精品解析：新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一上学期期初考试数学试卷

兵团二中2028届高一年级第一学期期初考试 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：袁景辉 耿梁燕 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集则集合 的真子集个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 4. 若a，b是正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是 C. 当时， D. 当时，的最小值为1 7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知集合，，全集，若，则实数m的集合为 B. 命题p：，成立的充要条件是 C. 设a，，则“或”的充要条件是“” D. 已知，，，则的最小值为 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是2 11. 数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（ ） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知或，若是的必要条件，则实数的范围是______． 13. 若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为______. 14. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，， 或. （1）求，； （2）求，. 16. （1）已知，，求证：； （2）已知，求证：的充要条件是； 参考公式： 17. 已知集合，集合，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; （3）若，求实数的取值范围． 18. 某市区一家装修公司计划在市区外租赁一块地建造仓库，经过考查得知，每月的占地费（单位：万元）与公司到仓库的距离（单位：千米）成反比，每月的运输费（单位：万元）与成正比．若仓库离公司10千米，则和的值分别为1.5万元和6.3万元． （1）求每月的占地费和运输费的总费用； （2）分析仓库建在距离公司多少千米处时，这两项的总费用最小，并求出这个总费用的最小值． 19. 已知集合 （1）分别判断、、是否属于集合； （2）写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兵团二中2028届高一年级第一学期期初考试 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：袁景辉 耿梁燕 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断. 【详解】集合， 对于A，1是集合A中的元素，所以，A正确； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，空集是任何集合的子集，C正确； 对于D，是集合，集合与集合之间是包含关系，所以，D错误. 故选：D. 2. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】为，. 故选：C. 3. 已知全集则集合 的真子集个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意线求出，进而求出,得出真子集个数. 【详解】,, 则，, 则真子集根数为. 故选：B. 4. 若a，b是正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式、充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】时，如，则. 时，，当且仅当时等号成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知集合，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据集合与集合的交集和并集运算结果，确定集合与集合中元素，再根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】，， 得，解得. 故. 又因为，所以得. 代入得，解得：， 综上可得：. 故选：C. 6. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是 C. 当时， D. 当时，的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式对选项逐一判断， 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D. 8. 若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断. 【详解】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知集合，，全集，若，则实数m的集合为 B. 命题p：，成立的充要条件是 C. 设a，，则“或”的充要条件是“” D. 已知，，，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，先化简集合A，再由题设得到，分类讨论与两种情况即可求得的集合为，故A错误；对于B，利用能成立问题可得，从而得到，反之亦成立，即命题的充要条件是，故B错误；对于C，由等价于可知，“或”的充要条件是“”，故C正确；对于D，利用基本不等式“1”的妙用可求得，故D正确. 【详解】对于A，由得，故或，故， 因为，所以， 因为， 所以当时，； 当时，或，则或； 故实数的集合为，故A错误； 对于B，（必要性）若，则， 因为，所以， （充分性）若，则由可知， 故，即命题成立， 所以命题成立的充要条件是，故B错误； 对于C，因为等价于，等价于，等价于或，故“或”的充要条件是“”，故C正确； 对于D，因为，即 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：CD. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由，，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为4，故A正确； 对于B，因为，当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，得，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，由，，取，则，故D错误。 故选：AB. 11. 数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（ ） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，借助相似三角形用表示相关线段，再借助图形即可判断得解. 【详解】依题意，不妨令，，， 由，得， 连接，则，而， 则，∽， 于是，，又，， 则∽，，于是， 观察图形知，，，，当且仅当点重合时取等号， 即，，，当且仅当点时取等号，ABC正确； 对于D，都表示线段长平方， 不能表示，，中边长，因此D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知或，若是的必要条件，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，分类讨论a的取值范围，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为是的必要条件，所以， ①当时，，满足； ②当时，， 由，得，解得，故； ③当时，， 由，得，解得，故； 综上所述，实数的范围是， 故答案为： 13. 若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意“，使得”是真命题，求参数范围即可. 【详解】由于“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 故，则， 则实数的取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 14. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先得，再利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知，则， 所以 ， 当且仅当时取得最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，， 或. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1），； （2）或，或. 【解析】 【分析】 （1）根据集合交集、并集的概念进行计算即可； （2）先计算集合B的补集，然后分别计算，. 【详解】解：（1）∵，， ∴，. （2）或，或， 或. 【点睛】本题考查集合间的综合运算，较简单，解答时注意端点的取值. 16. （1）已知，，求证：； （2）已知，求证：的充要条件是； 参考公式： 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式证明； （2）应用充分必要性定义，结合不等式性质判断推出关系，即可证. 【详解】（1），，当且仅当时，等号成立. （2）充分性：因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； 必要性：由， 又，故，即，必要性成立； 综上，的充要条件是. 17. 已知集合，集合，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； 【小问3详解】 若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 18. 某市区一家装修公司计划在市区外租赁一块地建造仓库，经过考查得知，每月的占地费（单位：万元）与公司到仓库的距离（单位：千米）成反比，每月的运输费（单位：万元）与成正比．若仓库离公司10千米，则和的值分别为1.5万元和6.3万元． （1）求每月的占地费和运输费的总费用； （2）分析仓库建在距离公司多少千米处时，这两项的总费用最小，并求出这个总费用的最小值． 【答案】（1） （2）仓库建在距离公司5千米处时，这两项的总费用最小，最小值为6.3万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得总费用的表达式. （2）利用基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 由已知可设，， 因为当时，和的值分别为1.5和6.3， 所以，，解得，， 所以，即． 【小问2详解】 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故仓库建在距离公司5千米处时，这两项的总费用最小，最小值为6.3万元． 19. 已知集合 （1）分别判断、、是否属于集合； （2）写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】（1）、、都属于集合，理由：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）、、 （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素的特征判断即可； （2）由集合的描述：，讨论、同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $