6.1 探究课1 子集的个数有多少-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦集合子集个数计算这一核心知识点，系统梳理n元集合子集（2ⁿ个）、真子集（2ⁿ-1个）、非空子集（2ⁿ-1个）、非空真子集（2ⁿ-2个）的基础公式，并通过“好的”子集典例及变式练习，构建从公式到应用的学习支架。 资料特色在于以问题驱动培养核心素养，通过典例中“好的”子集分类讨论（相邻与不相邻偶数）及练习题分组选元素等设计，引导学生用数学眼光抽象元素关联，用数学思维进行逻辑推理，用数学语言规范表达结果。课中辅助教师引导探究，课后助力学生自主练习查漏补缺，提升解决集合问题的能力。

　子集的个数有多少 (对应学生用书第6页) 1．n元集合A＝{a1，a2，…，an}的子集有2n个． 2．推广 (1)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的真子集有2n－1个． (2)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的非空子集有2n－1个． (3)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的非空真子集有2n－2个． 【典例】　称子集A⊆M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}是“好的”，如果它有下述性质——“若2k∈A，则2k－1∈A且2k＋1∈A(k∈N)”(空集和M都是“好的”)，则M中有多少个包含2个偶数的“好的”子集？ [解]　含有2个偶数的“好的”子集A，有两种不同的情形： ①两偶数是相邻的，有4种可能：2，4；4，6；6，8；8，10． 每种情况必有3个奇数相随(如2，4∈A，则1，3，5∈A)． 余下的3个奇数可能在集合A中，也可能不在集合A中， 故这样的“好的”子集共有4×23＝32(个)． ②两偶数不相邻，有6种可能：2，6；2，8；2，10；4，8；4，10；6，10． 每种情况必有4个奇数相随(如2，6∈A，则1，3，5，7∈A)． 余下的2个奇数可能在集合A中，也可能不在集合A中， 故这样的“好的”子集共有6×22＝24(个)． 综上所述，集合M中有32＋24＝56(个)包含2个偶数的“好的”子集． 1．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有(　　) A．32个 　 B．34个 C．36个 　 D．38个 A　[先把集合中的元素分成5组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的5个元素中，任意两个元素的和都不等于11，所以从每组中任选1个元素即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)满足题意的子集．故选A．] 2．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个． 17　[依题意进行分类讨论， 当A＝{1}时，B有23－1＝7(种)情况； 当A＝{2}时，B有22－1＝3(种)情况； 当A＝{3}时，B有1种情况； 当A＝{1，2}时，B有22－1＝3(种)情况； 当A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况， 所以集合M的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．] 3．设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有________种． 129　[当A中最大的数为1时，B可以是{2，3，4，5，6}的非空子集， 选择方法有25－1＝31(种)； 当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1，2}， B可以是{3，4，5，6}的非空子集，选择方法有2×(24－1)＝30(种)； 当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}或{1，2，3}， B可以是{4，5，6}的非空子集，选择方法有4×(23－1)＝28(种)； 当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}或{1，2，3，4}，B可以是{5，6}的非空子集， 选择方法有8×(22－1)＝24(种)． 当A中最大的数为5时，A可以是{5}，{1，5}，{2，5}，{3，5}，{4，5}，{1，2，5}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，3，4，5}， B是{6}，选择方法有16×1＝16(种)． 所以满足条件的集合共有31＋30＋28＋24＋16＝129(种)不同的选择方法．即不同的组合共有129种．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $