6.3 探究课3 杨辉三角的性质与应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦杨辉三角的性质与应用，系统梳理其与二项式展开式系数的对应关系，涵盖对称性、递归性、行和为2ⁿ等核心性质，作为二项式定理学习的重要支架。 资料以杨辉三角结构观察为起点（数学眼光），通过性质推导与典例解析培养逻辑推理能力（数学思维），结合图表与符号精准表达数学规律（数学语言）。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

　杨辉三角的性质与应用 (对应学生用书第33页) 1．如图所示，结合杨辉三角与(a＋b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质： 第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数； 当行数n为偶数时，最大； 当行数n为奇数时，和最大． 2．杨辉三角中各数字之间存在的性质 (1)对称性：每行中与首末两端“等距离”的数相等，即＝，如图1． (2)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋． (3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如图2． (4)第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，如图3． (5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即()2＋()2＋()2＋…＋()2＝，如图4． 【典例】　(1)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家．在他的著作《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，称为“开方作法本源图”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．若用ai－j表示三角形数阵的第i行第j个数，则a100－3为(　　) A．5 050 　 B．4 851 C．4 950 　 D．5 000 (2)(多选)如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是(　　) A．＋＝ B．第8行所有数字之和为256　 C．＋＋＋＋＋＋＋＝494 D．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则＝ (1)B　(2)BC　[(1)依据二项展开式系数可知，第i行第j个数应为，故第100行第3个数为＝＝4 851．故选B． (2)对于选项A，因为＋＝＝ ＝＝， 所以＋＝，故A不正确； 对于选项B，由杨辉三角的性质可知：第n行各数的和为2n， 所以第8行所有数字之和为28＝256，故B正确； 对于选项C，＋＋＋＋＋＋＋＝－1＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝－1＋＋＋＋＋＋＋＋＝－1＋＋＋＋＋＋＋ ＝…＝－1＋＝－1＋495＝494，故C正确； 对于选项D，第20行数字的最大值为a＝， 第21行数字的最大值为b＝＝， 所以＝＝＝，故D不正确． 故选BC．] 1．下面是当n＝1，2，3，4，5时，(a＋b)n(n∈N*)的展开式的二项式系数表示图． 借助上图，判断λ，μ的值分别是(　　) A．5，9 　 B．5，10 C．6，9 　 D．6，10 D　[观察题图可分析出图中的数的特点如下： (1)每一行有(n＋1)个数字，每一行两端的数字均为1； (2)从第二行起，每一行除1以外的数字都等于它上一行相邻(即两肩上)的两个数字的和， 即＝＋，n，m∈N*． 所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10．故选D．] 2．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释了二项式乘方展开的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}．若数列{an}的前n项和为Sn，则S47等于(　　) A．235 　 B．512 C．521 　 D．1 033 C　[根据题意，杨辉三角前9行共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(项)，故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，所以前47项的和S47＝20＋21＋22＋…＋28＋1＋9＝29－1＋10＝521．故选C．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $