7.5 正态分布-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕正态分布展开，系统讲解正态密度曲线、参数μ和σ的意义、3σ原则及概率应用。通过问题初探了解预习情况，以探究建构中的问题链衔接随机变量知识，引导学生从图象抽象参数，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合直观想象与逻辑推理，如通过正态曲线图象分析对称性培养直观想象，结合白糖质量检测等实例发展逻辑推理。采用分层作业与高考题典例，帮助学生提升数学运算能力，教师可借助完整教学流程高效实施教学。

第七章　随机变量及其分布 7.5　正态分布 [学习目标]　1．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．(直观想象) 2．了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(数学运算) 3．会用正态分布解决实际问题．(逻辑推理) 7.5　正态分布 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．正态分布、标准正态分布的概念是什么？ 问题2．正态曲线有什么特点？ 问题3．如何求正态分布在给定区间上的概率？ 7.5　正态分布 探究建构 关键能力达成 探究1　正态曲线及其特征 问题1　下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)抛两枚骰子，出现的点数之和； (2)电脑的使用时间． [提示]　(1)是，(2)不是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 问题2　函数f (x)＝，x∈R的图象如图所示．   (1)试确定函数 f (x)的解析式，由图可得到函数 f (x)的图象关于哪条直线对称？ (2)函数 f (x)取得最大值时，x的值是什么？由此可以得到μ的值是什么？ (3)当μ＝0，σ＝1时，你能画出 f (x)的图象吗？此时函数图象的对称轴是什么？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [提示]　(1) f (x)＝，直线x＝72． (2)x＝72，μ＝72． (3) 上图为所求图象，且对称轴为直线x＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [新知生成] 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为____________，称它的图象为正态密度曲线，简称________． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_____________．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从_____________． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 正态密度函数 正态曲线 X~N(μ，σ2) 标准正态分布 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 4．正态曲线的特点： (1)非负性：对任意的x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的____； (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为_； (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线____对称； (4)最大值：曲线在____处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近___轴； (6)当___一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线的位置由μ确定，曲线随着___的变化而沿x轴平移，如图①； 上方 1　 x=μ　 x=μ　 x　 σ　 μ　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 【教用·微提醒】　正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 √ [典例讲评]　1．(1)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 (2)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 (1)BCD　(2)20　2　[(1)由题中图象可知，三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙． (2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝2＝2．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 发现规律　利用正态曲线的性质求参数μ，σ (1)正态曲线是__峰的，它关于直线______对称，由此性质结合图象求μ． (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值______，由此性质结合图象求σ． 单 x=μ　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [学以致用]　1．(1)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 (2)若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 (1)A　[由题图知甲、乙两条生产线产品尺寸的平均值相等，甲的正态密度曲线较瘦高，故，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性．故选A．] (2)[解]　由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0． 又该函数的最大值是，所以＝，解得σ＝4． 故所求正态密度函数的解析式为 f (x)＝，x∈(－∞，＋∞)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 探究2　利用正态分布的性质求概率 [新知生成] 1．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 2．服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 3．3σ原则 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [典例讲评]　2．设ξ～N(1，22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)； (2)P(3≤ξ≤5)． [解]　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2． (1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2) ＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 (2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)， ∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)] ＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [母题探究]　(变设问)若本例条件不变，求P(ξ>5)． [解]　P(ξ>5)＝P(ξ<－3) ＝[1－P(－3≤ξ≤5)] ＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] ≈(1－0.954 5)＝0.022 75． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 反思领悟　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)． ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [学以致用]　2．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6，则μ＝(　　) A．3　　　 B．4　　 C．5　　　 D．6 √ B　[∵P(ξ<2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6， ∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2， 即P(ξ<2)＝P(ξ>6)，∴μ＝＝4．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 探究3　正态分布的应用 [典例讲评]　【链接教材P86例题】 3．某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500，52)(单位：g)． (1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为多少？ (2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [解]　(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为X g， 由题意可知X～N(500，52)． 由于485＝500－3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知， P(X<485)＝[1－P(500－3×5≤X≤500＋3×5)]≈×0.002 7＝0.001 35． (2)检测员的判断是合理的． 因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都小于485 g的概率约为0.001 35×0.001 35＝0.000 001 822 5＝1.822 5×10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 【教材原题·P86例题】 例　李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； (3)如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有 34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [分析]　对于第(1)问，正态分布由参数μ和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计．对于第(3)问，这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [解]　(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2．用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到 X～N(30，62)，Y～N(34，22)． (2)X和Y的分布密度曲线如图7.5­7所示． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 (3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．由图7.5­7可知， P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34)． 所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 反思领悟　解题时，应当注意产品质量应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [学以致用]　3．(源自湘教版教材)在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布ξ～N(90，100)． (1)求考试成绩ξ位于区间[70，110]上的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在[80，100]间的考生大约有多少人． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [解]　因为ξ～N(90，100)， 所以μ＝90，σ＝＝10． (1)由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－2σ＝90－2×10＝70和μ＋2σ＝90＋2×10＝110之间的概率约为0.954 5． (2)由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－σ＝80和μ＋σ＝100之间的概率约为0.682 7．又因为一共有2 000名学生参加考试，因此考试成绩在[80，100]间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 应用迁移 随堂评估自测 1．已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(X≥3)＝0.2，则P(X＞1)＝(　　) A．0.2　　　 B．0.3　　 C．0.7　　　 D．0.8 √ D　[∵随机变量X～N(2，σ2)， ∴P(X≤1)＝P(X≥3)＝0.2， ∴P(X＞1)＝1－P(X≤1)＝1－0.2＝0.8． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 2．设两个正态分布(σ1＞0)和(σ2＞0)的密度曲线如图所示，则有(　　)   A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 　 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 　 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 A　[从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小， ∴σ1＜σ2． 故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 3．某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(180，100)，现有该新品种脐橙10 000个，估计单果质量大于150 g的脐橙个数为(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． A．8 413 　 B．9 772 C．9 974 　 D．9 987 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 D　[由ξ～N(180，100)可知，μ＝180，σ＝10， 所以P(ξ＞150)＝P(ξ＞μ－3σ)＝＋P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈＋×0.997 3＝0.998 65， 故单果质量大于150 g的脐橙个数约为10 000×0.998 65≈998 7． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 4．已知两个随机变量满足X＋5Y＝10，且X～N(0，1)，则E(Y)＝________，D(Y)＝________． 2　　[由X～N(0，1)，得E(X)＝0，D(X)＝1．因为X＋5Y＝10，所以Y＝2－X，所以E(Y)＝2－E(X)＝2，D(Y)＝D(X)＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 1．知识链：   2．方法链：3σ原则的应用，转化化归、数形结合． 3．警示牌：不能正确运用正态密度曲线图致误． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你能写出三个常用的概率值吗？ [提示]　P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7． P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5． P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 2．正态密度曲线有哪些特征？ [提示]　(1)集中性：正态曲线的高峰位于正中央． (2)对称性：正态曲线关于直线x＝μ对称且不与x轴相交． (3)均匀变动性：正态曲线由峰值开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(十九)　正态分布 √ 一、选择题 1．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2 　 B．μ1>μ2 C．μ1＝μ2 　 D．σ2<σ3 √ AD　[由题图可知，μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确．] 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p等于(　　) A． 　 B． C． 　 D． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为随机变量X～B(6，p)， 所以E(X)＝6p， 因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝， 所以μ＝2，即E(Y)＝2， 又E(X)＝E(Y)，所以6p＝2，即p＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大 B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦高，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为直线μ＝10，显然B，C正确；D显然错误．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 47 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布，其正态密度曲线 f (x)＝，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ABC　[由题图可知，甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确；因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，则σ2≠1.99，故D错误．故选ABC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 49 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤a)＝0.3，且P(a≤X≤a＋2)＝0.4，则a＝(　　) A．－1 　 B．－ C．0 　 D． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[因为X～N(1，σ2)，P(X≤a)＝0.3，且P(a≤X≤a＋2)＝0.4， 所以P(X≤a＋2)＝P(X≤a)＋P(a≤X≤a＋2)＝0.3＋0.4＝0.7， 所以P(X≥a＋2)＝1－0.7＝0.3， 又因为P(X≤a)＝0.3， 所以1＝， 解得a＝0． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X＜－1)＝0.15，则P(1≤X≤3)的值为 ________． 0.35　[因为随机变量X～N(1，σ2)，P(X＜－1)＝0.15， 所以P(X＞3)＝P(X＜－1)＝0.15， 所以P(1≤X≤3)＝0.5－P(X＞3)＝0.35．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知随机变量X服从正态分布，即X～N(2，σ2)，若P(X≥－1)＝0.8，P(2≤X≤m)＝0.3，则实数m＝________． 5　[∵X～N(2，σ2)，且P(X≥－1)＝0.8， ∴P(X＞5)＝P(X＜－1)＝1－P(X≥－1)＝0.2， 又∵P(2≤X≤m)＝0.3，∴P(2≤X≤m)＋P(X＞5)＝0.5， ∴m＝5．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．某中学2 400名学生参加一分钟跳绳测试．经统计，成绩X近似服从正态分布N(108，σ2)，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在108～140之间的人数约为________． 900　[因为成绩小于76的有300人，所以P(X＜76)＝＝，又因为成绩X服从正态分布N(108，σ2)，所以P(76≤X≤108)＝＝，所以P(108≤X≤140)＝P(76≤X≤108)＝，所以跳绳成绩X在108～140之间的人数约为2 400×＝900．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2， ∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 故尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%． (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%，∴这批零件中不合格的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是(　　) 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3． A．学生数学成绩的期望为100　 B．学生数学成绩的标准差为100　 C．学生数学成绩及格率不超过0.9　 D．学生数学成绩的优秀率约等于0.022 75 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 57 ACD　[对于A，B，由于随机变量X～N(100，100)，则μ＝100，σ＝10，故A正确，B错误； 对于C，P(X＜90)＝P(X＜μ－σ)＝(1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ))≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，则P(X≥90)＝1－P(X＜90)≈1－0.158 65＝0.841 35＜0.9，即学生数学成绩及格率不超过0.9，故C正确； 对于D，P(X≥120)＝P(X≥μ＋2σ)＝(1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ))≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，即学生数学成绩的优秀率约等于0.022 75，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知函数f (x)＝x2－2ξx＋3在(－∞，－1)上单调递减的概率为，且随机变量ξ～N(μ，1)，则P(1≤ξ≤2)＝(　　) (附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3) A．0.135 9 　 B．0.015 87 C．0.021 4 　 D．0.013 41 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[根据题意 f (x)在(－∞，－1)上单调递减，可得ξ≥－1， 故P(ξ≥－1)＝， ∵ξ～N(μ，1)，∴μ＝－1， ∴P(1≤ξ≤2)＝P(－1≤ξ≤2)－P(－1≤ξ≤1)＝×[P(－4≤ξ≤2)－P(－3≤ξ≤1)]＝×(0.997 3－0.954 5)＝0.021 4． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 60 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．(多选)某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：克)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，则(　　) A．P(X＜600)＝ B．P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606) C．P(X＜595)＝P(X＞605) D．σ越小，P(X＜598)越大 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AC　[根据题意，X～N(600，σ2)，则μ＝600，该正态曲线关于μ＝600对称． 对于A，P(X＜600)＝，故A正确； 对于B，正态曲线关于μ＝600对称，则P(592＜X＜598)＝P(602＜X＜608)＞P(602＜X＜606)，故B错误； 对于C，正态曲线关于μ＝600对称，则P(X＜595)＝P(X＞605)，故C正确； 对于D，σ越小，说明数据越集中，P(X＜598)越小，故D错误． 故选AC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知ξ～N(3，σ2)，若f (x)＝P(ξ＞x＋x0)，曲线y＝f (x)的对称中心为，则x0＝________． 3　[因为曲线y＝f (x)的对称中心为，所以f (x)＋f (－x)＝1， 又f (x)＝P(ξ＞x＋x0)＝1－P(ξ＜x＋x0)，则f (－x)＝1－P(ξ＜－x＋x0)， 所以1－P(ξ＜x＋x0)＋1－P(ξ＜－x＋x0)＝1， 即P(ξ＜x＋x0)＋P(ξ＜－x＋x0)＝1， 又ξ～N(3，σ2)，所以x＋x0＋(－x＋x0)＝3×2，解得x0＝3．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1 000人，数学均值都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.95，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.99． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)根据题意可得甲校学生数学得分X～N(94，122)， 又P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.95，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.99， 可得P(70≤X≤118)≈0.95，则P(X≤70)≈＝0.025， 所以分数在70分及以下的学生大约有1 000×0.025＝25人， 所以所求概率为P＝＝0.4． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)根据题干所给的参考数据可得P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.99， 又μ＝94，σ＝12， 所以P(58≤X≤130)≈0.99， 所以甲校不低于130分的概率为＝0.005， 得分不高于58分的概率为＝0.005， 所以甲校得分不低于130分与不高于58分都有1 000×0.005＝5人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表． X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 67 (1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)； (2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．≈0.9． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 [解]　(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 均值E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7， 方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8． 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8． X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 均值E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7， 方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8． 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8． (2)由(1)知X～N(7，0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9． 因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， 所以P(7.9<X≤8.8)＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率约为0.135 9． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 7.5　正态分布 $