8.2.1 8.2.2 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型的概念、参数的最小二乘估计及预测应用，课堂导入通过“问题初探”提问预习情况，从散点图判断变量相关性切入，衔接成对数据统计分析前期知识，构建“观察相关性-建立模型-估计参数-实际预测”的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象、数据分析与数学运算素养，通过蔬菜基地产量与肥料使用量的散点图分析、树高与胸径的回归方程建立等实例，引导学生经历“直观感知-抽象建模-数据计算-应用预测”过程。采用问题链驱动探究，结合分层练习（基础合练与能力过关练），小结通过知识链、方法链和警示牌强化理解。学生能提升数据分析和运算能力，教师可借助结构化案例与练习提高教学效率。

8.2　一元线性回归模型及其应用 8.2.1　一元线性回归模型　 8.2.2　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 第1课时　一元线性回归模型及参数的 最小二乘估计 第八章　成对数据的统计分析 [学习目标]　1．了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．(数学抽象) 2．了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．(数学抽象) 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．(数据分析、数学运算) 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．什么是一元线性回归模型？ 问题2．如何求经验回归方程？ 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 探究建构 关键能力达成 探究1　一元线性回归模型 问题1　根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位：千克)之间的对应数据的散点图如图所示．思考并回答下列问题： (1)依据数据的散点图，推断西红柿亩产量的增加量y与液 体肥料每亩使用量x之间有没有关系？ (2)y与x的相关程度如何？两变量之间的关系能用函数模型刻画吗？ (3)应该用什么模型来刻画y与x之间的关系？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [提示]　(1)正线性相关． (2)线性相关程度很强．不能，增加量y除了与液体肥料使用量x有关外，还与阳光、温度等有关系，y与x之间不是函数关系． (3)从散点图看，散点大致分布在一条直线附近，可以用一元线性回归模型来刻画． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [新知生成] 一元线性回归模型：我们称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为______或________，x称为______或________；a和b为模型的未知参数，a称为____参数，b称为____参数；__是Y与bx＋a之间的随机误差． 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距　 斜率　 　e 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 √ [学以致用]　1．若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，那么年支出预计不会超过(　　) A．9亿元　　　　　 B．9.5亿元 C．10亿元 　 D．10.5亿元 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 D　[因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3， 所以y＝0.7x＋3＋e． 当x＝10时，y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e， 又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5， 所以9.5≤y≤10.5， 所以年支出预计不会超过10.5亿元．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 2．判断下列变量间的关系哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ (1)某公司的销售收入和广告支出； (2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金； (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)； (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； (7)正方形的面积与周长． [解]　(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 探究2　最小二乘法和经验回归方程 问题2　(1)如果变量x与y线性相关，那么x与y的关系可以近似地用哪个函数来刻画？ (2)一次函数的解析式是什么？要求一次函数的方程，需要求出哪些参数？ (3)在一元线性回归模型中，表达式Y＝bx＋a＋e刻画了变量Y与x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，确定参数a和b的原则是什么？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [提示]　(1)一次函数． (2)y＝kx＋b(k≠0)，要求其方程，需要求出k和b的值． (3)使表示成对样本数据的这些散点在整体上与一条适当的直线尽可能地接近． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [新知生成] (1)有关概念 我们将＝x＋称为Y关于x的_____________，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做__________，求得的，叫做b，a的____________． (2)计算公式 ＝，＝． 经验回归方程　 最小二乘法 最小二乘估计 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 【教用·微提醒】　(1)经验回归直线过点； (2)经验回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预测结果的偏差． (3)经验回归方程＝x＋中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为个单位，而表示y不随x的变化而变化的部分． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [典例讲评]　【链接教材P113例题】 1．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如表所示． 年份x 2020 2021 2022 2023 2024 储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 019，z＝y－5，得到下表． (1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程． t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [解]　(1)作散点图，直观看z与t具有线性相关关系． 根据z关于t的表格数据，得＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ＝(0＋1＋2＋3＋5)＝2.2， 且tizi＝45，＝55， ∴＝＝＝1.2， ＝＝2.2－1.2×3＝－1.4． 所以z关于t的经验回归方程为＝1.2t－1.4． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 (2)＝1.2t－1.4，代入t＝x－2 019，z＝y－5， 得－5＝1.2(x－2 019)－1.4， 即＝1.2x－2 419.2． 故y关于x的经验回归方程为＝1.2x－2 419.2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 【教材原题·P113例题】 例　经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据(表8.2－3)，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 表8.2－3 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [分析]　因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标画出散点，进而得到散点图，再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关．如果是，再利用公式(2)计算出，即可． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [解]　以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到图8.2－9． 在图8.2－9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 用d表示胸径，h表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为＝0.249 3d＋14.84， 相应的经验回归直线如图8.2－10所示． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 反思领悟　求经验回归方程的基本步骤 (1)画出散点图，从直观上分析变量间是否存在线性相关关系． (2)计算xi yi． (3)代入公式求出＝x＋中参数，的值． (4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计． 提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [学以致用]　3．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： (1)画出散点图，并判断y与x之间是否具有线性相关关系； (2)求y关于x的经验回归方程． 广告费支出x/百万元 2 4 5 6 8 销售额y/百万元 30 40 60 50 70 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [解]　(1)散点图如图所示． 散点大致分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 (2)经计算得，＝50，＝145，xiyi＝1 380，则 ＝＝＝6.5， ＝＝50－6.5×5＝17.5． 于是所求的经验回归方程是＝6.5x＋17.5． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 探究3　利用经验回归方程进行预测 [典例讲评]　2．(源自湘教版教材)一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了10次试验，测得的数据如表所示： 零件 个数x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工 时间 y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 (1)y与x之间是否线性相关？ (2)如果y与x之间线性相关，求y关于x的经验回归方程； (3)据此估计加工110个零件所用的时间． [解]　(1)＝＝55， ＝＝91.7． ＝38 500，＝87 777，xi yi＝55 950． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 于是r＝＝ ≈0.999 8， 因此y与x之间具有显著的正相关关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 (2)设所求的经验回归方程为＝x＋， 则＝＝≈0.668， ＝＝91.7－0.668×55＝54.96， 即所求的经验回归方程为＝0.668x＋54.96． (3)当x＝110时，y的估计值＝0.668×110＋54.96＝128.44(min)． 因此，估计加工110个零件所用的时间为128.44 min． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 反思领悟　(1)判断两个变量是否线性相关，可以利用经验，也可以画散点图，还可以计算样本相关系数． (2)求经验回归方程，要注意运算的正确性． (3)根据经验回归方程进行预测估计，预测值不是观测值，两者会有一定的误差． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [学以致用]　4．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到如表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程； (3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． 参考公式：＝，＝－． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [解]　(1)散点图如图所示． (2)＝＝9， ＝＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344， xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 ＝＝＝0.7， ＝＝4－0.7×9＝－2.3， 故经验回归方程为＝0.7x－2.3． (3)由(2)中经验回归方程可知， 当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4， 即预测记忆力为9的同学的判断力为4． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 应用迁移 随堂评估自测 1．已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)，经验回归方程为＝－2x＋，若xi＝40，yi＝－64，则＝(　　) A．－2　　　 B．2 C．－4　　　 D．4 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 B　[若xi＝40，yi＝－64，则＝－8， 代入经验回归方程＝－2x＋， 得(－2)×5＋＝－8，解得＝2．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 2．下列说法正确的是(　　) A．两个具有线性相关关系的变量的相关程度越强，样本相关系数r的值越接近于1 B．经验回归方程为＝0.3－0.7x时，变量x和y负相关 C．在经验回归方程＝0.4＋0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位 D．由样本数据得到的经验回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 B　[对于A，两个具有线性相关关系的变量的相关程度越强，样本相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，因为斜率小于0，所以变量x和y负相关，故B正确； 对于C，在经验回归方程＝0.4＋0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y约增加0.5个单位，故C错误； 对于D，由样本数据得到的经验回归直线＝x＋必过点，不一定经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的点，故D错误． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 3．(教材P113练习T2改编)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　) A．y与x正线性相关 B．经验回归直线过点 C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 D　[当x＝170 cm时，＝0.85×170－85.71＝58.79(kg)，故体重的估计值为58.79 kg．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 4．由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)可得y关于x的经验回归方程为＝1.5x＋1，若＝7，则xi＝________． 32　[因为经验回归直线＝1.5x＋1过点， 所以7＝1.5＝4， 所以xi＝8＝32．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 1．知识链：   2．方法链：数形结合、转化化归． 3．警示牌：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．经验回归直线一定过哪个点？ [提示]　经验回归直线一定过点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 2．在经验回归方程＝x＋中，y与x正、负相关的充要条件各是什么？ [提示]　y与x正相关的充要条件是＞0，y与x负相关的充要条件是＜0． 3．的实际意义是什么？ [提示]　当x增加一个单位时，的平均变化量为个单位． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 “回归”一词的由来 统计学中的“回归”一词，是统计学家高尔顿引入的．早在19世纪80年代，高尔顿就开始了亲代与子代(即父母亲与子女)之间相似特征(身高、性格等)的研究．他收集了一些亲代的身高x与子代的身高y的成对数据，并作出了散点图，发现y与x的关系可以借助一次函数来近似表示，而且总体上亲代的身高增加时，子代的身高也增加． 阅读材料 拓展数学视野 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 但是，高尔顿在研究过程中，发现了一个有趣的现象．他收集的数据显示，总体上亲代的平均身高为68英寸(约为172.72 cm)，子代的平均身高为69英寸，子代的平均身高比亲代的平均身高大1英寸(约为2.54 cm)．于是，一个自然的推想是：平均身高为63英寸的亲代，其子代的平均身高应约为64英寸；平均身高为72英寸的亲代，其子代的平均身高应约为73英寸．但实际数据显示：平均身高为63英寸的亲代，其子代的平均身高为67英寸，增加量为4英寸；平均身高为72英寸的亲代，其子代的平均身高为71英寸，增加量为－1英寸．也就是说，平均身高不同的亲代，其子代的平均身高增加量并不相等，但子代的平均身高有回归于中心(即总体平均值)的趋势． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 正是由于这种现象的存在，高尔顿引入了“回归”一词．虽然不是所有相关关系中都会发生类似的现象，但从那以后，“回归”就成了相关关系讨论中一个约定俗成的词了． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(二十一)　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 √ 一、选择题 1．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r，y关于x的经验回归直线的斜率是，纵轴上的截距是，那么必有(　　) A．与r的符号相同 B．与r的符号相同 C．与r的符号相反 D．与r的符号相反 48 A　[因为>0时，两变量正相关，此时r>0；<0时，两变量负相关，此时r<0，故与r的符号相同．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．一组样本数据：(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)，(m，y5)，由最小二乘法求得经验回归方程为＝5x－7，若y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝45，则实数m的值为(　　) A．5　　　 B．6　　 C．7　　　 D．8 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[∵＝×(y1＋y2＋y3＋y4＋y5)＝×45＝9， ＝×(1＋2＋3＋4＋m)＝2＋m， 又经验回归方程为＝5x－7， ∴9＝5×－7，解得m＝6． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．根据如下成对样本数据得到的经验回归方程为＝x＋，则(　　) A．>0，>0 　 B．>0，<0 C．<0，>0 　 D．<0，<0 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[画出散点图，知>0，<0．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 53 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．经过对中学生的记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据： 由表中数据，求得经验回归方程为＝x＋，若小明同学的记忆能力为15，则可预测其识图能力为(　　) A．8　　　B．9.6 C．11.2　　　D．11.9 记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y 3 5 6 8 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由表中数据可得，＝×(4＋6＋8＋10)＝7，＝×(3＋5＋6＋8)＝5.5， 又因为＝x＋过点，即(7，5.5)， 所以5.5＝×7＋，解得＝－0.1，故＝x－0.1， 当x＝15时，＝×15－0.1＝11.9， 即小明同学的记忆能力为15，则可预测其识图能力为11.9．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)以下是某届世界杯比赛最终结果的相关数据，记前6名球队中，每个队的胜场数为变量x，积分为变量y． 排名 1 2 3 4 5 6 胜场数x 11 10 8 7 6 6 积分y 32 28 23 21 19 18 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 若y与x之间具有线性相关关系，根据表中数据可求得y关于x的经验回归方程为＝2.59x＋，则下列说法正确的有(　　) A．的值为2.78 B．的值为2.14 C．若某队在此次比赛中获胜的场数是4，根据经验回归方程可得其积分约为13分 D．由经验回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加2.59分 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 57 ACD　[由题意知，＝， 代入经验回归方程＝2.59x＋，解得＝2.78， 故A正确，B错误； 将x＝4代入经验回归方程＝2.59x＋2.78， 得＝13.14≈13，故C正确； 经验回归方程中x的系数是2.59，故D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．若根据5名儿童的年龄x(单位：岁)和体重y(单位：kg)的数据用最小二乘法得到用年龄预测体重的经验回归方程是＝2x＋8，已知这5名儿童的年龄分别是3岁、5岁、2岁、6岁、4岁，则这5名儿童的平均体重是________kg． 16　[由题意知，＝＝4(岁)，由于经验回归直线过点＋8＝2×4＋8＝16(kg)，则这5名儿童的平均体重是16 kg．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．根据下表样本数据得到的经验回归方程＝x＋中的＝－1.4，根据此方程预测当x＝10时，y的取值为________． x 3 4 5 6 7 8 9 y 4.0 2.5 0.5 －1.0 －2.0 －3.0 －4.5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －6.1　[由表中数据可得，＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6， ＝×(4＋2.5＋0.5－1－2－3－4.5)＝－0.5， ∵＝x＋中的＝－1.4，∴＝－0.5＋1.4×6＝7.9， ∴＝－1.4x＋7.9， 当x＝10时，＝－6.1．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为＝0.83x＋，则＝__________． 0.94　[因为＝＝2，＝＝2.6， 所以2.6＝0.83×2＋，所以＝0.94．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著．下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据．记方案执行时间为执行后第x年，不礼让行人车数为y(单位：百辆)． x/年 1 2 3 4 5 y/百辆 5.8 5.2 4.5 3.7 2.8 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)求不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程； (2)预测该路口2025年不礼让行人车数． 参考公式：经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝，＝－． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由表中数据可得，＝3，＝4.4，＝55，xiyi＝58.5，所以＝＝＝－0.75， 所以＝＝4.4＋0.75×3＝6.65， 所以不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程为＝－0.75x＋6.65． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)由(1)可知，＝－0.75x＋6.65， 令x＝7得＝6.65－0.75×7＝1.4， 所以2025年该路口不礼让行人车数的预测值是140辆． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．某科学兴趣小组的同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某病毒的成活率与温度的关系，病毒数量y(单位：个)与温度x(单位：℃)的部分数据如下表，由表中数据算得经验回归方程＝x＋中的＝－1，预测当温度为22 ℃时，病毒数量为(　　) A．10　　B．9　　 C．8　　 D．7 温度x/℃ 4 8 10 18 病毒数量y/个 30 22 18 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 67 B　[由表格数据可得，＝×(4＋8＋10＋18)＝10，＝×(30＋22＋18＋14)＝21， 因为点在直线＝x＋上，且＝－1， 所以＝21＋10＝31，所以＝－x＋31， 故当x＝22时，＝－22＋31＝9， 即预测当温度为22 ℃时，病毒数量为9． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为＝x＋，并计算出变量x，y之间的样本相关系数为－0.96，xi＝－8，yi＝－15，则经验回归直线经过(　　) A．第一、二、三象限 　 B．第二、三、四象限　 C．第一、二、四象限 　 D．第一、三、四象限 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 69 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由样本相关系数为－0.96，知x，y负相关，则＜0． 又xi＝－8，yi＝－15， ∴样本点的中心的坐标为(－0.8，－1.5)， 则点(－0.8，－1.5)在经验回归直线上，且在第三象限， ∴经验回归直线经过第二、三、四象限． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 70 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月5G手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/千部 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 71 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 若x与y线性相关，且经验回归方程为＝0.24x＋，则下列说法正确的是(　　) A．由题中数据可知，变量y与x正相关，且样本相关系数r＜1 B．经验回归方程＝0.24x＋中＝0.26 C．当x每增加1个单位时，平均增加0.24个单位 D．可以预测x＝6时该商城5G手机销量约为1.72千部 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ACD　[从数据看y随x的增加而增加，故变量y与x正相关，由于各增量并不相等，故样本相关系数r＜1，故A正确； 由已知数据得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(0.5＋0.8＋1.0＋1.2＋1.5)＝1，代入＝0.24x＋中得到＝1－3×0.24＝0.28，故B错误； 根据经验回归方程＝0.24x＋0.28，可得当x每增加一个单位时，平均增加0.24个单位，故C正确； 将x＝6代入＝0.24x＋0.28中得到＝0.24×6＋0.28＝1.72，故D正确． 故选ACD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 73 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系： 小李这5天的平均投篮命中率为________，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________． 时间x/h 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 74 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0.5　0.53　[＝＝3． 由公式得＝0.01， 从而＝＝0.5－0.01×3＝0.47， 所以经验回归方程为＝0.01x＋0.47， 所以当x＝6时，＝0.01×6＋0.47＝0.53．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 75 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，计算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，＝720． (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的经验回归方程＝x＋； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：经验回归方程＝x＋中，＝，＝－． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 76 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由题意知 n＝10，＝8， ＝2， 又＝720－10×82＝80， ＝184－10×8×2＝24， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 77 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则＝＝0.3， ＝＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求经验回归方程为＝0.3x－0.4． (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x与y之间是正相关． (3)当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．即若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄为1.7千元． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 78 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．现得到某城市从2018—2022年的本科录取成绩，为了便于计算，将2018年编号为1，2019年编号为2，…，2022年编号为5，如果将每年的本科录取率记作y%，把年份对应编号1到5作为自变量，记作x，得到如下数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 自变量x 1 2 3 4 5 本科录取率y% 24.5 27.5 29 31.5 32.5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 79 (1)试建立y关于x的经验回归方程； (2)已知该城市2023年本科录取率为35.5%，2024年本科录取率为37.4%．若|－y|≤0.5，则认为该经验回归方程精确度较高，试用2023年和2024年的数据判断能否用该方程预测2026年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2026年该城市的本科录取率． 参考公式：＝，＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 [解]　(1)由表中数据可以计算出＝29， ＝55，xiyi＝455，5＝45，5＝435， ＝＝＝2， ＝＝29－2×3＝23， 故y关于x的经验回归方程为＝2x＋23． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 (2)当x＝6时，＝35， |－y|＝|35－35.5|≤0.5； 当x＝7时，＝37， |－y|＝|37－37.4|≤0.5， 则该经验回归方程可用来预测2026年该城市的本科录取率， 当x＝9时，＝41， 故预测2026年该城市的本科录取率为41%． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 $