6.3.1 二项式定理-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“二项式定理”核心知识点，以计数原理为基础引导学生证明定理，系统梳理二项展开式的项数、系数规律及通项公式，搭建从观察低次展开式规律到推导高次展开式、从理解定理结构到应用通项解决特定项（常数项、有理项）与系数问题的学习支架。 资料通过问题链设计（如观察展开式规律→用计数原理分析项的形成→推导通项公式）培养数学抽象能力，结合典例讲评与母题探究（如逆用定理化简式子、求参数值）强化数学运算素养，对比二项式系数与项的系数差异渗透逻辑推理。课中助力教师引导学生主动探究，课后分层作业与知识链总结帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 [学习目标]　1．能用计数原理证明二项式定理．(数学抽象) 2．掌握二项式定理及二项展开式的通项．(数学运算) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．什么是二项式定理？ 问题2．二项展开式的通项是什么？ 问题3．二项式定理有什么结构特征？ (对应学生用书第25页) 探究1　二项式定理的正用、逆用 问题1　观察下列几个等式： (a＋b)1＝a＋b； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4． 你能发现它们有什么样的规律吗？你能发现各等式右侧多项式是如何形成的吗？ [提示]　右侧展开式的项数比左侧的指数大1，展开式的系数具有一定的对称性，各式均按照a的降幂顺序或者b的升幂顺序进行排列，各项的系数与组合数有某种关系；以(a＋b)2为例：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk出现的次数相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数，即a2－kbk的系数是． 问题2　你能根据问题1的分析，写出(a＋b)5的展开式吗？ [提示]　(a＋b)5＝a5＋a4b＋a3b2＋a2b3＋ab4＋b5． [新知生成] 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋，n∈N*． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． (4)通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． (ⅰ)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n．②字母a按降幂排列，从第1项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第1项起，次数由0逐项加1直到n． (ⅱ)二项式定理中，二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数仅指，，…，，与a，b的值无关． [典例讲评]　【链接教材P30例1】 1．(1)求的展开式； (2)化简：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋(x＋1)n－2－…＋(－1)k(x＋1)n－k＋…＋(－1)n． [解]　(1)法一：＝4＋·＋2＋·＋＝81x2＋108x＋54＋＋． 法二：＝＝(1＋3x)4＝[1＋·3x＋(3x)2＋(3x)3＋(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2． (2)原式＝(x＋1)n＋(x＋1)n－1(－1)＋＋…＋(x＋1)n－k(－1)k＋…＋(－1)n＝[(x＋1)－1]n＝xn． [母题探究]　(变题设)若将本例(2)的式子变为“1－2＋4－8＋…＋(－2)n”，求化简结果． [解]　逆用二项式定理，将1看成公式中的a,－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n． 【教材原题·P30例1】 例1　求的展开式． [解]　根据二项式定理， ＝(x＋x－1)6 ＝x6＋x5x－1＋x4x－2＋x3x－3＋x2x－4＋x1x－5＋x－6 ＝x6＋6x4＋15x2＋20＋15x－2＋6x－4＋x－6． 　(1)求形式简单的二项展开式时，要注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． (2)逆用二项式定理可以化简多项式，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数，向二项展开式的形式靠拢． [学以致用]　1．(1)已知3n＋3n-1＋3n-2＋…＋3＋＝1 024，则n＝________． (2)【链接教材P34习题6.3T3】 求的展开式． (1)5　[∵3n＋3n-1＋3n-2＋…＋3＋ ＝3n·10＋3n-1·11＋…＋31·1n-1＋30·1n＝(3＋1)n， ∴4n＝1 024＝45，因此n＝5．] (2)[解]　法一：＝4－·3·＋2－··＋＝x2－2x＋－． 法二：＝＝(2x－1)4 ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋－． 【教材原题·P34习题6.3T3】 用二项式定理展开： (1)9；(2)． [解]　(1)(a＋)9＝a9＋9a8＋36a7＋84a6b＋126a5b＋126a4b＋84a3b2＋36a2b2＋9ab2＋b3． (2)＝． 探究2　二项展开式的通项的应用 　项的系数与二项式系数 [典例讲评]　【链接教材P30例2】 2．(源自湘教版教材)计算(x＋2y)9的展开式中第5项的系数和二项式系数． [解]　(x＋2y)9的展开式的第5项是 T5＝T4＋1＝×x9－4×(2y)4＝×24×x5y4， 所以展开式中第5项的系数是×24＝2 016， 第5项的二项式系数是＝126． 【教材原题·P30例2】 例2　(1)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数； (2)求的展开式中x2的系数． [解]　(1)(1＋2x)7的展开式的第4项是 T3＋1＝×17－3×(2x)3 ＝×23x3＝35×8×x3 ＝280x3． 因此，展开式第4项的系数是280． (2)的展开式的通项是 6－k＝(－1)k26－kx3－k． 根据题意，得3－k＝2，k＝1． 因此，x2的系数是(－1)×25×＝－192． 　正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负． 　展开式中的特定项 [典例讲评]　3．在的展开式中，求： (1)第4项；(2)常数项；(3)有理项． [解]　的展开式的通项为 Tk＋1＝x12－k·＝(－1)k． (1)令k＝3，则T4＝(－1)3＝－220x8． (2)令12－k＝0，解得k＝9， 所以常数项为(－1)9＝－220． (3)当k＝0，3，6，9，12时，Tk＋1是有理项， 分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8， T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220， T13＝x－4＝． [母题探究]　本例条件不变，求中间项． [解]　因为n＝12，所以展开式共有13项，所以中间项为第7项． 令k＝6，得T7＝(－1)6＝924x4． 　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝an－k+1bk－1(k∈N*，k≤n＋1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项即为有理项．解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 　利用二项展开式的通项求参数 [典例讲评]　4．已知的展开式中，常数项为135，则a的值为(　　) A．3　　　 B．－3　　 C．2　　　 D．3或－3 D　[二项展开式的通项为Tk＋1＝·(ax)6－k·＝·(－1)kA6－k ·，k＝0，1，…，6，令6－k＝0，可得k＝4， 因此展开式中的常数项为T5＝·(－1)4·A2＝135， 则a2＝9，a＝±3． 故选D．] 　二项式中的参数求解问题，一类是借助二项展开式的通项求解，需要注意的是展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数是不同的，要特别注意符号；另一类是利用二项式系数或特定项求指数n，要注意n为正整数． [学以致用]　【链接教材P35习题6.3T6】 2．(1)若的二项展开式中常数项为160，则实数a的值为(　　) A．2　　　 B．－2 C．　　　 D．－ (2)(源自人教B版教材)求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． (1)A　[的二项展开式的通项为Tk＋1＝(ax)6－k＝a6－kx6－2k， 令6－2k＝0，解得k＝3， 所以常数项为a6－3＝160，解得a＝2． 则实数a的值为2．故选A．] (2)[解]　因为＝6，所以展开式中的第k＋1项为 Tk+1＝(2)6-k()k＝26-k26-kx3-k． 令3－k＝0，解得k＝3，因此常数项是第4项，且 T4＝26－3x3－3＝160． 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为＝20． 【教材原题·P35习题6.3T6】 求下列各式的二项展开式中指定项的系数： (1)的含的项； (2)的常数项． [解]　(1)含的项是第6项，它的系数是＝－． (2)常数项是第6项，它的系数是·210－5·＝－252． (对应学生用书第27页) 1．在的展开式中，常数项为(　　) A．180　　　 B．270 C．360 　 D．540 A　[根据二项展开式的通项Tk＋1＝·(－2)k·(k＝0，1，2，3，…，10)，令－2k＝0， 得k＝2，故常数项为·(－2)2＝180． 故选A．] 2．(m＞0)的展开式中常数项为60，则m＝(　　) A．　　　 B． C．2　　　 D．3 A　[的展开式的通项为Tk＋1＝＝m6－kx6－3k·(－1)k，0≤k≤6，且k∈N． 令6－3k＝0，得k＝2， 所以m6－2(－1)2＝60，即15m4＝60． 又m＞0，所以m＝．故选A．] 3．2＋22＋…＋210＝(　　) A．210－1 　 B．310－1 C．210＋1 　 D．310＋1 B　[因为20＋2＋22＋…＋210＝(1＋2)10＝310， 所以2＋22＋…＋210＝310－1．故选B．] 4．(教材P31练习T4改编)在的展开式中， (1)第5项的二项式系数为__________，系数为__________； (2)x2的系数为__________． (1)70　1 120　(2)112　[(1)因为T5＝(2x2)4·＝，所以第5项的二项式系数是＝70，第5项的系数是·24＝1 120． (2)的展开式的通项为Tk＋1＝＝(－1)k·28－k ·，根据题意得16－k＝2，解得k＝6， 因此x2的系数是(－1)6·28－6＝112．] 1．知识链： 2．方法链：二项式定理的应用方法，转化化归思想． 3．警示牌：不能准确记忆an－kbk是展开式的第k＋1项致误． 1．你能写出本节课所学的公式吗? [提示]　①二项式定理：(a＋b)n＝an＋an-1b1＋…＋an-kbk＋…＋bn，n∈N*． ②二项展开式的通项：第k＋1项Tk+1＝an-kbk． 2．你能写出(a－b)n的展开式的通项吗? [提示]　Tk+1＝(－1)kan-kbk． 3．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同吗?第k＋1项相同吗? [提示]　展开式相同，第k＋1项不同． (a＋b)n的展开式的第k＋1项为Tk+1＝an-kbk， 而(b＋a)n的展开式的第k＋1项为Tk+1＝bn-kak． 课时分层作业(八)　二项式定理 (对应学生用书第127页) 一、选择题 1．(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于(　　) A．17 　 B．16 C．15 　 D．14 C　[∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15．故选C．] 2．(2024·北京卷)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 　 B．－6 C．12 　 D．－12 A　[4的展开式的通项为Tk＋1＝x4－k·k＝，k＝0，1，2，3，4， 令4－＝3，解得k＝2， 故所求系数为(－1)2＝6．] 3．设A＝37＋×35＋×33＋×3，B＝×36＋×34＋×32＋1，则A－B＝(　　) A．128 　 B．129 C．47 　 D．0 A　[A－B＝×37－×36＋×35－×34＋×33－×32＋×31－×30＝(3－1)7＝27＝128．故选A．] 4．的展开式中，常数项为(　　) A．6 　 B．15 C．12 　 D．20 B　[展开式的通项为Tk＋1＝x6－k＝， 令6－＝0，解得k＝4， 所以展开式的常数项为＝15， 故选B．] 5．(多选)在的展开式中，有(　　) A．含x的项 　 B．含的项 C．含x4的项 　 D．含的项 ABC　[的展开式的通项为Tk＋1＝(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5．当10－3k＝1时，k＝3，A正确；当10－3k＝－2时，k＝4，B正确；当10－3k＝4时，k＝2，C正确；当10－3k＝－4时，k＝，D错误．故选ABC．] 二、填空题 6．在的展开式中，常数项为 ________． 8　[的展开式的通项为Tk＋1＝＝24－k· ·(k＝0，1，2，3，4)， 令4－k＝0，得k＝3， 所以展开式中的常数项为24－3＝8．] 7．5＋5的展开式中，x2的系数是________． 10　[5＋5的展开式中，含x2的项为114＋114＝10x2， 故展开式中x2的系数是10．] 8．设常数a∈R，若的二项展开式中x7的系数为－10，则a＝________，x4的系数为________． －2　40　[的展开式的通项为Tk＋1＝x10－2k·＝akx10－3k． 令10－3k＝7，得k＝1，所以x7的系数是a． 因为x7的系数是－10，所以a＝－10，解得a＝－2． 令10－3k＝4，则k＝2． 所以x4的系数是a2＝(－2)2＝40．] 三、解答题 9．已知的展开式中，第3项的系数比第2项的系数大162． (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． [解]　(1)因为T3＝n－2＝4， T2＝n－1＝－2， 依题意得，4＋2＝162， 所以2＋＝81， 所以n2＝81， 又n∈N*，故n＝9． (2)的展开式的通项为Tk＋1＝9－k＝(－2)k， 令＝3，解得k＝1， 所以含x3的项为T2＝－2x3＝－18x3， 二项式系数为＝9． 10．在(1＋x)8的展开式中，系数为整数的项的个数为(　　) A．9　　B．4　　C．3　　D．2 C　[(1＋x)8的展开式的通项为 Tk+1＝x)k＝x)k＝xk，k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8， 因为k∈Z，所以k＝0，3，6， 所以系数为整数的项为第1，4，7项，故有3项． 故选C．] 11．的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是(　　) A．第3项 　 B．第4项 C．第7项 　 D．第8项 B　[由题意可得－＝44， 即(n＋8)(n－11)＝0， 解得n＝11或n＝－8(舍去)， 故＝， 其展开式的通项为Tk＋1＝11－k＝(0≤k≤11，k∈N)， 令＝0，解得k＝3， ∴展开式中的常数项是第4项．故选B．] 12．(多选)在的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．展开式中各项的通项为Tk＋1＝ B．展开式中各项的系数等于其二项式系数 C．x的幂指数是整数的项共有5项 D．展开式中存在常数项 ABC　[Tk＋1＝＝，A，B正确；当k分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数，C正确；展开式中不存在常数项，D错误．故选ABC．] 13．若多项式x8－x10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a9(2＋x)9＋a10(2＋x)10，则a8＝________． －179　[由多项式x8－x10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a9(2＋x)9＋a10(2＋x)10， 则[(2＋x)－2]8－[(2＋x)－2]10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a9(2＋x)9＋a10(2＋x)10，则a8＝×(－2)0－×(－2)2＝－179．] 14．已知＋n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍． (1)求n的值； (2)写出展开式中的所有有理项． [解]　(1)＋n(其中n<15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别是，，． 依题意得，＋ ＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15， 所以n＝14． (2)＋14的展开式的通项为 Tk＋1＝＝， 当且仅当k是6的倍数时，展开式中的项是有理项， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 k＝0，T1＝x7＝x7； k＝6，T7＝x6＝3 003x6； k＝12，T13＝x5＝91x5． 15．设(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B．若B＝4A，则a的值是________． 2　[(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝x6－k＝， 令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4， ∴B＝(－a)4，A＝(－a)2． ∵B＝4A，a>0，∴a＝2．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $