7.3.1 离散型随机变量的均值-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，前承随机变量分布列，通过问题初探、西瓜质量探究活动从具体到抽象，明确均值定义、性质及两点分布均值，构建“情境—抽象—应用”的学习支架。 资料以问题链驱动，结合典例（如射击得分、轿车利润）与母题探究，培养数学抽象、数学运算和数学建模素养。课时分层作业兼顾基础与提升，课中助力教师落实核心素养，课后便于学生回顾知识、查漏补缺。

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 [学习目标]　1．理解离散型随机变量的均值的意义与性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(数学抽象、数学运算) 2．掌握两点分布的均值．(数学运算) 3．会用离散型随机变量的均值解决一些实际问题．(数学建模、数据分析) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．什么是离散型随机变量的均值？ 问题2．如何利用随机变量的分布列求均值？ 问题3．离散型随机变量的均值有哪些性质？ 问题4．两点分布的均值是什么？ (对应学生用书第51页) 探究1　求离散型随机变量的均值 问题1　已知有12个西瓜，其中质量为5 kg的有4个，质量为6 kg的有3个，质量为7 kg的有5个．请思考： (1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试求X的分布列； (2)如何求西瓜的平均质量？ [提示]　(1)X的分布列为 X 5 6 7 P (2)＝5×＋6×＋7×＝． [新知生成] 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 【教用·微提醒】　(1)均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． (2)随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动． [典例讲评]　【链接教材P63例1、P65例3】 1．(1)某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　) A．0.2　　　 B．0.8　　 C．1　　　 D．0 (2)从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． (1)B　[因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8．] (2)[解]　由题意知X的可能取值为2，3，4，5． 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， ∴P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取得红球， ∴P(X＝3)＝； 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球， ∴P(X＝4)＝； 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球， ∴P(X＝5)＝． ∴X的分布列为 X 2 3 4 5 P ∴E(X)＝2×＝4． 【教材原题·P63例1、P65例3】 例1　在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ [分析]　罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X＝1，不中时X＝0，因此随机变量X服从两点分布．X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平． [解]　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8． 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8． 例3　猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3－3所示． 表7.3－3 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． [分析]　根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1 000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3 000元基金；A，B，C全部猜对，获得6 000元基金．因此X是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列． [解]　分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立． P(X＝0)＝P＝0.2， P(X＝1 000)＝P＝0.8×0.4＝0.32， P(X＝3 000)＝P＝0.8×0.6×0.6＝0.288， P(X＝6 000)＝P(ABC)＝0.8×0.6×0.4＝0.192． X的分布列如表7.3－4所示． 表7.3－4 X 0 1 000 3 000 6 000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为E(X)＝0×0.2＋1 000×0.32＋3 000×0.288＋6 000×0.192＝2 336． 　求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值． (2)求出X取每个值的概率． (3)写出X的分布列(有时也可省略)． (4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi求出均值． 其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识． [学以致用]　1．(1)已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，则E(X)＝(　　) A．0.3 　 B．0.7 C．0.21 　 D．1 (2)(源自北师大版教材)一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？ (1)A　[根据题意知随机变量X服从两点分布，所以E(X)＝0.3．] (2)[解]　设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝＝； P(X＝2)＝＝． 故X的分布列为 X 0 1 2 P 根据均值的定义，可知E(X)＝0×＋1×＋2×＝． 探究2　离散型随机变量的均值的性质 问题2　若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？ [提示]　X，η的分布列为 X x1 x2 … xi … xn η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b． [新知生成] 离散型随机变量的均值的性质 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． [典例讲评]　2．已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝________． 　[由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 故E(X)＝－2×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－． 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝．] [母题探究]　 1．(变结论)本例条件不变，若Y＝2X－3，则E(Y)＝________． －　[由本例知E(X)＝－，则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－．] 2．(变结论)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，则a的值为________． 15　[E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，解得a＝15．] 　求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． [学以致用]　【链接教材P66练习T1】 2．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　) ξ 1 2 3 4 P m n A． 　 B． C． 　 D． A　[因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7， 即E(η)＝12×＋7＝34． 所以2m＋3n＝，① 又＋m＋n＋＝1， 所以m＋n＝，② 由①②可解得m＝．] 【教材原题·P66练习T1】 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1)求E(X)； (2)求E(3X＋2)． [解]　(1)E(X)＝2.8． (2)E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4． 探究3　离散型随机变量均值的实际应用 [典例讲评]　【链接教材P65例4】 3．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产的每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计数据如下． 品牌 甲 乙 首次出现故障时间x/年 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量/辆 2 3 45 5 45 每辆利润/万元 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1万元，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2万元，分别求X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由． [解]　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝． (2)依题意得X1的分布列为 X1 1 2 3 P X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P (3)由(2)得X1的均值为E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86． X2的均值为E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79． ∵E(X1)>E(X2)， ∴从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌轿车． 【教材原题·P65例4】 例4　根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1　运走设备，搬运费为3 800元； 方案2　建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水； 方案3　不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ [分析]　决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3－5所示． 表7.3－5 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损 失/元 方案1 3 800 3 800 3 800 方案2 62 000 2 000 2 000 方案3 60 000 10 000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案． [解]　设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3． 采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元．因此，P(X1＝3 800)＝1． 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2 000＋60 000＝62 000元；没有大洪水时，总损失为2 000元．因此， P(X2＝62 000)＝0.01，P(X2＝2 000)＝0.99． 采用方案3， P(X3＝60 000)＝0.01，P(X3＝10 000)＝0.25，P(X3＝0)＝0.74． 于是，E(X1)＝3 800， E(X2)＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600， E(X3)＝60 000×0.01＋10 000×0.25＋0×0.74＝3 100． 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2． 　解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应均值． [学以致用]　3．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X． (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ [解]　(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2． P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25， P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02． 故X的分布列为 X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)X的均值为E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34． (3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)． 依题意，E(X)≥4.73， 即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03， 所以三等品率最多为3%． (对应学生用书第53页) 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．随机变量X的均值就是数学期望，简称期望 B．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数 C．均值综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平 D．随机变量的均值就是样本的均值 ABC　[E(X)＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平，故A，B，C正确．随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值，故D错误．] 2．已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则E(X)的值为(　　) A．2 　 B．2.4　 C．3.6 　 D．不确定 C　[依题意和分布列的性质得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6．] 3．已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a 设Y＝6X＋1，则Y的数学期望E(Y)＝________． 0　[由分布列的性质得＋＋a＝1，解得a＝． 法一：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，则E(Y)＝6E(X)＋1＝6×＋1＝0． 法二：因为Y＝6X＋1，所以Y的分布列为 所以E(Y)＝(－5)×＋1×＋7×＝0．] 4．已知小伟投篮命中率p＝0.6，则小伟投篮一次命中次数X的均值为________． 0.6　[法一：由投篮命中率p＝0.6，可得投篮一次，命中次数X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6． 法二：由题意知，命中次数X服从两点分布， 所以E(X)＝p＝0.6．] 1．知识链： 2．方法链：随机变量均值的求解方法、函数与方程、转化化归． 3．警示牌：不能正确的运用均值对实际问题作出科学的分析． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．离散型随机变量的均值公式是什么？ [提示]　E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn＝ 2．两点分布的均值是什么？ [提示]　E(X)＝p． 3．离散型随机变量的均值有哪些性质？ [提示]　E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 课时分层作业(十五)　离散型随机变量的均值 (对应学生用书第141页) 一、选择题 1．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0　　　 B．　　 C．1　　　 D．－1 A　[因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0．] 2．若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P p －p 则E(X)的最小值为(　　) A．1 　 B． C． 　 D．2 A　[由p≥0，－p≥0，得0≤p≤， 则E(X)＝－p＋2×＝－p≥1． 当p＝时，E(X)取最小值为1．] 3．某班举行一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为(　　) A．0.9 　 B．0.8 C．1.2 　 D．1.1 A　[由题意得X＝0，1，2，则 P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3， P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5， P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2， 所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9．] 4．(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．a＝7 　 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 　 D．E(bX＋a)＝2.62 ABC　[由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1， 且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得a＝7，b＝0.4． ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52．故ABC正确．] 5．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　) A．1.18万元 　 B．3.55万元 C．1.23万元 　 D．2.38万元 A　[因为X的所有可能取值为1.2，1.18，1.17， P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝， P(X＝1.17)＝， 所以X的分布列为 X 1.2 1.18 1.17 P 所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18．] 二、填空题 6．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则E(X)＝________． 　[E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝．] 7．某一随机变量X的分布列如下表，且n－m＝0.2，则E(3X＋2)＝________． X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 8　[由题意知 解得n＝0.45，m＝0.25， 所以E(X)＝0×0.1＋1×0.25＋2×0.2＋3×0.45＝2， 所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8．] 8．某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则X的期望为 ________． 　[易知X的所有可能取值为0，1，2，3， 此时P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．] 三、解答题 9．甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率； (2)记X为甲同学预约门票的天数，求X的分布列和期望E(X)． [解]　(1)甲同学到第三天才预约成功的概率为 P＝(1－0.7)2×0.7＝0.063． (2)记X为甲同学预约门票的天数，则X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝0.7， P(X＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21， P(X＝3)＝(1－0.7)2×0.7＋(1－0.7)3＝0.09， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P 0.7 0.21 0.09 ∴期望E(X)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.09＝1.39． 10．已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(3X＋4)＝5，则a＋b＝(　　) X －1 0 a 2 P b A． 　 B．1 C． 　 D． C　[由X的分布列可得＋b＋＋＝1，E(X)＝－1×＋0×b＋a×＋2×＝＋a， ∴b＝，E(3X＋4)＝3E(X)＋4＝3×＋4＝5， 解得a＝1， ∴a＋b＝．故选C．] 11．(多选)已知0≤a≤，随机变量ξ的分布列如图所示，则当a增大时，ξ的均值E(ξ)的变化情况是(　　) ξ －1 0 1 P a b A．E(ξ)增大 　 B．E(ξ)减小 C．E(ξ)的最大值为 　 D．E(ξ)的最小值为 BC　[由题意可知 即E(ξ)＝－＋－a＝－a，所以当a增大时，随机变量ξ的均值E(ξ)减小，E(ξ)的最大值为．故选BC．] 12．(多选)从{1，2，3}中随机取一个数记为a，从{4，5，6}中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是(　　) A．事件“a＋b为偶数”的概率为 B．事件“ab为偶数”的概率为 C．设X＝a＋b，则X的数学期望为E(X)＝7 D．设Y＝ab，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 ACD　[由题意可知，样本空间为Ω＝{(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)}，共9个样本点， 对于选项A，a＋b为偶数有：(1，5)，(2，4)，(2，6)，(3，5)，共4个样本点， 所以所求概率为，故选项A正确； 对于选项B，ab为偶数的有：(1，4)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，6)，共7个样本点， 所以所求概率为，故选项B错误； 对于选项C，设X＝a＋b，则X＝5，6，7，8，9， P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，P(X＝7)＝， P(X＝8)＝，P(X＝9)＝， 所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＝7，故选项C正确； 对于选项D，设Y＝ab，则Y＝4，5，6，8，10，12，15，18， P(Y＝4)＝P(Y＝5)＝P(Y＝6)＝P(Y＝8)＝P(Y＝10)＝P(Y＝15)＝P(Y＝18)＝， P(Y＝12)＝， 所以在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，故选项D正确． 故选ACD．] 13．(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________． 　[法一：依题意，X的可能取值为1，2，3， 总的选取可能数为53＝125． 其中X＝1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故P(X＝1)＝＝； X＝2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X＝2的可能情况有5×4×3＝60种， 故P(X＝2)＝＝； X＝3：三种不同球被取出， 由排列数可知事件X＝3的可能情况有5×4×3＝60种， 故P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝． 法二：X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝×6＝＝，P(X＝3)＝××6＝＝，所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝．] 14．某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动．活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3．每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券．然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖． (1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由． [解]　(1)由题意可知随机变量X的可能取值为1，4，8． P(X＝8)＝， P(X＝4)＝， P(X＝1)＝． 所以随机变量X的分布列为 X 1 4 8 P 所以随机变量X的数学期望为E(X)＝1×(元)． (2)由>2，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动． 15．(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p； (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1人，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X＝1的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明)． [解]　(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p＝＝． (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)＝0.8，P＝0.2， 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)＝0.75，P＝0.25， 设C为“恰有1人做对”，则C＝AB，且A，B相互独立， 故P(C)＝P＋P＝P(A)P＋＝0.35． 依题可知，X可取0，1，2， P(X＝0)＝P＝0.05， P(X＝1)＝0.35， P(X＝2)＝0.8×0.75＝0.6， X的分布列如表： X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)＝1×0.35＋2×0.6＝1.55． (3)p1＜p2．　[证明：设事件D：“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，事件E：“甲校学生做对该题”，由题意可知，P(E|D)＝1，P＝． 则P(E)＝P(D)PP ＝p1×1＋(1－p1)×0.25＝0.8， 解得p1＝． 设事件G：“乙校掌握这个知识点的学生做该题”，事件F：“乙校学生做对该题”， 则P(F)＝P(G)PP ＝p2×0.85＋(1－p2)×0.25＝0.75， 解得p2＝， 因为<，所以p1＜p2．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $