8.3.2 独立性检验-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“独立性检验”，通过问题链导入（如独立性检验与反证法的联系），衔接2×2列联表与零假设H₀，逐步推导χ²公式及临界值判断标准，构建从具体案例到抽象方法的学习支架。 其亮点在于结合亚冬会关注情况、疫苗预防效果等真实情境案例，培养数据分析素养，通过“探究-典例-反思”三步教学法强化逻辑推理。分层作业设计满足不同学生需求，课堂小结的知识链与警示牌帮助学生系统梳理，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

8.3　列联表与独立性检验 8.3.2　独立性检验 第八章　成对数据的统计分析 [学习目标]　1．了解随机变量χ2的意义．(数学抽象) 2．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．(数据分析) 8.3.2　独立性检验 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．什么叫独立性检验？ 问题2．独立性检验与反证法的思想类似，那么独立性检验是反证法吗？ 问题3．究竟χ2大到什么程度，可以推断H0不成立呢？或者说，怎样确定判断χ2大小的标准呢？ 8.3.2　独立性检验 探究建构 关键能力达成 探究1　独立性检验的理解 问题1　在如图所示的2×2列联表中： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (1)如何假设事件{X＝1}和{Y＝1}之间的关系？ (2)假设分类变量X与Y相互独立，则{X＝0}与{Y＝0}、{X＝0}与{Y＝1}、{X＝1}与{Y＝0}、{X＝1}与{Y＝1}有什么关系？你能得到什么结论？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [提示]　(1)假设H0表示{X＝1}和{Y＝1}无关(独立)(通常称H0为零假设)． (2)相互独立． ≈0；≈0；≈0；≈0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 问题2　有人说：“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的．”你认为这种观点正确吗？为什么？ [提示]　观点不正确．犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关的程度，不是患肺癌的百分数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [新知生成] (1)独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“______________”，简称__________． (2)独立性检验的公式 χ2＝，其中n＝________，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立． 卡方独立性检验 独立性检验 a+b+c+d 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (3)临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使P(χ2≥xα)＝α．称xα为α的临界值．临界值可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (4)χ2独立性检验中五个常用的小概率值和相应的临界值． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 【教用·微提醒】　(1)χ2越小，独立性越强，相关性越弱；χ2越大，独立性越弱，相关性越强． (2)对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则： ①当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； ②当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [典例讲评]　1.2025年在哈尔滨举行了第九届亚洲冬季运动会(简称“亚冬会”)，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表： 单位：人 性别 冰雪运动 合计 关注 不关注 男 45 10 55 女 25 20 45 合计 70 30 100 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 则下列说法正确的是(　　) 参考公式：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d． 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 √ A．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关” B．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关” 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 A　[依题意，χ2＝≈8.129>6.635＝x0.01， 所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B不正确； 而8.129<10.828＝x0.001，没有充分的证据认为“关注冰雪运动与性别无关”不成立，C，D不正确．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 反思领悟　根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 √ [学以致用]　1．(1)(多选)某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P(χ2 ≥2.706)≈0.1，P(≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是(　　) A．因为χ2>2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” B．因为χ2<3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” C．因为χ2>2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” D．因为χ2<3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (2)(多选)某研究所为了检验新开发疫苗的预防作用，对1 000名注射了该疫苗的人与另外1 000名未注射该疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法不正确的是(　　) A．这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1% B．若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病 C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (1)AD　(2)AB　[(1)因为χ2＝3.305，且3.305>2.706，由临界值表知，P(χ2≥2.706)≈0.1，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，故A正确，C不正确；因为临界值3.841>3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，故B不正确，D正确． (2)由P(χ2≥6.635)≈0.01可知，C，D正确，A，B都不正确．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 探究2　分类变量“相关的检验” [典例讲评]　【链接教材P133例4】 2．为了了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表． 单位：名 肥胖 碳酸饮料 合计 常喝 不常喝 肥胖者   2   不肥胖者   18   合计     30 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 已知从这30名学生中随机抽取1人，抽到肥胖学生的概率为． (1)请将上面的列联表补充完整； (2)依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [解]　(1)因为从这30名学生中随机抽取1人，抽到肥胖学生的概率为，所以这30名学生中，肥胖学生的人数为30×＝8，完善2×2列联表如表所示． 单位：名 肥胖 碳酸饮料 合计 常喝 不常喝 肥胖者 6 2 8 不肥胖者 4 18 22 合计 10 20 30 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (2)零假设为H0：肥胖与常喝碳酸饮料无关， 由公式得χ2＝≈8.523>7.879＝x0.005， 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为肥胖与常喝碳酸饮料有关，此推断犯错误的概率不大于0.005． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 【教材原题·P133例4】 例4　为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9 965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表8.3－6所示．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 表8.3－6　　　　　　　　　　　单位：人 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7 775 42 7 817 吸烟者 2 099 49 2 148 合计 9 874 91 9 965 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [解]　零假设为 H0：吸烟与患肺癌之间无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝≈56.632>10.828＝x0.001． 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 根据表8.3－6中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为≈0.994 6和≈0.005 4； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为 ≈0.977 2和≈0.022 8． 由≈4.2 可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上．于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 反思领悟　用χ2进行“相关的检验”的步骤 (1)零假设：即先假设两变量间没关系． (2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值． (3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα． (4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [学以致用]　2．(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 单位：人 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2＝， α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [解]　(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p＝＝0.9． (2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关． χ2＝＝765.625>10.828， 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 探究3　分类变量“无关的检验” [典例讲评]　【链接教材P132例3】 3．某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系． 附：χ2＝． α 0.025 0.01 0.005 xα 5.024 6.635 7.879 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [解]　(1)2×2列联表如表所示： 单位：人 教师年龄 对新课程教学模式的态度 合计 赞同 不赞同 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关． 由题可知，χ2＝≈4.963<6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 【教材原题·P132例3】 例3　某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名； 抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [解]　零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如表8.3­5所示． 表8.3­5 单位：人 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝≈4.881<7.879＝x0.005． 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 反思领悟　独立性检验的关注点 (1)χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心． (2)判断时把计算结果与临界值比较，其值越大，有关的可信度越高． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 [学以致用]　3．(多选)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得χ2为5.003，又已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是(　　) A．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“X和Y有关系” B．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“X和Y没有关系” C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“X和Y有关系” D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“X和Y没有关系” √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 AD　[因为3.841<χ2＝5.003<6.635， 又P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥6.635)≈0.01， 所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“X和Y有关系”，依据小概率值α＝0.01的独立性检验认为“X和Y没有关系”．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 应用迁移 随堂评估自测 1．对两个分类变量A，B，下列说法中正确的个数为(　　) ①A与B无关，即A与B互不影响； ②A与B关系越密切，则χ2的值就越大； ③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据． A．0　　　 B．1　　 C．2　　　 D．3 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 B　[①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助等高堆积条形图等．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 2．(教材P134练习T4改编)某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 单位：人 性别 作业量 合计 大 不大 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合计 26 24 50 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”这种推断犯错误的概率不超过(　　) A．0.01 　 B．0.005 C．0.05 　 D．0.001 √ C　[由公式得，χ2＝≈5.059>3.841＝x0.05． ∴犯错误的概率不超过0.05．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 √ 3．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.95，根据这一数据分析，下列说法正确的是(附：P(χ2≥3.841)≈0.05)(　　) A．有95%的人认为该电视栏目优秀 B．有95%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 D　[只有χ2≥3.841时才能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系， 而即使χ2≥3.841也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有95%的人无关．故A，B不正确． 由于χ2≈0.95<3.841，故C错误，D正确． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 4．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否了解所学专业的调查表： 单位：人 性别 是否了解所学专业 合计 了解所学专业 不了解所学专业 男生 63 117 180 女生 42 82 124 合计 105 199 304 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 根据表中数据及α＝0.1的独立性检验，则下列说法正确的是________．(填序号) ①性别与了解所学专业有关； ②性别与了解所学专业无关； ③女生比男生更了解所学专业． ②　[ 的独立性检验，所以性别与了解所学专业无关．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 1．知识链：   2．方法链：数形结合． 3．警示牌：对χ2的计算出现错误，对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005，哪种说法是正确的？ [提示]　两种说法均正确．P(χ2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥7.879)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 2．利用小概率值α独立性检验的依据是什么？ [提示]　如果χ2≥xα，我们推断H0不成立，即认为两个分类变量不独立，且该推断犯错误的概率不超过α；如果χ2＜xα，就认为两个分类变量独立． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(二十四)　独立性检验 √ 一、选择题 1．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.122．已知P(χ2≥3.841)≈0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，则(　　) A．x与y不独立 B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．x与y独立 D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 52 C　[因为χ2＝3.122<3.841， P(χ2≥3.841)≈0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验知，x与y独立，C正确． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由公式χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)计算出χ2的值，并由此得出结论：根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，则χ2可以为(　　) A．3.565　B．4.204 C．5.233 　D．6.842 α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝9 965)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺癌是否与吸烟有关．计算得χ2＝56.632，经查对临界值表知P(χ2≥6.635)≈0.01，现给出四个结论，其中正确的是 (　　) A．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”　 B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌　 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌　 D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟有关” 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由于χ2＝56.632，P(χ2≥6.635)≈0.01， 则根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟有关”，选项D正确，其余都是错误的． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 56 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．某医疗研究机构为了解打鼾与患心脏病的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2≈6.803，则所得到的统计学结论是认为打鼾与患心脏病有关系，该推断犯错误的概率不超过(　　) A．5% 　 B．1% C．0.1% 　 D．0.5% P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为χ2≈6.803＞6.635＝x0.01． 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不超过1%． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．某校团委对“学生性别和喜欢某视频APP是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频APP的人数占男生人数的，女生喜欢该视频APP的人数占女生人数的，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为喜欢该视频APP和性别有关，则男生至少有(　　) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A．12人 　 B．6人 C．10人 　 D．18人 α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 60 A　[设被调查的男生人数为x，则被调查的女生人数为， 则2×2列联表为： 单位：人 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 性别 对某视频APP的态度 合计 喜欢 不喜欢 男生 x 女生 合计 x 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 根据小概率值α＝0.05的独立性检验， 认为喜欢某视频APP和性别有关，则χ2≥3.841， 即χ2＝＝≥3.841＝x0.05， 则x≥≈10.243，又均为整数， 所以男生至少有12人．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．如果由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073，那么在犯错误的概率不大于________的前提下认为两变量有关系，已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025． 0.05　[∵由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073>3.841＝x0.05，∴在犯错误的概率不大于0.05的前提下认为这两个变量有关系．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．根据下面的列联表得到如下四个判断： 单位：人 肝病 是否嗜酒 合计 嗜酒 不嗜酒 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 合计 900 92 992 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 下列说法中正确的是________．(填序号) ①根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“患肝病与嗜酒有关”； ②根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“患肝病与嗜酒有关”； ③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”； ④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 65 ②③　[由列联表中数据可求得χ2＝≈7.349>6.635＝x0.01，且7.349＜10.828，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“患肝病与嗜酒有关系”．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 单位：人 患者 是否有效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则统计量χ2≈________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________． 4.882　5%　[由公式计算得统计量χ2＝≈4.882， ∵χ2>3.841＝x0.05， ∴根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性判断出错．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 68 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据： 单位：人 年级段 是否经常做家务 合计 经常做家务 不经常做家务 高中学生 50     初中学生   100   合计 150     课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 69 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)请将列联表中的数据补充完善； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为学生经常做家务与年级段有关？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 70 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)根据题意，补充列联表如下： 单位：人 年级段 是否经常做家务 合计 经常做家务 不经常做家务 高中学生 50 150 200 初中学生 100 100 200 合计 150 250 400 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 71 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)零假设为H0：学生经常做家务与年级段无关联． 由(1)可知，χ2＝＝≈26.667＞10.828＝x0.001， 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为学生经常做家务与年级段有关联． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，男生中喜欢攀岩的占80%，女生中不喜欢攀岩的占70%，则(　　) 参考公式：χ2＝． A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C．若参与调查的男、女生人数均为100，则依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为喜欢攀岩和性别有关联 D．从样本估计总体的角度看，参与调查的男、女生人数越多，得出“喜欢攀岩与性别有关联”这一结论的可信度越高 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 73 ACD　[由题意设参加调查的男、女生人数均为m，则得到如下2×2列联表： 单位：人 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 性别 攀岩 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.8m 0.2m m 女生 0.3m 0.7m m 合计 1.1m 0.9m 2m 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故A正确，B错误； 由列联表中的数据，计算得到 χ2＝＝， 当m＝100时， χ2＝＝≈50.505>10.828＝x0.001， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为喜欢攀岩和性别有关联，故C正确；根据公式，m越大，χ2也越大，所以得出“喜欢攀岩与性别有关联”这一结论的可信度越高，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 77 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 78 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则下列说法正确的有(　　) A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高 B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高 C．甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多 D．对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 79 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ACD　[对于A，甲校的数学抽测成绩优秀率为，乙校的数学抽测成绩优秀率为， 所以甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高，故A正确； 对于B，样本数据不能直接推断总体情况，不能说甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高，故B错误； 对于C，甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多，故C正确； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 80 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 对于D，零假设为H0：两校的数学成绩优秀率几乎没有差异， χ2＝≈0.837＜2.706＝x0.1， 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此H0成立，即可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异，故D正确． 故选ACD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 81 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方法随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果整理得到如下等高堆积条形图和列联表，则(　　) 单位：人 性别 数学兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 女生 a b a＋b 男生 c d c＋d 合计 a＋c b＋d 100 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 82 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 83 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A．表中a＝12，c＝30 B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多 C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异 D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 84 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ACD　[由题意知，抽样比为＝，所以女生抽取400×＝40人，男生抽取600×＝60人，根据等高堆积条形图可知，列联表如下： 单位：人 性别 数学兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 女生 12 28 40 男生 30 30 60 合计 42 58 100 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 85 结合列联表可知，a＝12，c＝30，故A正确； 对数学不感兴趣的女生人数(28人)比男生人数(30人)少，故B错误； 由题意知，χ2＝≈3.941＞3.841＝x0.05， 所以根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故C正确； 由题意知，χ2＝≈3.941＜6.635＝x0.01， 所以根据小概率值α＝0.01 的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(2024·上海卷改编)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29 000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 学业成绩 日均体育锻炼时长 [0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) [2，2.5) 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 87 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 在犯错误的概率不超过________的前提下认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥3.841) ≈0.05． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 88 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0.05　[对数据重新组合，得到列联表如下： 单位：人 学业成绩 时间范围 合计 [1，2) 其他 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 89 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则χ2＝≈3.976>3.841＝x0.05． 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 90 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 91 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值； (3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ 附：χ2＝． α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 92 [解]　(1)由表格信息可知，s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150． (2)由表格信息可知，未服用药物A的动物共计180只，其中患疾病B的有80只， 所以p＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (3)补全2×2列联表如下： 单位：只 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 零假设为H0：药物A对预防疾病B无效． 则χ2＝≈6.734＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效，此推断犯错误的概率不超过0.01． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 96 (1)根据频率分布直方图，填写下面的2×2列联表； 单位：箱 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 养殖法 箱产量 合计 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法       新养殖法       合计       课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (2)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．P(χ2≥6.635)＝0.01． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由频率分布直方图，知旧养殖法箱产量低于50 kg的箱数为5×(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×100＝0.62×100＝62， 不低于50 kg的箱数为100－62＝38； 新养殖法箱产量低于50 kg的箱数为(0.004＋0.020＋0.044)×5×100＝34，不低于50 kg的箱数为100－34＝66． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 由此可得列联表如下． 单位：箱 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 养殖法 箱产量 合计 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 合计 96 104 200 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 (2)零假设为H0：箱产量与养殖方法无关． 结合(1)中列联表得 χ2＝≈15.705>6.635＝x0.01， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 8.3.2　独立性检验 $