6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项式定理的综合应用，涵盖两个多项式积的特定项、三项展开式、整除余数及近似值问题。通过典例讲评与探究建构导入，衔接前期二项式定理及系数性质知识，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于运用“双通法”解决多项式积问题，结合分类讨论与方程思想处理三项式展开，如求(1-x)^5(1+x-ax^2)中x^4系数体现数学运算与逻辑推理。课堂小结通过知识链、方法链梳理，帮助学生系统掌握，提升数学思维，教师可借助结构化资源提高教学效率。

第六章　计数原理 6.3　二项式定理 6.3.2　二项式系数的性质 第2课时　二项式定理的综合应用 [学习目标]　1．能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题．(数学运算) 2．掌握二项展开式中系数最大(小)问题．(逻辑推理) 3．能利用二项式定理解决整除(余数)问题．(数学运算) 第2课时　二项式定理的综合应用 探究建构 关键能力达成 探究1　求两个多项式积的特定项 [典例讲评]　1．(1)若(1－x)5(1＋x－ax2)的展开式中含x4的系数为15，则实数a＝(　　) A．2　　　 B．1　　 C．－1　　　 D．－2 (2)(x＋y)6的展开式中x4y2的系数为________． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 (1)D　(2)－25　[(1)(1－x)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k＝ (－1)kxk(k＝0，1，2，3，4，5)， 又(1－x)5(1＋x－ax2)的展开式中含x4的系数为15， 所以(1－x)5(1＋x－ax2)的展开式中含x4的系数为(－1)4＋(－1)3－a×(－1)2， 令(－1)4＋(－1)3－a×(－1)2＝15， 即5－10－10a＝15，解得a＝－2． 故选D． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 (2)当取－，(x＋y)6取x3y3时，得x4y2的系数为－2＝－40； 当取1，(x＋y)6取x4y2时，x4y2的系数为＝15． 所以x4y2的系数为－40＋15＝－25．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 反思领悟　求解两个多项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 [学以致用]　【链接教材P34习题6.3T2】 1．(x＋y)5(x2－y2)的展开式中x3y4的系数是 ________．(用数字作答) －5　[(x＋y)5(x2－y2)＝(x＋y)5(x＋y)·(x－y)＝(x＋y)6(x－y)， 因为(x＋y)6的展开式的通项为Tk＋1＝x6－kyk， 故在(x＋y)6(x－y)的展开式中，含x3y4的项为x2y4·x＋x3y3·(－y)＝－5x3y4， 故x3y4的系数是－5．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 【教材原题·P34习题6.3T2】 (x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数是________． [答案]　0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 探究2　三项展开式问题 [典例讲评]　2．的展开式中的常数项是________． 　[法一：原式＝， ∴展开式的通项为 (k1＝0，1，2，…，5)． 当k1＝5时，T6＝()5＝4， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 当0≤k1<5时，的展开式的通项为 ·(k2＝0，1，2，…，5－k1)． 令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5． ∵0≤k1<5且k1，k2∈N，∴ ∴常数项为4×2××()3＝4＋20． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 法二：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10． 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即)5，∴所求的常数项为．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 反思领悟　(1)三项式的展开问题，可以利用二项式定理的推导方法来解决问题，其本质是计数原理的运用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项． (2)三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 √ [学以致用]　【链接教材P38复习参考题6T5(5)】 2．的展开式中，常数项为(　　) A．－59　　　 B．－61　　 C．181　　　 D．721 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 A　[因为＝， 又(x3＋x2－2)6的展开式中含x12的项为 ·(x3)4·(－2)2＋·(x3)2··(x2)3·(－2)1＋·(x2)6 ＝(60－120＋1)·x12＝－59x12． 故的常数项为－59． 故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 【教材原题·P38复习参考题6T5(5)】 求(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数． [解]　法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝(x2＋x)3y2， 其中(x2＋x)3中含x5的项为x4x＝x5， 所以x5y2的系数为＝30． 法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为＝30． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 探究3　整除和余数问题及近似值问题 [典例讲评]　3．(1)实数1.9965的近似值(精确到0.001)为________． (2)试求2 02510除以8的余数； (3)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． (1)31.681　[1.9965＝(2－0.004)5＝×25－×24×0.0041＋×23×0.0042－×22×0.0043＋×2×0.0044－×0.0045≈32－0.32＋0.001 28＝31.681 28， 将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 (2)[解]　2 02510＝(8×253＋1)10， ∵其展开式中除末项110外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 02510除以8的余数与1除以8的余数相同， ∴2 02510除以8的余数为1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 (3)[证明]　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82．① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 反思领悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 (3)(1＋a)n的近似计算的处理方法 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的大小，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 [学以致用]　3．(1)22 024被15除所得余数为________． (2)0.9986的近似值(精确到0.001)为________． (1)1　(2)0.988　[(1)22 024＝(24)506＝(15＋1)506＝15506·10＋15505·11＋…＋150·1506，故22 024被15除所得余数为1． (2)0.9986＝(1－0.002)6＝1＋×(－0.002)＋＋…＋×(－0.002)6． 由题意知T3＝(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 应用迁移 随堂评估自测 1．(1＋x)5的展开式中x3的系数为(　　) A．7　　　 B．8　　 C．10　　　 D．5 √ D　[(1＋x)5＝(1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5)， 所以展开式中含x3的项的系数为10－5＝5． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 √ 2．实数1.026的近似值(精确到0.01)为(　　) A．1.12 　 B．1.13　 C．1.14 　 D．1.20 B　[1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 √ 3．(教材P38复习参考题6T5(5)改编)(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　) A．25 　 B．35 C．45 　 D．(x＋3)5 C　[由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，则展开式的通项为Tk＋1＝(x＋3)5－kyk，当k＝0时，第k＋1项不含y项，T1＝(x＋3)5＝(x＋3)5，令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 4．今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期________． 一　[求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数． 因为810＝(7＋1)10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，故810除以7的余数是1，所以第810天相当于第1天，故为星期一．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 1．知识链：   2．方法链：应用二项式定理解决特殊问题的方法、分类讨论、方程思想等． 3．警示牌：不能正确进行分类致使出现重复或遗漏致误． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 1．求多项式积的特定项的方法是什么？ [提示]　求多项式积的特定项的方法——“双通法”． 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式的通项为Tk+1·Tr+1＝an-k(bx)k·sm-r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 2．利用二项式定理解决整除问题时的基本思路是什么？ [提示]　利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开．此时常采用配凑法、消去法配合整除的有关知识来处理． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(十)　二项式定理的综合应用 √ 一、选择题 1．(－1＋x＋y)8的展开式中，含xy4的项的系数为(　　) A．240　　　 B．－280　　 C．560　　　 D．360 29 B　[(－1＋x＋y)8的通项为(－1)8－k(x＋y)k＝(－1)8－kxk－ryr， 且r≤k，r，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}， 令解得 ∴含xy4的项的系数为(－1)8－5＝－56×5＝－280， ∴(x＋y－1)8的展开式中，含xy4的项的系数为－280． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．在(x＋y)5的展开式中，x2y4的系数为(　　) A．5 　 B．10 C．15 　 D．20 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 31 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[∵(x＋y)5＝x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5， ∴(x＋y)5的展开式中，含x2y4的项为x×5xy4＋×10x3y2＝15x2y4， 即x2y4的系数为15． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 32 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．若x＋x2＋…＋xn能被5整除，则x，n的一组值可能为(　　) A．x＝2，n＝6 　 B．x＝4，n＝6 C．x＝8，n＝4 　 D．x＝14，n＝4 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[x＋x2＋…＋xn＝(1＋x)n－1， 当x＝2，n＝6时，36－1＝(33＋1)(33－1)＝28×26，不能被5整除； 当x＝4，n＝6时，56－1不能被5整除； 当x＝8，n＝4时，94－1＝(92＋1)(92－1)＝82×80，能被5整除； 当x＝14，n＝4时，154－1＝(152＋1)(152－1)＝226×224，不能被5整除． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 34 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(x－1)7的展开式中的常数项为(　　) A．147 　 B．－147 C．63 　 D．－63 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[根据(x－1)7的展开式的通项Tk＋1＝·x7－k·(－1)k(k＝0，1，2，3，4，5，6，7)： ①当与配对时，k＝5，常数项为·(－1)5·2＝－42； ②当与配对时，k＝4，常数项为·(－1)4·3＝105， 故(x－1)7的展开式中的常数项为105－42＝63． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 36 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(多选)(1＋x2)(2＋x)4的展开式中(　　) A．x3的系数为40 　 B．x3的系数为32 C．常数项为16 　 D．常数项为8 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AC　[(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3的项的系数×2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x的项的系数×23＝32，所以含x3的项的系数是8＋32＝40，故A正确，B错误；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确，D错误．故选AC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．(2x－y＋1)7的展开式中x2y3的系数为 ________．(用数字作答) －840　[由题意，展开式中含x2y3的项为(2x)2·(－y)3＝－840x2y3， 则x2y3的系数为－840．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知的展开式中各项系数的和是2，则展开式中x的系数为 ________．(用数字作答) －200　[令x＝1，得的展开式中各项系数的和为(－2)×(a＋1)5＝2，解得a＝－2，故的展开式的通项为 Tk＋1＝(－2x)5－kx－2k＝(－2)5－k·x5－3k，k＝0，1，2，3，4，5， 分别令k＝3，k＝1，可得展开式中x的系数为－3×(－2)4＝－200．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知(x＋ay)(2x－y)5的展开式中x2y4项的系数为30，则a＝__________． －　[(2x－y)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－y)k，k＝0，1，2，3，4，5， (x＋ay)(2x－y)5的展开式中x2y4项的系数为30， 则x·(2x)1(－y)4＋ay·(2x)2(－y)3＝30x2y4，解得a＝－．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．请利用二项式定理证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N*)． [证明]　当n≥3，n∈N*时，3n＝(1＋2)n＝1＋·2＋·22＋…＋2n>1＋·2＋·22 ＝1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1， 所以结论成立． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(2x3－2)的展开式中的常数项为(　　) A．－288 　 B．－312 C．480 　 D．736 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 43 A　[根据的展开式的通项Tk＋1＝(k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8)， 当与2x3配对时，k＝2，故常数项为2·(－2)2＝224； 当与(－2)配对时，k＝8，故常数项为－2·(－2)8＝－512． 故展开式的常数项为－512＋224＝－288． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．若正整数a，b满足等式2 0232 025＝2 024a＋b且b＜2 024，则b＝ (　　) A．1 　 B．2 C．2 022 　 D．2 023 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[2 0232 025＝(2 024－1)2 025＝·2 0242 025－·2 0242 024＋…＋··2 024·(－1)2 024＋·(－1)2 025＝2 024[·2 0242 024－·2 0242 023＋…＋·2 0241·(－1)2 023＋·(－1)2 024]－1＝2 024[·2 0242 024－·2 0242 023＋…＋·2 0241·(－1)2 023＋·(－1)2 024]－2 024＋2 023＝2 024a＋b， 故b＝2 023． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 46 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．(多选)关于的展开式，下列结论正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为－20 D．系数最大的项为第3项 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BC　[可以化为，则的展开式的通项为Tk＋1＝x6－k·＝(－1)kx6－2k，k＝0，1，2，…，6，令6－2k＝0，则k＝3，所以展开式的常数项为＝－20，故C正确；因为n＝6，则二项式系数最大的项为第4项，此时T4＝(－1)3x0＝－20＜0，所以系数最大的项为第3项与第5项，故D错误；展开式的二项式系数和为26＝64，故A错误；令x＝1，则展开式的各项系数和为(1－1)6＝0，故B正确．故选BC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a的值为________． 12　[512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝×522 012－×522 011＋…－×521＋1＋a． 因为52是13的倍数，所以只需a＋1是13的倍数，因为0≤a＜13，所以a＋1＝13，所以a＝12．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知(n∈N*)的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求的展开式中的常数项． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，得2n－1＝64，所以n＝7，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项． 因为的展开式的通项为Tk＋1＝(2x2)7－k(－1)k＝27－k· (－1)kx14－3k，k＝0，1，2，…，7， 所以的展开式中二项式系数最大的项为T4＝－560x5，T5＝280x2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)由(1)知n＝7，且的展开式中含x－1的项为T6＝－，含x2的项为T5＝280x2， 所以的展开式中的常数项为2×(－84)＋1×280＝112． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算．也可以用其他进制表示数，如十进制下，68÷7＝9…5；9÷7＝1…2；1÷7＝0…1，将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制．表示形式68＝1×72＋2×71＋5就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的611，其个位数是(　　) A．6　　　 B．5 C．2　　　 D．1 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 53 A　[∵611＝(7－1)11＝711＋710(－1)＋…＋72(－1)9＋71(－1)10＋(－1)11， 且711＋710(－1)＋…＋72(－1)9能被7整除， 而71(－1)10＋(－1)11＝77－1＝76， 76÷7＝10…6， ∴611 被7除的余数为6， ∴用七进制表示十进制的611，其个位数是6． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　二项式定理的综合应用 $