第四章 微专题3 数列的综合问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学数列综合问题，系统整合等差与等比数列综合应用、数列与函数交汇、数列与不等式交汇三大核心类型，构建从基础性质应用到跨模块整合的学习支架，助力学生逐步深化对数列知识的理解与迁移。 资料以问题链驱动教学，例题从具体情境（如递增等比数列、函数图象上的点）抽象数学模型，培养“用数学眼光观察现实世界”的能力。解题过程注重推理转化（如构造新数列、不等式恒成立问题转化），发展“用数学思维思考现实世界”的素养。通过规范符号表达与变式练习，强化“用数学语言表达现实世界”的习惯，课中便于教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

微专题3　数列的综合问题 类型1　等差、等比数列的综合应用 【例1】　已知{an}是递增的等比数列，且a3＝2，a2＋a4＝． (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为{an}是递增的等比数列且a3＝2，所以q＞1， 由题意得，a2＋a4＝＋a3q＝＋2q＝， 解得q＝(舍)或q＝3， 所以an＝a3qn-3＝2·3n-3． (2)由题意知，an＋1＝an＋(n＋2－1)dn， 即dn＝＝＝， 假设存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则＝dmdp， 即＝， 因为m，k，p成等差数列，所以2k＝m＋p，代入上式得(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 所以＝(m＋1)(p＋1)， 化简得m＝p，所以m＝p＝k，不符合题意． 综上所述，不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 　解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想． (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题． (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系． [学以致用]　1．(1)已知等比数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，且a1，2a2，4a3成等差数列，则(　　) A．Sn＋1＝Sn　　 B．Sn＋1＝Sn＋2 C．Sn＋1＝an＋1 D．Sn＋1＝an＋1 (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2为S3和S4的等差中项，a2＋a3＝2，则S5＝________． (1)B　(2)11　[(1)设等比数列{an}的公比为q，由于a1，2a2，4a3成等差数列， 得4a2＝a1＋4a3，4a1q＝a1＋4a1q2，∵a1＝2，∴4q2－4q＋1＝(2q－1)2＝0，q＝， ∴an＝a1·qn-1＝2·＝22-n， Sn＝＝＝4＝4－22-n，则Sn＋1＝4－21-n， ∴Sn＋1＝Sn＋2．故选B． (2)由题意，设等比数列{an}的公比为q，∵S2为S3和S4的等差中项， ∴2S2＝S3＋S4，即2S2＝S2＋a3＋S2＋(a3＋a4)，化简整理，得2a3＋a4＝0，即a4＝－2a3， 则公比q＝＝－2，又∵a2＋a3＝2，即a1q＋a1q2＝2，代入q＝－2，解得a1＝1，∴S5＝＝＝11．] 类型2　数列与函数的交汇 【例2】　已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1，2，3，…． (1)求证：数列{lg (1＋an)}是等比数列； (2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项公式； (3)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn＋＝1． [解]　(1)证明：由已知得an＋1＝＋2an， ∴an＋1＋1＝(an＋1)2． ∵a1＝2，∴an＋1＞1， 两边取对数得lg (1＋an＋1)＝2lg(1＋an)， 即＝2，又lg (1＋a1)＝lg 3， ∴数列{lg (1＋an)}是首项为lg 3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋an)＝2n-1·lg 3＝，∴1＋an＝．(*) ∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝＝＝． 由(*)式得an＝－1． (3)∵an＋1＝＋2an， ∴an＋1＝an(an＋2)， ∴＝， ∴＝． 又∵bn＝，∴bn＝2， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝2 ＝2． ∵an＝－1，∴an＋1＝－1， 又∵a1＝2，∴Sn＝． 又∵Tn＝32n－1， ∴Sn＋＝＝1． 　由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件． [学以致用]　2．已知在等差数列{an}中，a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________． 　[由题意可知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a1＋a99＝10， 又{an}是等差数列，a1＋a99＝2a50，所以a50＝5，a50＋a20＋a80＝a50＋2a50＝×5＝．] 类型3　数列与不等式的交汇 【例3】　已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线y＝x＋上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值． [解]　(1)由已知得＝n＋， ∴Sn＝n2＋n． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋5． 当n＝1时，a1＝S1＝6也适合上式． ∴an＝n＋5． 由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列． 由{bn}的前9项和为153， 可得＝9b5＝153，得b5＝17． 又∵b3＝11，∴{bn}的公差d＝＝3． ∴bn＝b3＋(n－3)d＝11＋3(n－3)＝3n＋2． (2)∵cn＝＝＝， ∴Tn＝＝． ∵n增大时，Tn增大， ∴{Tn}是递增数列，∴Tn≥T1＝． 若Tn＞对一切n∈N*都成立， 则只要T1＝＞，∴k＜19，又k∈N*，则kmax＝18． 　解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决． [学以致用]　3．已知数列{an}满足a1a2a3·…·an＝(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋…＋＜t，则实数t的取值范围为(　　) A．　　　 B． C． D． D　[依题意，当n≥2时，an＝＝＝＝22n-1， 又a1＝21＝22×1-1，因此an＝22n-1，n∈N*，＝，n∈N*，数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝＜，因此实数t的取值范围是．] 微专题强化练(三)　数列的综合问题 一、选择题 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若－S1，S2，a3成等差数列，则数列{an}的公比为(　　) A．3 B．－1或3 C．－1或 D． B　[由题意，设等比数列{an}的公比为q，则－S1＝－a1，S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)，a3＝a1q2， ∵－S1，S2，a3成等差数列，∴2S2＝－S1＋a3，即2a1(1＋q)＝－a1＋a1q2， 化简整理，得a1(q＋1)(q－3)＝0．∵数列{an}是等比数列，∴a1≠0， ∴(q＋1)(q－3)＝0，解得q＝－1或3．故选B．] 2．(多选)已知{an}为等比数列，Sn是其前n项和．若a3a7＝16a5，a4与2a5的等差中项为20，则(　　) A．a1＝1 B．公比q＝－2 C．an＝2n-1 D．Sn＝2n－1 ACD　[依题意，由a3a7＝16a5，可得＝16a5，解得a5＝16，又∵a4与2a5的等差中项为20，∴2a5＋a4＝40，解得a4＝8，∴公比q＝＝2，首项a1＝＝＝1，∴an＝1·2n-1＝2n-1，Sn＝＝2n－1，故ACD正确，B错误．故选ACD．] 3．已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2 025条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 025，则其公差为(　　) A． B． C． D． C　[由题意得，最短弦长a1＝2＝8，最长弦长a2 025＝2×5＝10， 则公差d＝＝＝．] 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＋1＝4an，则使不等式＋…＋＜1 000成立的正整数n的最大值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 C　[∵3Sn＋1＝4an，∴Sn＝an－， 当n＝1时，a1＝S1＝a1－，即a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝an－an－1，即an＝4an－1， ∴数列{an}是首项a1＝1，公比q＝4的等比数列， 则an＝a1qn-1＝4n-1，即＝＝2n-1， ∴＋…＋＝20＋21＋…＋2n-1＝＝2n－1， 若使＋…＋＜1 000成立，则需2n－1＜1 000，即n≤9，所以满足题意的正整数n的最大值为9．] 5．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法依次为○、〡、〢、〣、〤、〥、〦、〧、〨、〩．某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“〦○ ”代表距离始发车站的里程为60千米，已知每隔3千米摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〥〤”，在B点处里程碑上刻着“〩〦”，则从A点到B点的所有里程碑上的数字之和为 (　　) A． 1 029 B． 1 125 C． 1 224 D． 1 650 B　[由题意知，A点处里程碑刻着数字54，B点处里程碑刻着数字96，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，则从A到B的所有里程碑的个数n＝＋1＝15，所以从A点到B点的所有里程碑上的数字之和为15×54＋×3＝1 125．故选B．] 二、填空题 6．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a7＝4，则a6＋a7＋a8的最小值为________． 12　[设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则a6＋a7＋a8＝＋4＋4q≥4＋2＝12，当且仅当4q＝，即q＝1时等号成立，所以a6＋a7＋a8的最小值为12．] 7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n≥2)，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＜λ恒成立，则λ的最小值为________． 　[因为a1＝1，an＝(n≥2)， 当n＝1时，S1＝a1＝1， 又当n≥2时，an＝＝＝， 所以Sn＝1＋＋…＋＝＜，因为Sn＜λ恒成立， 所以λ≥，即λ的最小值为．] 三、解答题 8．设等差数列{an}的首项a1＝1，它的前10项和S10＝55，数列{bn}为等比数列，b1＝a3，b2＝a9． (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设Tn是数列的前n项和，求证：Tn<． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则S10＝10a1＋45d＝55，又a1＝1，可得d＝1， ∴an＝n，∴b1＝a3＝3，b2＝a9＝9， 设等比数列{bn}的公比为q，则3q＝9，故q＝3，∴bn＝3n． (2)证明：令cn＝＝，则Tn＝＋…＋，故Tn＝＋…＋， ∴Tn＝＋…＋＝， ∴Tn＝＝，即Tn<得证． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $