速度为每秒，时间为t． (1)请分别求出和时两个长方形重叠部分的面积； (2)当为何值时，重叠部分的面积等于长方形面积的一半？ 类型二、利用平移的性质求坐标 【例3】在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移得到线段，使点平移到点处，若，两点都在坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【例4】如图，第四象限内有一正方形，且，，将正方形平移，使A，C两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点C的坐标是 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将线段平移得线段，若点的对应点为坐标为；点的对应点为坐标为，则 ． 【变式2-2】如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．    类型三、利用旋转求角度、长度 【例5】如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)求初始位置的度数． (2)若将三角板绕点A转到如图2位置，使，且，求的度数． (3)在（2）的基础上，若继续将三角板绕点A转动到图3位置，使，求与存在的等量关系． 【变式3-1】如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-2】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 【变式3-3】如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度； (2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，若，求的度数； 类型四、利用轴对称的性质求图形 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【变式4-1】已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则 ． 【变式4-2】圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为．则 ． 【变式4-3】如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 类型五、利用轴对称求和的最值 【例9】如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例10】如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【变式5-1】中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【变式5-2】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【变式5-3】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 类型六、折叠问题 【例11】小明用长宽比为的卡纸制作三折式贺卡：左右折叠使与重合，展开后得图1所示折痕；将折痕右侧折叠使与折痕重合，得图2所示长方形；翻折至，使点分别落在线段上，得图3．若长，长方形面积恰为贺卡面积的一半，则贺卡的面积为（   ）． A．252 B．210 C．315 D． 【例12】如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为，则折痕对应的刻度为 ． 【变式6-1】如图，三角形中，，点D是上一点，将沿折叠，恰好使点C落在点E处，E在上．则的周长为 ． 【变式6-2】如图，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，若和的周长分别是24和7，则的长是 ． 【变式6-3】如图在长方形纸片中，点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点，若平分，且在内部，如图设，则的度数为 （用含的代数式表示）． 类型七、利用中心对称的性质求图形 【例13】如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为 ． （2）若，则的最小值为 ． 【例14】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【变式7-1】如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 【变式7-2】如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式7-3】探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 1．如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到与交于点，连接交于点．若的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是 ． 3．如图，在中，，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论：①；②；③四边形的周长是27；④点B到直线的距离是．其中正确的是 ． 4．如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 6．将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比． (1)在图中画出点，并连出三角形； (2)三角形的面积与三角形的面积之比是多少？ 7．以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则　　； (2)如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分，则　　； ②若在内部，请直接写出与的数量关系为 　　； (3)将直角三角板绕点O顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 8．（1）观察与发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②），小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：将长方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图④）；再展平纸片（如图⑤），求图⑤中的大小． 9．已知，，、、分别是内的射线． (1)如图1，若平分，平分，当绕点O在内旋转时，求的大小； (2)如图2，是内的一条射线，，平分，平分．当绕点O在内旋转时，求的大小； (3)在（2）的条件下，，当在内部绕O点以每秒的速度逆时针旋转秒，如图3，若，求此时的值． 10．【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $