6.2.3 组合 6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦组合的综合应用，涵盖有限制条件的组合问题、几何中的组合问题及排列与组合的综合问题，通过课外活动小组选人等典例衔接组合及组合数知识，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点是结合教材原题与母题探究，通过分类讨论、间接法等培养逻辑推理，几何问题中关注共线共面提升数学思维，实际情境案例（如食堂搭配）助学生用数学眼光观察世界。课堂小结与分层作业让学生掌握方法，教师教学更系统高效。

第六章　计数原理 6.2　排列与组合 6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第2课时　组合的综合应用 [学习目标]　1．能应用组合知识解决有限制条件的组合问题．(逻辑推理) 2．掌握解决组合问题的常用方法．(逻辑推理) 第2课时　组合的综合应用 探究建构 关键能力达成 探究1　有限制条件的组合问题 [典例讲评]　【链接教材P25例7】 1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长当选，又要有女生当选． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [解]　(1)－＝825(种)． (2)至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，所以共有＋＋＝966(种)选法． (3)分两类： 第一类，女队长当选，有＝495(种)选法； 第二类，女队长没当选，有＋＋＋＝295(种)选法， 所以共有495＋295＝790(种)选法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [母题探究]　(变设问)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ [解]　分两类情况： 第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11人中选取5人，有＝462(种)选法； 第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有＋＝660(种)． 所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122(种)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 【教材原题·P25例7】 例7　在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [分析]　(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [解]　(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 ＝＝＝161 700． (2)从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 ×＝2×＝9 506． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 (3)方法1　从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 ×＋×＝9 506＋98＝9 604． 方法2　抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 －＝161 700－＝9 604． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 反思领悟　两类主要的有限制条件的抽(选)取问题 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即将“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”与“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [学以致用]　1．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A．210种 　 B．420种 C．56种 　 D．22种 √ A　[由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有＋＝210(种)．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 探究2　几何中的组合问题 [典例讲评]　2．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4． (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？ 其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [解]　(1)法一：可作出三角形＋·＋·＝116(个)． 其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36(个)． 法二：可作三角形－＝116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36(个)． (2)可作出四边形＋·＋·＝360(个)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 反思领悟　(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算漏算．常用直接法，也可采用间接法． (2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决方法体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [学以致用]　2．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何三点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [解]　法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准． 第1类，共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有＝48(个)不同的三角形； 第2类，共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有＝112(个)不同的三角形； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 第3类，共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有＝56(个)不同的三角形． 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有 48＋112＋56＝216(个)． 法二：从12个点中任意取3个点，有＝220(种)取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有＝4(种)． 故这12个点能构成三角形的个数为－＝216． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 探究3　排列与组合的综合问题 [典例讲评]　【链接教材P27习题6.2T10】 3．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数： (1)某女生一定担任语文课代表； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [解]　(1)再选4人任课代表，先选后排有·＝840(种)选法． (2)先选后排，先安排该男生有··＝3 360(种)选法． (3)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排列有种，共有··＝360(种)选法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 【教材原题·P27习题6.2T10】 班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组有多少种选法？ (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法？ (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [解]　(1)由题意可得每个小组有＝495(种)选法． (2)由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人， 所以由分步乘法计数原理可得，共有＝495×4＝1 980(种)选法． (3)由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列， 所以由分步乘法计数原理可得，共有＝11 880(种)选法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 反思领悟　解决排列与组合问题的核心思路是“先选后排、分步计数”，根据不同限制条件灵活调整，选择解题策略． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [学以致用]　3．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？ (2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 [解]　(1)若在第5次检测出最后一件次品，则前4次中有2件次品2件正品，第5次为次品． 则不同的测试方法共有＝720(种)． (2)检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有＝6(种)； 检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有＝90(种)； 检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到最后一件次品，一类是前5次测到的都是正品，不同的测试方法共有＋＝840(种)． 所以共有6＋90＋840＝936(种)测试方法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 应用迁移 随堂评估自测 1．一个口袋中装有大小质地均相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　) A．27种 　 B．24种 C．21种 　 D．18种 √ C　[分两类：一类是2个白球有＝15(种)取法；另一类是2个黑球有＝6(种)取法，所以共有15＋6＝21(种)取法．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 √ 2．(多选)(教材P27习题6.2T13改编)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动．若选出的4人中既有男生又有女生，则(　　) A．若选1男3女有4种选法 B．若选2男2女有18种选法 C．若选3男1女有16种选法 D．共有34种不同的选法 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 ABD　[若选1男3女有＝4(种)选法；若选2男2女有＝18(种)选法；若选3男1女有＝12(种)选法，所以共有4＋18＋12＝34(种)不同的选法．故选ABD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 √ 3．(教材P26习题6.2T6改编)空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　) A．205 　 B．110 C．204 　 D．200 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 A　[法一：可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为＋＋＋＝205． 法二：从10个点中任取4个点的方法数去掉4个点全部取自共面的5个点的方法数，得到所有四面体的个数为－＝205．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 4．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的五位数，其中含有2，3的五位数的个数为________． 408　[若五位数中含有0，则共有个数；若五位数中不含0，则共有个数， 则共有＋＝408(个)五位数．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 1．知识链：   2．方法链：有限制条件的组合问题的解题策略：分类讨论、正难则反． 3．警示牌：由于分类标准混乱而致误． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．解决有限制条件的组合问题的常用方法有哪些？ [提示]　直接分类法、直接分步法、间接法． 2．解决有限制条件的组合问题的原则是什么？ [提示]　先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． 3．与几何有关的组合问题如何解决？ [提示]　要注意共点、共线、共面、异面等情形，常用直接法，也可采用间接法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 中国古代的排列组合 我国古代有许多与排列组合有关的有趣例子． 古老的《周易》中有一种叫做“易卦”的图形，它是由两种不同的线条每次取6条由下至上重叠而成(如图)．连续的线条叫做阳爻，断开的线条叫做阴爻，阳爻与阴爻统称为爻．每一个易卦都由6个爻组成，每一爻都有取阳爻或取阴爻两种方法，所以，易卦共有2×2×2×2×2×2＝26＝64(个)． 阅读材料 拓展数学视野 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 《史记》里记载了一个“田忌赛马”的故事．齐威王经常和他的大臣田忌赛马，双方各有上马、中马、下马一匹，每次比赛时三匹马各出场一次，一对一地进行比赛，共赛三场，每场赌注为一千金．田忌的马与齐威王的马相比略有逊色．田忌的上马不敌齐威王的上马，但胜过齐威王的中马和下马；田忌的中马不敌齐威王的上马和中马，但胜过齐威王的下马．开始，田忌总是用自己的上马、中马和下马分别去对齐威王的上马、中马和下马，屡战屡败．后来田忌的谋士孙膑分析了比赛共有3!＝6(种)可能的结果，其中只有一种对田忌有利．于是孙膑让田忌用下马对齐威王的上马，用中马对齐威王的下马，用上马对齐威王的中马，结果两胜一负，反而赢得一千金． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 唐代科学家僧一行和宋代科学家沈括都曾经讨论过围棋可能出现的局势总数问题，其结果是一个天文数字．围棋盘纵横各有19路，共19×19＝361(个)格．每个格点都有“黑子”“白子”“无子”3种可能，因而有3361种不同的棋局．当然这只是理论上的，有些棋局不合棋理，不大可能出现在实际对弈中． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(七)　组合的综合应用 √ 一、选择题 1．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种　 B．60种 C．120种 　 D．240种 35 C　[根据题意可得满足题意的选法种数为·＝120． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．假如某大学给我市某三所重点中学共7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　) A．30　　　 B．21 C．10　　　 D．15 D　[用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有＝15(种)分配方法．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点中的三个点为顶点的三角形个数为(　　) A．　　 B．() C．－9　　 D． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为，利用分类加法计数原理可得，以这九个点中的三个点为顶点的三角形个数为＋．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 39 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为(　　) A．　　 B． C．　　 D．) √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BC　[法一：分三类：3男1女，2男2女，1男3女，所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为． 法二：任选4人的方法种数为，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为， 故不同的选法种数应为． 经检验，A，D不正确．故选BC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 41 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有(　　) A．108种 　 B．90种 C．72种 　 D．36种 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[根据题意，分2步进行分析： ①在其他3个节目中选出1个，与学习经验介绍和新闻报道两个节目一起在第一天播出， 有＝18(种)播出方案， ②剩下的3个节目在第二天播出，有＝6(种)播出方案， 则有18×6＝108(种)播出方案． 故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有________种． 6　[由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有种， 再分配到两所学校，有种， 故共有＝6(种)安排方法．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有________种． 216　[根据题意，每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有＝10×24＝240(种)不同安排方法， 若甲、乙安排在同一所学校，则有＝24(种)不同安排方法， 所以甲、乙不安排在同一所学校的方法数有240－24＝216(种)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答) 96　[甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种方法．丙传第一棒，共有·种方法．由分类加法计数原理得，共有＋＋·＝96(种)方法．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．某市教育局决定派出8名心理咨询专家(5男3女)到甲、乙两所学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种安排方法？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有＝70(种)． (2)分三类：第一类，甲校有3人， 则安排方法有－－1＝45(种)， 第二类，甲校4人， 则安排方法有－－＝60(种)， 第三类，甲校5人， 则安排方法有－－1＝45(种)， 故每所学校至少3人且必须有女专家的安排方法共有45＋60＋45＝150(种)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有(　　) A．()4·种　　 B．()3·种　 C．4()3·种　　 D．2()4·种 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 49 C　[由题意，要求每个大组至少有1名同学参加， 即在4个大组中，必有一个大组有2名同学参加活动，其余组别各有1个同学，运用分步乘法计数原理解决． 先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有种， 再从另外三个大组中分别各取1名同学，有()3种， 最后确定有2个同学参加的组的人选，有种， 由分步乘法计数原理，抽取结果共有··()3＝4··()3 (种)． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为(　　) A．　　 B． C．　　 D． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱AD，BB1，C1D1中任意2条所在的直线都是异面直线， 像这样的3条棱共有8组， ∴在正方体的12条棱中任选3条， 其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为＝．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 52 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为(　　) A．30　　　 B．36 C．60　　　 D．72 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[分两种情况讨论： 第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，此种情况有＝36(种)排法， 第二种：当第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩下的2个女生排好，2个男生插空，此种情况有＝24(种)排法， 所以共有36＋24＝60(种)排法， 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人分别到A，B，C，D四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有________种．(用数字作答) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 276　[依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况， 当甲参加时，有种选派方法，当甲不参加时，有种选派方法，所以不同选派方法种数是＋＝180＋96＝276．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ [解]　由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 法一：分两类． 第一类，从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 第二类，从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法； 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法． 法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语． 第一类，甲入选． (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法． 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)． 第二类，甲不入选，可分两步： 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法． 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则该不定方程正整数解的组数为________． 165　[问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球， 使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为＝165．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　组合的综合应用 60 $