6.2.2 第1课时 排列数公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦排列数公式这一核心知识点，从选数字组无重复数字的两位数、三位数等具体问题切入，通过计数原理推导排列数的乘积式与阶乘式，明确排列数定义、全排列及阶乘概念，结合表格归纳和微提醒构建从具体到抽象的知识支架。 资料以问题驱动探究，通过数字卡片游戏引导学生抽象排列数概念培养数学抽象素养，典例涵盖计算、方程求解及证明如解方程3Aₓ⁸=4Aₓ₋₁⁹提升数学运算能力。课中助力教师引导学生理解公式特征，课后分层作业与知识回顾帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

6.2.2　排列数 第1课时　排列数公式 [学习目标]　1．能用计数原理推导排列数公式．(数学抽象) 2．能运用排列数公式熟练地进行相关计算．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．排列数公式有什么特点？ 问题2．什么是全排列？ (对应学生用书第10页) 探究1　排列数公式 问题　两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏． (1)从这4个数字中选出2个数字能构成多少个无重复数字的两位数？ (2)从这4个数字中选出3个数字能构成多少个无重复数字的三位数？ (3)每一个两位数或三位数是取出的卡片按“百、十、个”的顺序排成的一个排列，不同的排列种数就是两位数或三位数的个数．若记或表示两位数或三位数的个数，你能得出的意义和的值吗？ [提示]　(1)4×3＝12(个)无重复数字的两位数． (2)4×3×2＝24(个)无重复数字的三位数． (3)由(1)、(2)可得， ＝4×3＝12，＝4×3×2＝24． 表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即＝n(n－1)(n－2)． [新知生成] 排列数 的定义 及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列 阶乘的概 念及表示 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示 排列数 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况 ＝n!，1!＝1，0!＝1 【教用·微提醒】　1．排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积．(2)最大的因数是第一个数，即A的下标n，最小的因数是第m个数，即n－m＋1．(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立． 2．阶乘式的分子是的下标的阶乘，分母是下标与上标差的阶乘． [典例讲评]　【链接教材P19例3】 1．(源自北师大版教材)计算下列排列数： (1)；(2)；(3)；(4)． [解]　(1)＝15×14×13＝2 730． (2)＝50×49×48＝117 600． (3)＝5!＝120． (4)＝6＝720． 【教材原题·P19例3】 例3　计算：(1)； (2)； (3)； (4)×． [解]　根据排列数公式，可得 (1)＝7×6×5＝210； (2)＝7×6×5×4＝840； (3)＝＝7×6×5＝210； (4)×＝6×5×4×3×2×1＝6!＝720． 　排列数的计算方法 (1)常用公式：排列数的乘积公式． (2)乘积公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数． (3)应用排列数公式的阶乘形式，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． [学以致用]　【链接教材P20练习T1】 1．(1)＋＝(　　) A．12　　　 B．18　　 C．24　　　 D．30 (2)对于满足n≥4的任意正整数n，4×5×…×n＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． (1)B　(2)D　[(1)＋＝3×2＋4×3＝18．故选B． (2)由4×5×…×n可知， 最大的数是n，共连续n－3个数的积， 因此原式＝． 故选D．] 【教材原题·P20练习T1】 先计算，然后用计算工具检验： (1)；(2)；(3)－15；(4)． [解]　(1)11 880；(2)40 320；(3)0；(4)6． 探究2　与排列数有关的求解与证明 　与排列数相关的方程或不等式 [典例讲评]　2．(1)解方程：3＝4； (2)解不等式：>6． [解]　(1)由3＝4， 得＝， 即＝， 化简得x2－19x＋78＝0， 解得x＝6或x＝13． ∵0<x≤8且0<x－1≤9，x∈N*， ∴原方程的解为x＝6． (2)原不等式可化为>， 即x2－21x＋104>0， 整理得(x－8)(x－13)>0， ∴x<8或x>13． 又易得2<x≤9，x∈N*， ∴2<x<8，x∈N*． 故x＝3，4，5，6，7． ∴不等式的解集为{3，4，5，6，7}． 　证明问题 [典例讲评]　3．求证：(1)＝(n＋1)． (2)＝1×3×5×…×(2n－1)． [证明]　左边＝＝ ＝(n＋1)＝右边， 所以原等式成立． (2)＝ ＝ ＝＝1×3×5×…×(2n－1)，故原等式成立． 　排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和解不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． [学以致用]　2．(1)(多选)下列等式正确的是(　　) A．(n＋1)＝ 　 B．＝(n－2)! C．＝ D．＝ (2)不等式－n<15的解集为________． (1)ABD　(2){2，3，4}　[(1)对于A，(n＋1)＝(n＋1)·＝ ＝＝，正确； 对于B，＝ ＝(n－2)！，正确； 对于C，≠，错误； 对于D，＝· ＝＝，正确． (2)由－n<15， 得n(n－1)－n－15<0， 整理得n2－2n－15<0， 解得－3<n<5． 又因为n≥2且n∈N*， 所以n＝2，3，4．故原不等式的解集为{2，3，4}．] 探究3　排列数公式的简单应用 [典例讲评]　4．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ [解]　分3类： 第1类，用1面旗表示的信号有种； 第2类，用2面旗表示的信号有种； 第3类，用3面旗表示的信号有种， 由分类加法计数原理，可得所求的信号种数是 ＋＋＝3＋3×2＋3×2×1＝15， 即一共可以表示15种不同的信号． 　(1)对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法． (2)情况较多的情形，则先进行分类，再利用排列数计算，最后借助分类加法计数原理求解． [学以致用]　3．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？ [解]　首先应考虑“0”这个特殊元素，当0排在末位时，有＝9×8＝72(个)， 当0不排在末位时，有··＝4×8×8＝256(个)， 于是由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328(个)． (对应学生用书第12页) 1．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) C　[＝＝．故选C．] 2．若＝10，则n＝(　　) A．6 　 B．7 C．8 　 D．9 C　[因为＝10，所以n≥3，n∈N*，所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8．故选C．] 3．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)． 36　[分两步：先排文娱委员有3种选法， 再从剩余的4人中选两人安排学习委员、体育委员有＝12(种)选法． 由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．] 4．(教材P26习题6.2T1改编)计算：＝________． 15　[＝＝15．] 1．知识链： 2．方法链：排列数的计算方法、直接法、优先法、间接法． 3．警示牌：解题时注意中“n，m∈N*，n≥m”这个条件． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你能写出排列数公式吗？ [提示]　＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，n≥m，＝(m，n∈N*，且m≤n)． 2．排列与排列数是一回事吗？ [提示]　不是一回事．一个排列是完成一件事的一种方法，排列数是指所有不同排列的个数． 3．怎样灵活选择两个排列数公式？ [提示]　＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式． ＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等． 课时分层作业(四)　排列数公式 (对应学生用书第117页) 一、选择题 1．－的值是(　　) A．480 　 B．520 C．600 　 D．1 320 C　[＝12×11×10＝1 320， ＝10×9×8＝720， 故－＝1 320－720＝600．故选C．] 2．已知－＝10，则n的值为(　　) A．4 　 B．5 C．6 　 D．7 B　[由－＝10， 得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5．故选B．] 3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有(　　) A．种　　 B．种 C．种　　 D．2种 C　[司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法．故选C．] 4．已知n为正整数，则(n＋5)(n＋6)…(n＋9)＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[由＝n(n－1)…(n－m＋1)， 得(n＋5)(n＋6)…(n＋9)＝．故选D．] 5．(多选)下列计算正确的是(　　) A．＝n(n－1)(n－2)…(n－m) B．＝210 C．＝n D．5×6×…×2 024×2 025＝ BC　[对于A，＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，故A错误； 对于B，＝7×6×5＝210，故B正确； 对于C，＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， ∴＝n，故C正确； 对于D，＝2 025×2 024×…×7×6，故D错误． 故选BC．] 二、填空题 6．某高三毕业班有40人，同学之间两两给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 1 560　[根据题意，得＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．] 7．已知＝10×9×8×7×6，那么n＝________． 5　[由题意可得，＝10×9×8×7×6＝＝＝，故n＝5．] 8．关于正整数m的方程是＝2，则m＝________． 5　[由＝2，得m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2m(m－1)(m－2)， 整理得m2－7m＋10＝0，解得m＝2或m＝5， 由题意可得m≥5，则m＝5．] 三、解答题 9．(1)解不等式：3≤2＋6； (2)求证：－＝m． [解]　(1)由题意可知，x∈N*且x≥3， 因为＝x(x－1)(x－2)，＝(x＋1)x， ＝x(x－1)， 所以原不等式可化为3x(x－1)(x－2)≤2x(x＋1)＋6x(x－1)，整理得(3x－2)(x－5)≤0， 所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}． (2)证明：∵－＝－ ＝·＝·＝m·＝m， ∴－＝m，则原等式成立． 10．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A．12种 　 B．24种 C．48种 　 D．120种 B　[∵同学甲只能在周一值日， ∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日， ∴5名同学值日顺序的编排方案共有＝24(种)．故选B．] 11．(多选)下列等式成立的是(　　) A．＝(n－2) 　 B．＝ C．n＝ 　 D．＝ ACD　[对于A，右边＝(n－2)(n－1)n＝＝左边，故A正确；对于B，左边＝×(n＋1)×n×(n－1)×…×2＝(n＋1)×，右边＝(n＋1)×n×…×3＝×，故B不正确；对于C，左边＝n(n－1)(n－2)×…×2＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝＝右边，故C正确；对于D，左边＝·＝＝＝右边，故D正确．故选ACD．] 12．若S＝＋＋＋＋…，则S的个位数字是(　　) A．8 　 B．5 C．3 　 D．0 C　[∵＝1，＝2，＝6，＝24，＝120， ，，…，的个位数都是0， 且1＋2＋6＋24＝33， 则S＝＋＋＋＋…的个位数字是3． 故选C．] 13．3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的乘坐方法种数为________． 176　[总的乘坐方法有83种，大学生1个人在一节车厢的乘坐方法有种，所以至少有2位大学生在同一节车厢的乘坐方法种数为83－＝176．] 14．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m>1，客运车票增加了62种，则原有________个车站，现在有________个车站． 15　17　[由题意可知，原有车票的种数是，现有车票的种数是， 所以－＝62， 即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62， 所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31， 因为m<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，m>1， 所以 解得m＝2，n＝15， 故原有15个车站，现有17个车站．] 15．由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋…＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1)，其拉格朗日余项是Rn＝．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是(　　) A．5 　 B．6 C．7 　 D．8 B　[依题意得，(n＋1)！≥3 000， 又(5＋1)!＝6×5×4×3×2×1＝720， (6＋1)!＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040>3 000， 所以n的最小值是6．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $