第12讲 列代数式与代数式的值（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第12讲 列代数式与代数式的值（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.代数式的概念 2.列代数式 3.代数式的意义 4.代数式的值 题型巩固 一、用字母表示数 二、代数式的概念 三、代数式书写方法 四、列代数式 五、代数式表示的实际意义 六、图形类规律探索 七、已知字母的值 ，求代数式的值 八、已知式子的值，求代数式的值 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.代数式的概念 1.代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独一个数或者一个字母也称代数式。 注意： 代数式中不能含有“=”“≠”“≥ ”“≤ ”“> ”“< ”等符号，也就是说等式和不等式都不是代数式，如x+y=2，a≤3b 都不是代数式。 2.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或 字母与字母相乘。 通常将乘号写作“· ”或省略不写。 相同字母写成幂的形式。 如2×m写成2⋅m或2 m 。 如m×n写成m⋅n或mn 。m⋅m写成m² 。 数字因数是1或−1 。 “1”常省略不写。 如1×a写成a，−1×a 写成−a 。 带分数与字母乘。 将带分数化成假分数。 如1t应写成t 。 除法运算。 用分数线。 如2÷x(x≠0)应写成。 代数式是和或差的形式且后面有单位。 把式子用括号括起来。 如(a−b) 千克。 知识点2.列代数式 1.列代数式的意义：代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。 2.列代数式的方法： 方法及注意点 举例 抓住关键性词语，如“大“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，弄清题目中的量及各量之间的关系。 如“甲数的2倍与乙数除以3的商的差”中，关键性词语是“倍”“除以”“商”“差”，设甲数为x，乙数为y ，则所列代数式为2x− 。 厘清运算顺序，通常按照“先读先写”的顺序列式。 如“a与b的和与c 的积”是加在乘之前，则所列代数式为(a+b)c ；而“a与b的积与c 的和”是乘在加之前，则所列代数式为ab+c 。 正确运用括号，先括号内，后括号外；先小括号，再中括号，最后大括号。 如“1与x的差的5倍与y 的差乘3xy ”，所列代数式为3xy[5(1−x)−y] 。 知识点3.代数式的意义 理解代数式的意义，关键在于明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系。用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系。 知识点4.代数式的值 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。例如，9是代数式x²+5当x=2 时的值。 注意：代数式中字母的取值一要保证代数式本身有意义，二要保证代数式表示的量有意义。例如，中的a不能等于0。因为当a=0 时，就没有意义了；a表示正方形的边长时，a 只能取正数。 2.求代数式的值的步骤： 题型巩固 题型一、用字母表示数 1．甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米，如果从甲袋拿出9千克大米放入乙袋，那么甲、乙两袋质量相等．列成等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用字母表示数 【分析】根据题意，找出数量关系，即可而出等式． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用字母表示数，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出等式． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【知识点】用字母表示数 【分析】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 3．用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【知识点】用字母表示数 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 【详解】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 【点睛】本题考查代数式的应用，解决问题的关键是看懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系． 题型二、代数式的概念 4．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①； ②； ③ b； ④； ⑤ 0 ； ⑥； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】根据代数式的定义：用运算符号将字母和数字连接起来的式子，包括单个字母和数字，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：为代数式，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查代数式的识别，熟练掌握代数式的定义，是解题的关键． 5．下列各式中：①2；②；③④；⑤，代数式的个数有 个． 【答案】3 【知识点】代数式的概念 【分析】代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，根据这一概念进行分析． 【详解】解：根据代数式的定义，则①、④、⑤都是代数式． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解决本题的关键是要熟练掌握代数式的定义． 6．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（1）（4）（5）是代数式；（2）（3）（6）不是代数式 【知识点】代数式的概念 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式，由此进行判断即可． 【详解】解：（1）（4）（5）是代数式； （2）（3）（6）不是代数式． 【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的概念． 题型三、代数式书写方法 7．（24-25七年级上·浙江·期中）下列代数式中，书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求，解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范：“①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，字母前出现“”省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；⑤带分数要写成假分数的形式”，据此解答即可． 【详解】解：A．书写正确，故A正确； B．应该写为，故B错误； C．应该写为，故C错误； D．应该写为，故D错误． 故选：A． 8．（2022七年级上·浙江·专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个． 【答案】2 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案． 【详解】解：应该写成， 应该写成， ，符合书写规范， 综上所述，符合代数式书写规范的有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 题型四、列代数式 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用代数式表示“与的二次方的和”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 先表示的平方，再表示与的平方的和，因此即可求解． 【详解】解：与的平方的和是指a与b的平方相加，b的平方是，所以代数式为． 故选：B． 10．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将正方形分割成个形状大小完全相同的小长方形，其中上、下各横排两个小长方形，中间竖排若干个小长方形，则的值为 ． 【答案】8 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是通过设小长方形的长和宽，利用正方形边长相等的性质建立等式． 设小长方形的长为、宽为，根据上排两个横排小长方形的水平长度等于正方形边长，及正方形边长等于上下排小长方形高度与中间竖排小长方形长度之和，建立等式得；再根据正方形边长等于中间竖排小长方形的总宽度，求出中间竖排个数；最后将上、下、中间的小长方形个数相加即可得到的值． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，正方形的边长为， ∵上、下各横排两个小长方形（左右并排）， ∴； ∵正方形边长等于上下排小长方形高度（）与中间竖排小长方形长度（）之和， ∴；   联立得，解得； ∵中间竖排小长方形（左右并排）的总宽度等于a，设中间竖排个数为， ∴，解得；   总个数；   故答案为：． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 根据阴影面积=正方形面积2半圆（即一个圆）的面积，列式即可． 【详解】解：圆的半径等于． 则 ∴阴影面积=正方形面积一个圆的面积 ． 题型五、代数式表示的实际意义 12．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列代数式表示的实际意义： (1)若m苹果的售价为a元，则代数式表示的实际意义是 ___________； (2)请你给赋予一个实际意义：___________． 【答案】(1)n千克苹果的售价 (2)一只小船在水中顺水航行的速度是m，逆水航行的速度是n ，为水流的速度（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题主要考查了代数式及代数式所表示的实际意义，理解代数式的意义是解决问题的关键． （1）根据m苹果的售价为a元，得1苹果的售价为元，据此可得出表示的实际意义； （2）设一只小船在水中顺水航行的速度是m ，逆水航行的速度是n，则水流速度=（顺水航行的速度﹣逆水航行的速度）÷2，即水流速度是（顺水航行的速度﹣逆水航行的速度）÷2，据此可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵m苹果的售价为a元， ∴1苹果的售价为元， ∴表示的实际意义是n千克苹果的售价． 故答案为：n千克苹果的售价． （2）解：设一只小船在水中顺水航行的速度是m ，逆水航行的速度是n ，则水流速度=（顺水航行的速度﹣逆水航行的速度）÷2，即水流速度是． 故答案为：一只小船在水中顺水航行的速度是m，逆水航行的速度是n，为水流的速度（答案不唯一）． 14．指出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)a的2倍与3的和； (2)a与3的和的x倍； (3)c与a，b的积的商； (4)x与x，y两数的差的商 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式的概念是解题的关键．根据代数式的实际意义可直接进行求解． 【详解】（1）解： 表示的意义为a的2倍与3的和； （2）表示的意义为a与3的和的x倍； （3）表示的意义为c与a，b的积的商； （4）表示的意义为x与x，y两数的差的商． 题型六、图形类规律探索 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，以上图形都是由相同的圆按照一定的规律摆放，按此规律摆下去，那么第6个图形中会有（   ）个圆． A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知第一个图形有4个圆，后一个图形比前一个图形多4个圆，进行求解即可． 【详解】解：观察可知第一个图形有4个圆，后一个图形比前一个图形多4个圆， ∴第n个图形需要个圆； ∴第6个图形中会有个圆； 故选C． 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图各图形都是由同样大小的长方形按一定规律组成，其中第个图形的面积为（图①），第个图形的面积为（图②），第个图形的面积为（图③）……则第个图形的面积为 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化规律的探索，观察出图形中小长方形的个数与相应的序数的关系是解题的关键．观察图形，小长方形的个数是相应序数的平方，每个小长方形的面积是，然后求解即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第个图形的面积为， 第个图形的面积为， 第个图形的面积为， ， 则第个图形的面积为， 第个图形的面积为：． 故答案为：． 17．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的． (1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？ (2)摆成第n个图案需要几个五角星？ (3)摆成第2023个图案需要几个五角星？ 【答案】(1)60 (2) (3)6069 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查图形规律探究．注意由特殊到一般的分析方法．解题关键是总结出图形规律：摆成第n个图案需要枚五角星． （1）通过观察已知图形可得：第1个图中，五角星有个，第2个图中，有五角星个，第3个图中，有五角星个，第4个图中，有五角星个，总结出规律：第n个图中有五角星个．求出当时，的值即可； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）求出当时，的值即可． 【详解】（1）解：∵第1个图中，五角星有个； 第2个图中，有五角星个； 第3个图中，有五角星个； 第4个图中，有五角星个； … ∴第n个图中有五角星个． ∴第20个图中五角星有个． （2）解：由（1）可知，摆成第n个图案需要个五角星． （3）解：当时，， ∴摆成第2023个图案需要五角星6069个． 题型七、已知字母的值 ，求代数式的值 18．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）四个互不相等的正整数，，，满足．则的最大值是（   ） A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值．根据题意判断出正整数，，，的值可能为1或3或5或7，再根据的值最大，分别求得正整数，，，的值，代入求解即可． 【详解】解：∵四个互不相等的正整数，，，， ∴，，，也是四个互不相等的整数， ∵， ∴或或或的值可能为或或1或3， ∴正整数，，，的值可能为1或3或5或7， ∵的值最大， ∴，，，， ∴的最大值是， 故选：B． 19．（25-26七年级上·浙江·期中）果园里有吨水果，每次运走1.8吨，运了次，还剩下 吨水果；如果，则还剩下 吨水果． 【答案】 4.6 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查列代数式和代数式求值． 用每次运走的吨数乘运的次数，求出运走的吨数，剩下的吨数原有的吨数运走的吨数，据此计算即可求出剩下的吨数，再将，的取值代入剩下的吨数的数量表达式，即可求出剩下的具体数值． 【详解】解：吨 ，， （吨 故答案为：；4.6． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：，．求： (1)的值 (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了新定义运算、求代数式的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴． 题型八、已知式子的值，求代数式的值 21．（24-25七年级·浙江绍兴·期末）换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若，则代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】该题考查了整体代入法，通过换元法将原代数式中的替换为，并将剩余部分用表示． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 22．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）已知，则 ． 【答案】 1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，先把化简为，再整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1． 23．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1)4 (2)88 (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值： （1）利用整体代入思想将代入即可求解； （2）由得，再将代入即可求解； （3）由题意得，再将，代入，整理即可求解； 熟练掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：4． （2）， ，即：， ． （3）当时，代数式的值为5， ，即：， 当，时， ． 强化训练 一、单选题 1．下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、带分数应写成假分数，原书写错误，不符合题意； B、当系数是或时，省略不写，原书写错误，不符合题意； C、在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，原书写错误，不符合题意； D、原书写正确，符合题意； 故选：D． 2．“与的平方的和”用代数式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意．根据题意列代数式即可得结论． 【详解】解：“与的平方的和”用代数式表示为． 故选：C． 3．若x表示某件物品的原价，则代数式表示的意义是（     ） A．该物品价格上涨后的售价 B．该物品价格下降后的售价 C．该物品价格上涨时上涨的价格 D．该物品打八五折后的价格 【答案】A 【分析】本题考查销售问题，以及代数式表示的意义，解题的关键是掌握涨价问题的表示方法．原价乘以表示价格上涨后的价格． 【详解】解：根据题意得到原价乘以表示价格上涨后的价格， 即代数式表示该物品价格上涨后的售价， 故选：A． 4．当时，代数式的值是7．则当时，这个代数式的值是（    ） A．7 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】把代入代数式求出、的关系式，再把代入进行计算即可得解． 【详解】解：当时，， 解得， 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 5．若a，b互为倒数，c的相反数等于它本身，则的值为（   ） A．9 B． C．27 D． 【答案】B 【分析】根据a，b互为倒数，c的相反数等于它本身，得到，代入计算解答即可． 本题考查了倒数，相反数，有理数的乘除混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算和定义是解题的关键． 【详解】解：根据a，b互为倒数，c的相反数等于它本身，得到， 故， 故选：B． 6．若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及求代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性及加减运算是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．现代数学符号系统的建立是经历了长期演变、发展而形成的，我国在年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，如果甲，乙，那么⊥T的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值，根据题中示例可得表示相当于的代数式，然后把，代入计算即可，解题的关键是理解题干中的新定义运算规则． 【详解】 解：由题意可得，表示为，，， ∴原式 ， 故选：． 8．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ 　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的意义、求代数式的值，由题意可得，，，再分两种情况，分别代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为， ∴，，， 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，的值为或， 故选：A． 9．观察下列整数： 在上述“整数宝塔”中，第4层第2个数是17，则第10层第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数字，可以发现数字的变化规律，从而可以求得第10层第4个数，本题得以解决．解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字． 【详解】解：由题目中的数字可知， 第1层有2个数，第一个数字是， 第2层有3个数，第一个数字是， 第3层有4个数，第一个数字是， 第4层有5个数，第一个数字是， 第5层有6个数，第一个数字是， …， 故第10层有11个数，第一个数字是， 由每一行数的绝对值是连续整数，第奇数个整数是负数，第偶数个整数是正数， 故第10层的数是：，，，，，…… 故第10层第4个数是， 故选：A． 10．某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可． 【详解】解：∵乙同学答对了一半以上， ∴乙同学至少答对了3道题， ∴， ∴， ∴甲、丙至少答对了2道题， 假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意； ∴第3题的答案一定是B， 假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意； ∴乙同学答对了3道题， 假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意； ∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题， ∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A， ∴甲、丙、丁都答对了2题，即，， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．代数式的意义是 ． 【答案】a与b的和的平方与c的商 【分析】本题考查了列代数式，关键是根据代数式得出其意义． 【详解】解：代数式的意义是：a与b的和的平方与c的商． 故答案为：a与b的和的平方与c的商． 12．某校开展“牢记嘱托学谷公，为民造福当先锋”活动，组织部分师生前往谷文昌纪念馆参观学习谷文昌先进事迹．若这次活动租用17座的车a辆，且最后一辆车空3个座位，则参加此次学习活动的师生人数为 人(用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，17座的车a辆，那么一共有个座位，而最后一辆车空3个座位，那么用总座位数减去空的座位数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，参加此次学习活动的师生人数为人， 故答案为：． 13．若代数式的值是8，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】由题意知，，解得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 14．已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，是最小的正整数，则代数式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，互为相反数、互为倒数和绝对值的性质.互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，最小的正整数为1，依据这些知识点可分别求出，，m的值，然后代入代数式中求值. 【详解】解：∵，互为相反数，且，，互为倒数，是最小的正整数， ∴，，， 当时， ， 当时， ， ∴代数式的值为或. 故答案为或． 15．如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．二次操作：分别延长，，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过 次操作． 【答案】4 【分析】先根据已知条件求出及的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴与的面积相等， ∵面积为1， ∴ ∵ ∴ 同理可得， ∴ 同理可证的面积=7×的面积=49， 第三次操作后的面积为7×49=343， 第四次操作后的面积为7×343=2401． 故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过4次操作． 故答案为：4． 【点睛】考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可． 三、解答题 16．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是利用绝对值的非负性求出、的值． 根据绝对值的非负性，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，从而求出、的值，再计算． 【详解】解：因为， 所以， 即． 17．一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积，当，，求这个三角尺的面积（取）． 【答案】， 【分析】本题考查三角形的面积，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三角尺的面积三角形的面积圆的面积，根据三角形、圆的面积公式可以求出三角尺的面积． 【详解】解：三角形的面积为，圆的面积为，这个三角尺的面积， 当，，时，， 因此，这个三角尺的面积． 18．已知，，求与的值． 【答案】12；0 【分析】把已知两式相加得到的值，两式相减即可得到的值； 【详解】∵，， ∴； ； 【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． 19．一根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)用代数式表示：在弹性限度内，挂上的物体后，弹簧伸长的长度； (2)代数式表示的实际意义是__________； (3)这根弹簧最多可挂质量为_______的物体？ 【答案】(1) (2)挂质量为的物体时弹簧的长度． (3) 【分析】本题考查代数式的实际意义和一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据每挂质量为的物体，弹簧伸长可得挂上x kg的物体后，弹簧伸长的长度为． （2）这根弹簧长即原长，则表示伸长的长度，从而知道挂的是质量为的物体，从而得解； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：每挂质量为的物体，弹簧伸长可得挂上x kg的物体后，弹簧伸长的长度为． （2）解：∵这根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． ∴表示的实际意义是挂质量为的物体时弹簧的长度． 故答案为挂质量为的物体时弹簧的长度 （3）设这根弹簧最多可挂质量为的物体． 根据题意得：， 解得． 答：这根弹簧最多可挂质量为的物体． 故答案为：. 20．如图，我们可以将一个大正方形分割成4个或6个小正方形（注：分割的要求是“不重叠无剩余”——这些小正方形互不重叠，且面积之和恰为最大的正方形的面积）． (1)小明想：“我可以在图（1）的基础上将一个大正方形分割成7个小正方形．”小红想：“我可以类比图（2）将一个大正方形分割成8个小正方形．”请你将他们的想法画出来．（画图工具不限） (2)用两种不同的方法将一个大正方形分割成9个小正方形．（画图工具不限） (3)能否将一个大正方形分割成n（n为正整数，）个小正方形？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)可以，理由见解析 【分析】本题考查了图形类规律以及作图，根据题意作图并找到规律是解题的关键； （1）根据分割的要求及图（1）（2）的分割方法作图即可； （2）根据分割的要求及图（1）（2）的分割方法作图即可； （3）因为任意一个正方形可以分割成4个小正方形，即可以将正方形的个数增加3个，当，，（k为正整数，）时，一定可以完成分割，即可得出结论． 【详解】（1）解：分割方式不唯一，如图； （2）解：分割方式不唯一，如图； （3）解：由上述讨论知，当时，可完成分割， 因为任意一个正方形可以分割成4个小正方形，即可以将正方形的个数增加3个， 所以当时，可完成分割， 以此类推，当，，（k为正整数，）时，一定可以完成分割， 所以当且n为正整数时，可将一个大正方形分割成n（n为正整数，）个小正方形． 21．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值． 【答案】(1)是 (2)或 (3)的最大值为，的最小值 【分析】本题主要考查了数字的变形的规律，数轴，绝对值， （1）利用收纳系数的定义解答即可； （2）利用收纳系数的定义，分别用分数乘以数组各个数字，求出最大乘积与最小乘积的差，与比较判断即可； （3）利用收纳系数的定义求出的最大值，再依据值和收纳系数的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴取为示数的点，为表示数1的点．那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示， ∴是数组P：，，的收纳系数， 故答案为：是； （2）解：∵，，，， ∴不可能为1； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴不可能为； 故答案为：或； （3）解：这100个数是连续整数， 数组中的最大的数与最小数之差为99， 的最大值． 的最大值为； 当中间的数字为0时，的值最小， ， 第50个或第51个数字为0时，的值最小． 当50个数字为0时，，， ； 当51个数字为0时，，， ． 综上，的最大值为，相应的的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 列代数式与代数式的值（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.代数式的概念 2.列代数式 3.代数式的意义 4.代数式的值 题型巩固 一、用字母表示数 二、代数式的概念 三、代数式书写方法 四、列代数式 五、代数式表示的实际意义 六、图形类规律探索 七、已知字母的值 ，求代数式的值 八、已知式子的值，求代数式的值 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.代数式的概念 1.代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独一个数或者一个字母也称代数式。 注意： 代数式中不能含有“=”“≠”“≥ ”“≤ ”“> ”“< ”等符号，也就是说等式和不等式都不是代数式，如x+y=2，a≤3b 都不是代数式。 2.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或 字母与字母相乘。 通常将乘号写作“· ”或省略不写。 相同字母写成幂的形式。 如2×m写成2⋅m或2 m 。 如m×n写成m⋅n或mn 。m⋅m写成m² 。 数字因数是1或−1 。 “1”常省略不写。 如1×a写成a，−1×a 写成−a 。 带分数与字母乘。 将带分数化成假分数。 如1t应写成t 。 除法运算。 用分数线。 如2÷x(x≠0)应写成。 代数式是和或差的形式且后面有单位。 把式子用括号括起来。 如(a−b) 千克。 知识点2.列代数式 1.列代数式的意义：代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。 2.列代数式的方法： 方法及注意点 举例 抓住关键性词语，如“大“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，弄清题目中的量及各量之间的关系。 如“甲数的2倍与乙数除以3的商的差”中，关键性词语是“倍”“除以”“商”“差”，设甲数为x，乙数为y ，则所列代数式为2x− 。 厘清运算顺序，通常按照“先读先写”的顺序列式。 如“a与b的和与c 的积”是加在乘之前，则所列代数式为(a+b)c ；而“a与b的积与c 的和”是乘在加之前，则所列代数式为ab+c 。 正确运用括号，先括号内，后括号外；先小括号，再中括号，最后大括号。 如“1与x的差的5倍与y 的差乘3xy ”，所列代数式为3xy[5(1−x)−y] 。 知识点3.代数式的意义 理解代数式的意义，关键在于明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系。用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系。 知识点4.代数式的值 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。例如，9是代数式x²+5当x=2 时的值。 注意：代数式中字母的取值一要保证代数式本身有意义，二要保证代数式表示的量有意义。例如，中的a不能等于0。因为当a=0 时，就没有意义了；a表示正方形的边长时，a 只能取正数。 2.求代数式的值的步骤： 题型巩固 题型一、用字母表示数 1．甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米，如果从甲袋拿出9千克大米放入乙袋，那么甲、乙两袋质量相等．列成等式是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 3．用字母表示图中阴影部分的面积． 题型二、代数式的概念 4．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①； ②； ③ b； ④； ⑤ 0 ； ⑥； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列各式中：①2；②；③④；⑤，代数式的个数有 个． 6．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 题型三、代数式书写方法 7．（24-25七年级上·浙江·期中）下列代数式中，书写规范的是（    ） A． B． C． D． 8．（2022七年级上·浙江·专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个． 题型四、列代数式 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用代数式表示“与的二次方的和”为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将正方形分割成个形状大小完全相同的小长方形，其中上、下各横排两个小长方形，中间竖排若干个小长方形，则的值为 ． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）用字母表示图中阴影部分的面积． 题型五、代数式表示的实际意义 12．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列代数式表示的实际意义： (1)若m苹果的售价为a元，则代数式表示的实际意义是 ___________； (2)请你给赋予一个实际意义：___________． 14．指出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4) 题型六、图形类规律探索 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，以上图形都是由相同的圆按照一定的规律摆放，按此规律摆下去，那么第6个图形中会有（   ）个圆． A．20 B．22 C．24 D．26 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图各图形都是由同样大小的长方形按一定规律组成，其中第个图形的面积为（图①），第个图形的面积为（图②），第个图形的面积为（图③）……则第个图形的面积为 ． 17．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的． (1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？ (2)摆成第n个图案需要几个五角星？ (3)摆成第2023个图案需要几个五角星？ 题型七、已知字母的值 ，求代数式的值 18．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）四个互不相等的正整数，，，满足．则的最大值是（   ） A．37 B．38 C．39 D．40 19．（25-26七年级上·浙江·期中）果园里有吨水果，每次运走1.8吨，运了次，还剩下 吨水果；如果，则还剩下 吨水果． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：，．求： (1)的值 (2)的值． 题型八、已知式子的值，求代数式的值 21．（24-25七年级·浙江绍兴·期末）换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若，则代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）已知，则 ． 23．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值． 强化训练 一、单选题 1．下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 2．“与的平方的和”用代数式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若x表示某件物品的原价，则代数式表示的意义是（     ） A．该物品价格上涨后的售价 B．该物品价格下降后的售价 C．该物品价格上涨时上涨的价格 D．该物品打八五折后的价格 4．当时，代数式的值是7．则当时，这个代数式的值是（    ） A．7 B．3 C．1 D． 5．若a，b互为倒数，c的相反数等于它本身，则的值为（   ） A．9 B． C．27 D． 6．若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 7．现代数学符号系统的建立是经历了长期演变、发展而形成的，我国在年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，如果甲，乙，那么⊥T的值为（    ）． A． B． C． D． 8．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ 　） A．或 B．或 C．或 D．或 9．观察下列整数： 在上述“整数宝塔”中，第4层第2个数是17，则第10层第4个数是（   ） A． B． C． D． 10．某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 二、填空题 11．代数式的意义是 ． 12．某校开展“牢记嘱托学谷公，为民造福当先锋”活动，组织部分师生前往谷文昌纪念馆参观学习谷文昌先进事迹．若这次活动租用17座的车a辆，且最后一辆车空3个座位，则参加此次学习活动的师生人数为 人(用含a的代数式表示）． 13．若代数式的值是8，则代数式的值是 ． 14．已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，是最小的正整数，则代数式的值为 ． 15．如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．二次操作：分别延长，，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过 次操作． 三、解答题 16．已知，求的值． 17．一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积，当，，求这个三角尺的面积（取）． 18．已知，，求与的值． 19．一根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)用代数式表示：在弹性限度内，挂上的物体后，弹簧伸长的长度； (2)代数式表示的实际意义是__________； (3)这根弹簧最多可挂质量为_______的物体？ 20．如图，我们可以将一个大正方形分割成4个或6个小正方形（注：分割的要求是“不重叠无剩余”——这些小正方形互不重叠，且面积之和恰为最大的正方形的面积）． (1)小明想：“我可以在图（1）的基础上将一个大正方形分割成7个小正方形．”小红想：“我可以类比图（2）将一个大正方形分割成8个小正方形．”请你将他们的想法画出来．（画图工具不限） (2)用两种不同的方法将一个大正方形分割成9个小正方形．（画图工具不限） (3)能否将一个大正方形分割成n（n为正整数，）个小正方形？说明理由． 21．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $