6.2.3 组合 6.2.4 第1课时 组合及组合数的定义-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学组合及组合数的定义这一核心知识点，通过对比排列问题引入组合概念，系统推导组合数公式，结合单循环比赛人员选拔等实例构建从概念理解到公式应用的完整知识链。 资料以问题驱动和实例分析为特色，通过班级选班委等现实情境引导学生用数学眼光观察组合与顺序的关系，在公式推导中培养逻辑推理能力，典例与分层练习帮助学生用数学语言解决实际问题。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾知识要点，弥补学习薄弱环节。

6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第1课时　组合及组合数的定义 [学习目标]　1．通过实例，理解组合的概念．能写出一些简单问题的所有组合．(数学抽象) 2．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．(逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．组合的概念是什么？ 问题2．什么是组合数？组合数公式是什么？ 问题3．你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？ (对应学生用书第16页) 探究1　组合的概念 问题1　①从全班40名同学中选出5人组成班委会． ②从全班40名同学中选出5人分别担任班委中的5个不同职务． 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同？ [提示]　问题②是排列，问题①选出的5名同学组成班委会，与顺序无关；问题②选出的5名同学分别担任班委中的5个不同职务，与元素的顺序有关． [新知生成] 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【教用·微提醒】　(1)排列与组合的共同点：都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素； 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关． (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． [典例讲评]　1．判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ [解]　(1)单循环比赛要求两支球队之间只进行一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题． (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． 　判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． [学以致用]　1．(1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ B．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 C．从10人中选出7人去看同一场电影 D．将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本 (2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积． (1)CD　[对于A，因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．对于B，由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，所以它是排列问题．C、D均与顺序无关，是组合问题，故选CD．] (2)[解]　得到的对数有log23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12个， 所有的乘积有2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，3×4＝12，3×5＝15，4×5＝20，共6个． 探究2　组合与组合数公式 问题2　从1，3，5，7中任取两个数相除，可得到个商数，也可用分步法求商的个数，按照下列步骤得到： 第1步，从这四个数中任取两个数，有种方法； 第2步，将每个组合中的两个数排列，有种排法． 由分步乘法计数原理，可得商的个数为，由此你能得到和的关系吗？ [提示]　＝＝6． [新知生成] 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：(n，m∈N*，并且m≤n)． 规定：＝1． 【教用·微提醒】　(1)m≤n，m，n∈N*； (2)常用于计算； 常用于证明． 　利用组合数公式化简求值 [典例讲评]　【链接教材P24例6】 2．(1)求值：＋； (2)已知－＝，求． [解]　(1)＋＝＋200 ＝4 950＋200＝5 150． (2)由－＝，得 －＝， ∴1－＝， 即n2－23n＋42＝0，解得n＝2或n＝21， 又0<n≤5，∴n＝2，∴＝＝28． 【教材原题·P24例6】 例6　计算：(1)； (2)； (3)； (4)． [解]　根据组合数公式，可得 (1)＝＝＝120； (2)＝＝＝＝120； (3)＝＝＝1； (4)＝1． 　利用组合数证明 [典例讲评]　3．证明：＝． [证明]　因为右边＝＝· ＝＝＝左边， 所以原等式成立． 　(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别． (2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即中的n为正整数，m为自然数，且n≥m．因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合条件的解舍去． [学以致用]　2．(1)计算：－·； (2)证明：m＝n． [解]　(1)原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0． (2)[证明]　m＝m· ＝＝n· ＝n，所以原等式成立． 探究3　简单的组合问题 [典例讲评]　4．在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培训．甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？ [解]　甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问题，共有＝28(种)不同的选法． [母题探究] 1．(变条件)本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人不能参加”，有多少种不同的选法？ [解]　甲、乙二人不能参加，则只需从另外的8人中选4人，共有＝70(种)不同的选法． 2．(变条件)本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人只能有1人参加”，有多少种不同的选法？ [解]　甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，有＝2(种)选法；再从另外8人中选3人，有种选法，共有＝112(种)不同的选法． 　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏． [学以致用]　3．(1)(源自湘教版教材)平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？ (2)现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． ①现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ ②选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ ③现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ [解]　(1)如图所示，以A为端点，到其余四点的线段有4条：AB，AC，AD，AE； A不是端点，以B为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC，BD，BE； A，B都不是端点，C为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD，CE； A，B，C都不是端点，剩下两点D，E为端点的线段只有1条：DE． 共有4＋3＋2＋1＝10(条)不同的线段． (2)①从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即＝＝45． ②可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有种选法； 第2类，选出的2名是女教师有种选法． 根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21(种)不同的选法． ③从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种． 根据分步乘法计数原理，共有不同的选法×＝15×6＝90(种)． (对应学生用书第19页) 1．以下四个命题，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 C　[从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．故选C．] 2．(教材P25练习T1改编)计算：＋＝(　　) A．8　　　 B．10　　 C．12　　　 D．16 B　[＋＝＋4＝6＋4＝10．故选B．] 3．(多选)使不等式≥(n∈N*)成立的n的取值可以是(　　) A．3 　 B．4 C．5 　 D．6 ABC　[在中，n∈N*，且n≥2， 在中，n∈N*，且n≥3， 即n∈N*，n≥3． 因为≥， 则有≥， 即n－2≤3，解得n≤5， 因此有3≤n≤5，n∈N*， 所以n的取值可以是3，4，5．故选ABC．] 4．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 　[所有的基本事件有＝10(个)， 其中甲、乙都入选的有＝3(个)， 所以甲、乙都入选的概率P＝．] 1．知识链： 2．方法链：组合数的计算方法、树状图法、公式法． 3．警示牌：不能正确理解“排列”与“组合”的联系与区别而致误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．写出本节课学习的公式． [提示]　①＝(n，m∈N*，且m≤n)； ②＝＝(n，m∈N*，且m≤n)； ③＝1． 2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？ [提示]　关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题． (对应学生用书第19页) 把相同物品分给不同对象的分法种数 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？ 由于每个篮球都相同，因此只要指出每人所得篮球的个数即可，比如，甲得2个、乙得3个、丙得3个、丁得0个，就是一种满足条件的分法．可能有人会想到通过列举来求解上述问题，但是，经过简单的尝试之后，你就会发现，这个问题可能比想象中的难． 注意到每一种满足条件的分法本质上就是把8个球分为了4堆，为此可借助3块隔板来实现．例如，上述满足条件的分法可以用图1表示，其中第一块隔板前的篮球是分给甲的，第一块和第二块隔板之间的篮球是分给乙的，第二块和第三块隔板之间的篮球是分给丙的，第三块隔板后的篮球是分给丁的． 容易知道，任何一种类似图1的排列都对应一种分法，例如，图2对应的分法为：甲得1个，乙得0个，丙得0个，丁得7个． 这样一来，问题就转化为8个相同的篮球和3块相同的隔板，可以有多少种不同的排列方法． 因为总共有8＋3＝11(个)位置，所以我们只需要从这11个位置中选出3个放置隔板(其余放置篮球)即可，因此不同的方法种数为＝＝165． 也就是说，我们有165种不同的分法． 有意思的是，如果设甲、乙、丙、丁4人所得篮球个数分别为x1，x2，x3，x4，则不难看出，我们得到了方程x1＋x2＋x3＋x4＝8的非负整数解(x1，x2，x3，x4)个数为165． 类似地，可以得到把n个相同的物品分给r个不同对象的方法数(其中r和n均为正整数)就是方程x1＋x2＋…＋xr＝n的非负整数解(x1，x2，…，xr)的个数，请自己尝试一下吧！ 课时分层作业(六)　组合及组合数的定义 (对应学生用书第121页) 一、选择题 1．(多选)下列问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式 D．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个，组成三位数 AC　[对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故A是组合问题； 对于B，从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数， 选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序组成三位数，故B不是组合问题； 对于C，从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式，只需选出3人即可，无排序要求，故C是组合问题； 对于D，与顺序有关，是排列问题． 故选AC．] 2．从4个男生和2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有(　　) A．120种　 B．60种 C．20种 　 D．40种 C　[从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有＝20(种)， 故选C．] 3．下列计算结果为21的是(　　) A．　　 B． C．　　 D． D　[＝＝21，其余选项可逐一排除．故选D．] 4．在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有4个点，y轴正半轴上有6个点，将x轴上的4个点和y轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有(　　) A．90个 　 B．85个 C．80个 　 D．75个 A　[任取x轴、y轴上的两点，可以组成一个四边形， 这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，即·＝90． 所以这24条线段在第一象限内的交点最多有90个． 故选A．] 5．(多选)下列等式正确的有(　　) A．＝ 　 B．＝ C．＝ 　 D．＝ AC　[对于A，等式是组合数公式，故A正确；对于B，＝＝，故B错误；对于C，D，由×＝＝，故C正确，D错误．故选AC．] 二、填空题 6．若＝4，则n＝________． 6　[由＝4，得5×4×3＝4×， 即n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)． 故答案为6．] 7．已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 ________个圆内接三角形． 120　[∵某圆上的10个不同的点不共线，且从10个点任选3个点取法有＝120(种)， ∴一共可画120个圆内接三角形． 故答案为120．] 8．若＝，则n＝________． 4　[根据题意，若＝，即＝＝， 解得n＝4． 故答案为4．] 三、解答题 9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ (3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，总共需要进行多少场？ (4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？ (5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？ [解]　(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为＝90． (2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为＝＝45． (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序区别，组合数为＝＝45． (4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序区别，组合数为＝＝120． (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为＝720． 10．(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．·种　　 B．·种 C．·种 　 D．·种 D　[由题意知，初中部和高中部学生人数之比为＝，所以抽取的60名学生中初中部应有60×＝40(人)，高中部应有60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有·种．故选D．] 11．若身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法种数是(　　) A．5 040　 　 B．36　 C．18　 　 D．20 D　[最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，∴排法有＝20(种)．] 12．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线段的交点不同，则所有线段在圆内的交点有(　　) A．36个 　 B．72个 C．63个 　 D．126个 D　[此题可转化为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为＝126(个)．故选D．] 13．围棋在中国古时称“弈”，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成．则围棋棋盘上的矩形数量为 ________．(用数字作答) 29 241　[矩形是在同一平面内，由两组平行线段组成，且每两相交线段均垂直的闭合图形， 则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可， 即×＝29 241． 故答案为29 241．] 14．某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？ (1)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个； (2)甲、乙两个景点至多选一个； (3)甲、乙两个景点至少选一个． [解]　(1)甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个，有＝12(种)选法． (2)若甲、乙两个景点都不去有＝15(种)选法，甲、乙两个景点只去一个有＝12(种)选法． 则甲、乙两个景点至多选1个有15＋12＝27(种)选法． (3)甲、乙两个景点都不去有种选法， 则甲、乙两个景点至少选1个的选法有－＝28－15＝13(种)． 15．正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为________．(用数字作答) 12　[根据题意作出正八面体，根据三棱锥的结构特征，正八面体共有6个顶点，其中有3组不同的四点共面， 则以正八面体顶点为顶点的三棱锥的个数为－3＝12． 故答案为12．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $