6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学排列的综合应用，系统梳理数字排列（含特殊元素0处理）、排队问题（元素“在”与“不在”、相邻与不相邻、定序）等核心内容，构建“特殊元素/位置分析—捆绑法—插空法—定序除法—间接法”的递进式学习支架。 资料以教材例题为基础，通过母题探究变式训练（如数字排列变结论、排队问题多情境设计），培养学生逻辑推理与数学建模能力。方法链清晰，如用捆绑法解决相邻问题、插空法解决不相邻问题，助力教师课堂教学，课后练习题分层设计，帮助学生查漏补缺，提升数学运算与应用意识。

第2课时　排列的综合应用 [学习目标]　1．掌握几种有限制条件的排列．(逻辑推理) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(数学运算、数学建模) (对应学生用书第13页) 探究1　数字排列问题 [典例讲评]　【链接教材P19例4】 1．用0，1，2，3，4，5这六个数字(最后运算结果请以数字作答)： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且比1 230大的四位数？ [解]　(1)符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类，0在个位时，有个； 第二类，2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，于是有个； 第三类，4在个位时，与第二类同理，也有个， 由分类加法计数原理知，共有四位偶数 ＋2＝156(个)． (2)符合要求的数可分为两类： 第一类，个位上的数字是0的四位数有个； 第二类，个位上的数字是5的四位数有个， 故满足条件的四位数共有 ＋＝108(个)． (3)比1 230大的四位数可分为四类： 第一类，形如2 □□□，3 □□□，4 □□□，5 □□□，共有个； 第二类，形如1 3□□，1 4□□，1 5□□，共有个； 第三类，形如1 24□，1 25□，共有个； 第四类，形如1 23□，共有个， 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 230大的四位数共有 ＋＋＋＝284(个)． [母题探究]　(变结论)若本例中的条件不变，则能组成多少个无重复数字的六位奇数？ (1)法一(特殊位置分析法)：如图， 从个位入手：个位排奇数，即从1，3，5中选1个，有种方法，首位数从排除0及个位数余下的4个数字中选1个，有种方法，余下的数字可在其他位置全排列，有种方法，由分步乘法计数原理可得，共有××＝288(个)不同的六位奇数． 法二(特殊元素分析法)：0不在两端有种排法． 从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列． 故所排六位奇数共有××＝288(个)． 法三(排除法)：从整体上排除：6个数字的全排列有种排法． 0，2，4在个位上有3种排法，而1，3，5在个位上且0在首位上有3种排法． 故符合条件的六位奇数有－3－3＝288(个)． 法四(排除法)：从局部上排除：个位上任选一个奇数，有种排法，其余各位上任意排，有种排法，共有种排法． 其中，首位是0的情况有种，故符合条件的六位奇数有－＝288(个)． 【教材原题·P19例4】 例4　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ [分析]　在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题． [解]　解法1：如图6.2－5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为×＝9×9×8＝648． 　 解法2：如图6.2－6所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法． 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 ＋＋＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648． 解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为 －＝10×9×8－9×8＝648． 　数字排列问题的解题原则 解决数字排列问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． [学以致用]　1．(源自人教B版教材)用0，1，2，…，9这10个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？ [解]　满足条件的四位偶数可以分为两类： 第一类的末位数字是0，有个； 第二类的末位数字不是0．要排成这样的四位偶数，可以分成三个步骤来完成： 第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有种方法； 第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有种方法； 第三步，确定中间两位数字，有种方法． 由分步乘法计数原理可知，这样的数字有个． 由分类加法计数原理可知，满足条件的四位偶数的个数为＋＝9×8×7＋4×8×8×7＝2 296． 探究2　排队问题 　元素的“在”与“不在”问题 [典例讲评]　2．从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ [解]　(1)把元素作为研究对象． 第一类，不含甲，此时只需从除甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个放甲，再从除甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法．根据分步乘法计数原理可知，有4×种排法． 由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2 160(种)排法． (2)把位置作为研究对象． 第一步，从除甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法． 根据分步乘法计数原理可知，共有＝1 800(种)排法． (3)把位置作为研究对象． 第一步，从除甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法． 根据分步乘法计数原理可知，共有＝1 200(种)排法． (4)间接法． 总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有－2＋＝1 860(种)排法． 　“在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先． (2)方法：①以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；②以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；③用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数． 　“相邻”与“不相邻”问题 [典例讲评]　3.3名男生，4名女生共7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的排法？ (1)男、女各站在一起； (2)男生必须站在一起； (3)男生不能站在一起； (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻． [解]　(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有种排法，由分步乘法计数原理知，共有··＝288(种)排法． (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有·＝720(种)不同的排法． (3)(不相邻问题插空法)先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有种排法，故有·＝1 440(种)不同的排法． (4)先排男生有种排法，让女生插空，有·＝144(种)不同的排法． 　处理元素“相邻”或“不相邻”的问题应遵循“先整体，后局部”的原则．对于元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，再松绑，将这若干个元素内部全排列．对于元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 　定序问题 [典例讲评]　4.7人站成一排． (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ [解]　(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法． (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的． 故有＝840(种)不同的排法． 　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个： (1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法； (2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中． [学以致用]　 2．(1)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　) A．共有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的排法共有120种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为120 D．男、女生相间的排法总数为72 (2)某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相，其中有3位老人要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有________种． (1)BC　(2)20　[(1)3男3女排成一排，共有＝720(种)排法；男生甲排在两端的排法共有2＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数为＝240；男、女生相间的排法总数为2＝72．故选BC． (2)5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老人的排列顺序已定，因此满足3位老人按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有＝20(种)．] (对应学生用书第15页) 1．A，B，C，D，E 5人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有(　　) A．60种　　 B．48种　 C．36种　　 D．24种 D　[把A，B视为一人，且B排在A的右边，则相当于4人的全排列，故有＝24(种)排法．故选D．] 2．(教材P27习题6.2T12改编)用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．36 　 B．30 C．40 　 D．60 A　[奇数的个位数字为1，3或5，所以个位数字的排法有种，十位数字和百位数字的排法有种，故奇数有·＝3×4×3＝36(个)．故选A．] 3．东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有(　　) A．120种 　 B．240种 C．480种 　 D．720种 B　[因为米一同学想与佳艳、刘西排一起， 所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有种， 又因为米一同学想与佳艳、刘西排一起，且在她们中间，则佳艳、刘西全排列有种， 所以全部排法有＝240(种)． 故选B．] 4．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有______个七位数符合条件． 210　[若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的． 故有×＝210(个)七位数符合条件．] 1．知识链： 2．方法链：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法． 3．警示牌：不能正确使用各种排列的方法致误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．含有“特殊元素”的排列问题的解题策略是什么？ [提示]　采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求． 2．对于元素有特殊位置的排列问题的解题策略是什么？ [提示]　以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置． 3．对于“元素相邻”和“元素不相邻”的排列问题的解决方法是什么？ [提示]　元素相邻问题采用“捆绑”法，不相邻问题采用“插空”法． 课时分层作业(五)　排列的综合应用 (对应学生用书第119页) 一、选择题 1．(多选)3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是(　　) A．任意站成一排，有120种排法　 B．学生不相邻，有24种排法　 C．教师相邻，有48种排法　 D．教师不站在两边，有72种排法 AC　[任意站成一排，有＝120(种)排法，A正确； 先排老师，然后插空，即＝12(种)排法，B错误； 教师相邻用捆绑，即＝48(种)排法，C正确； 教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即＝36(种)排法，D错误． 故选AC．] 2．加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么不同的加工方法有(　　) A．24种　　 B．32种　 C．48种　 　 D．64种 A　[根据题意，分2步进行分析： ①将AB看成一个整体，与E全排列，有＝4(种)排法， ②排好后，有3个空位，将CD安排在空位中，有＝6(种)排法， 则有4×6＝24(种)加工方法， 故选A．] 3．(多选)用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则(　　) A．可以组成60个三位数 B．在组成的三位数中，各位数字之和为8的个数为12 C．在组成的三位数中，比400大的个数为12 D．在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为20 ABD　[用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数， 可以组成三位数的个数为＝5×4×3＝60(个)，故A正确； 1＋2＋5＝1＋3＋4＝8， ∴在组成的三位数中，各位数字之和为8的个数为2＝12，故B正确； 在组成的三位数中，比400大的个数为＝24，故C错误； 在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为＋＋＝20，故D正确． 故选ABD．] 4．小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有(　　) A．36种 　 B．48种 C．72种 　 D．144种 C　[由题意得，不同的串法有＝72(种)． 故选C．] 5．有甲、乙等5名同学咨询数学知识竞赛分数．老师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同．则这5名同学的可能排名有(　　) A．42种 　 B．72种 C．78种 　 D．120种 C　[甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同． 则不同的排名共有－2＋＝78(种)． 故选C．] 二、填空题 6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．(用数字作答) 186　[没有女生的选法有种， 一共有种选法， 则至少有1名女生的选派方案共有 －＝186(种)．] 7．某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言，其中负责人甲、乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有________种． 144　[将甲乙捆绑看作一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言， 则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有＝48(种)方法， 故不同的安排方法共有3×48＝144(种)．] 8．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为________． 24　[1与4相邻，共有＝2(种)排法， 两个2之间插入1个数，共有＝2(种)排法， 再把组合好的数全排列，共有＝6(种)排法， 则总共有2×2×6＝24(种)密码．] 三、解答题 9．三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)如果男生甲、乙之间能且仅能站两个女生，可有多少种不同的排法？ [解]　(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法．因此共有·＝4 320(种)不同的排法． (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法，因此共有·＝14 400(种)不同的排法． (3)法一(位置分析法)：因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有种不同的排法，对于其中任意一种排法，其余六个位置都有种不同的排法，所以共有·＝14 400(种)不同的排法． 法二(间接法)：三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的·种排法和女生排在末位的·种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有·种不同的排法，所以共有－2·＋·＝14 400(种)不同的排法． 法三(元素分析法)：从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法，所以共有·＝14 400(种)不同的排法． (4)法一(位置分析法)：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有·种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有··种不同的排法，因此共有·＋··＝36 000(种)不同的排法． 法二(间接法)：三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法·种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有－·＝36 000(种)不同的排法． (5)男生甲、乙站好有种站法，从三个女生中选2人站在甲、乙之间有种站法， 再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外4人排成一队有种站法， 所以共有··＝1 440(种)不同的排法． 10．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为8”的不同的放法有(　　) A．16种 　 B．32种 C．64种 　 D．96种 C　[在1，2，3，4，5，6六个数字中，2＋6＝3＋5＝8， 若左边一列两个数字为2和6， 根据题意，3，5不能放在一列， 此时，右边两列不同的填数字的方法种数为－2＝16， ∴若左边一列两个数字为2和6，符合条件的放法种数为2×16＝32， 同理，若左边一列两个数字为3和5，符合条件的放法种数为32， ∴满足条件的放法种数为32×2＝64． 故选C．] 11．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有(　　) A．720种 　 B．1 440种 C．2 880种 　 D．4 320种 B　[环排问题线排策略，增加一个凳子， 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，除乙、丙外将其他五人放入中间有＝120(种)， 因为甲、乙、丙两两不相邻， 所以乙、丙只能放中间四空中，共有＝12(种)， 由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有120×12＝1 440种． 故选B．] 12．(多选)在元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．以下说法中正确的是(　　) A．有种不同的节目演出顺序 B．当4个舞蹈节目接在一起时，有种不同的节目演出顺序 C．当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D．若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 ACD　[对于A，10个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B，当4个舞蹈节目接在一起时，把4个舞蹈节目看成一个元素，与其他6个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而4个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C，把6个演唱节目排列，有种顺序，再把4个舞蹈节目插入到7个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D，12个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的10个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的10个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确．故选ACD．] 13．如图，左边是编号为1，2，3，4的A型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的B型钢板，现将两堆钢板自下而上地堆放在一起．则B型钢板均不相邻的放法共 ________种；乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法共 ________种． 1 440　336　[根据题意，第一空：先将A型钢板放好，有＝24(种)放法， 排好后，有5个空位，再将B型钢板插在其空位中，有＝60(种)情况， 则共有24×60＝1 440(种)不同的放法． 第二空：要求乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等， 则乙号钢板上方为1，4号A型钢板，下方为2，3号A型钢板或者上方为2，3号A型钢板，下方为1，4号A型钢板， 则A型钢板的放法有××＝8(种)， 排好后，有6个空位，则甲号钢板有6种放法， 排好后，有7个空位，则丙号钢板有7种放法， 则有8×7×6＝336(种)放法．] 14．用0，1，2，3，4五个数字： (1)可组成多少个无重复数字的五位数？ (2)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ (3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ (4)在没有重复数字的五位数中，比42 130小的数有几个？按从小到大排列，则第61个数是多少？ (5)可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数？ [解]　(1)法一：考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有4种填法， 其余4个数字全排列，有种排法， 故共有·＝96(个)符合条件的五位数． 法二：先考虑特殊元素“0”，先排0， 从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入， 有种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有种排法， 故共有·＝96(个)符合条件的五位数． (2)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类： 取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有种填法，再填其余位有种排法，故有2个；不取0，则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行全排列，故有2种排法．所以共有2＋2＝8＋12＝20(个)符合条件的三位数． (3)考虑特殊位置个位和万位，先填个位， 从1，3中选一个填入个位，有种填法， 然后从剩余3个非0数中选一个填入万位， 有种填法，最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为，故共有··＝36(个)符合条件的五位奇数． (4)按分类加法计数原理，当万位数字为1，2，3时均可以，共有·个数； 当万位数字为4，千位数字为0，1时均满足，共有·个数； 当万位数字为4，千位数字为2，百位数字为0，1时均满足(除去42 130)， 共有(·－1)， 所以比42 130小的数有·＋·＋·－1＝87(个)． 万位是1，2的各有个数，万位是3，千位是0，1的各有个数，所以共有2＋2＝60个数，故第61个数为32 014． (5)运用排除法，先将1，3在奇数位上排列，有种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排列，有种排法， 而其中1，3在个位和百位上，0在万位上的排法不符合题意，有·种排法． 所以符合条件的五位数共有－＝32(个)． 15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶的音序，要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成________种不同的音序． 32　[若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有)＝24(种)； 若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的情况；若“角”在第二个或第四个位置，则有2＝8(种)． 综上共有24＋8＝32(种)不同的音序．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $