全书要点速记-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件涵盖计数原理、随机变量及其分布、成对数据的统计分析等核心内容。课堂导入从实际问题出发，通过两个计数原理衔接排列组合与二项式定理，再过渡到随机变量的分布列、数字特征及常见分布，最后延伸至经验回归与独立性检验，构建连贯的学习支架。 其亮点在于采用表格对比（如排列与组合的概念差异、各分布的均值方差）、公式推导（二项式定理通项、回归方程系数）和实例分析（正态分布3σ原则），结合数学眼光抽象知识本质，数学思维发展逻辑推理，数学语言精准表达关系。学生能系统构建知识体系，提升运算与推理能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

全书要点速记 第六章　计数原理 要点1　两个计数原理 分类加法 计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 分步乘法 计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 全书要点速记 要点2　排列与组合   排列 组合 概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 第八章 第七章 第六章 全书要点速记   排列数 组合数 符号 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝，其中n!＝＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1 ＝ 第八章 第七章 第六章 全书要点速记   排列数 组合数 性质 性质1： 性质2： 性质1： 性质2： 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 要点3　二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an-1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn，n∈N*，这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它共有(n＋1)项 通项公式 展开式中的第k＋1项Tk＋1＝an－kbk 二项式系数 各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 二项式系数的性质 (1)对称性：＝； (2)增减性：当k<时，随k的增加而增大；当k>时，随k的增加而减小； (3)最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值； (4)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 第七章　随机变量及其分布 要点1　条件概率与全概率公式 条件概率的计算公式 P(B|A)＝ 乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A) 全书要点速记 全概率 公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 要点2　离散型随机变量的分布列及其数字特征 定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 分布列的另外两种表示方法如下.   X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 均值 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xn pn＝xi pi 方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi， 方差公式的变形：D(X)＝E(X2)－(E(X))2 线性关系 下的均值 与方差 若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X) 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 要点3　常见分布 1．两点分布 X 0 1 P 1－p p 定义 若随机变量X的分布列如下表所示：   则称随机变量X服从两点分布或0—1分布 均值 E(X)＝p 方差 D(X)＝p(1－p) 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 2．二项分布 定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布 记法 X～B(n，p) 均值 E(X)＝np 方差 D(X)＝np(1－p) 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 3．超几何分布 定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 分布列 如果X服从参数为N，n，M的超几何分布，且n－N＋M≤0，则X能取所有不大于r的自然数，此时X的分布列如下表所示．   均值 E(X)＝ X 0 1 … k … r P … … 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 4．正态分布 正态 曲线 f (x)＝，x∈R(其中μ∈R，σ>0为参数)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线 图示   第八章 第七章 第六章 全书要点速记 特点 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值 (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (4)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (5)曲线与x轴之间的区域的面积为1 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布 记法 X~N(μ，σ2) 均值 E(X)＝μ 方差 D(X)＝σ2 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 四个概率值 如果X~N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5； P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 3σ原则 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 第八章　成对数据的统计分析 经验回 归方程 经验回归方程＝x＋中的 ， ＝－. 其中，xi，yi 全书要点速记 经验回 归方程 的性质 (1)经验回归直线一定过点()； (2)y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0； (3)当x增大一个单位时，个单位，这就是回归系数的实际意义 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 样本相 关系数 公式 r＝， 统计学中一般用样本相关系数r来衡量y与x的线性相关性的强弱 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 要点2　独立性检验 2×2 列联表   X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 χ2 统计量 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 独立性 检验的 步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，利用公式计算χ2的值； (3)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值xα； (4)当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 第八章 第七章 第六章 全书要点速记 $