第四章 微专题1 构造法求数列的通项公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“构造法求数列的通项公式”核心知识点，系统梳理aₙ₊₁=paₙ+q型、aₙ=paₙ₋₁+pⁿ型、分式型aₙ₊₁=q/(paₙ+r)等递推关系，通过例题解析、方法总结及“学以致用”练习构建学习支架，助力学生从具体问题抽象构造策略。 资料特色在于分类型精准突破，每个类型从例题到方法提炼，培养学生用数学眼光观察递推式特征，用数学思维进行逻辑推理构造新数列，“母题探究”变式训练强化数学语言表达。强化练分层设计，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升解决数列问题的能力。

微专题1　构造法求数列的通项公式 类型1　an＋1＝pan＋q型 【例1】　已知数列{an}满足2an＋1＝an＋1(n∈N*)且a1＝3，则a8＝________． 　[由2an＋1＝an＋1，得2(an＋1－1)＝an－1，故数列{an－1}是首项为2，公比为的等比数列，故an－1＝2×，故an＝＋1，故a8＝＋1＝．] [母题探究]　若将本例中的条件“2an＋1＝an＋1”改为“2an＋1＝an＋”，其他条件不变，求数列{an}的通项公式． [解]　由2an＋1＝an＋，得2n+1an＋1＝2nan＋1，所以2n+1an＋1－2nan＝1，故数列{2nan}是以21a1＝6为首项，1为公差的等差数列，所以2nan＝6＋(n－1)×1＝n＋5，所以an＝． 　形如an＋1＝pan＋q型(p≠0)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． [学以致用]　1．在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，求数列{an}的通项公式． [解]　由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3(an－2)，所以＝3． 又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2． 类型2　an＝pan－1＋pn型 【例2】　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [解]　因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即＝1，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，即＝＋(n－1)×1＝n－，所以an＝×2n． 　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来． 第二步：写出数列的通项公式． 第三步：写出数列{an}的通项公式． [学以致用]　2．已知数列{an}满足＝，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [解]　由题意，等式两边同乘2n，得＝＋1，即＝1，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝． 类型3　an＋1＝型 【例3】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{anan＋1}的前10项和S10＝(　　) A．　 B． C．　 D． C　[因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＝＋3，即＝3，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，所以anan＋1＝＝，所以S10＝＝＝．故选C．] 　形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． [学以致用]　3．若数列{an}满足an＝(n≥2，n∈N*)，且a1＝，则an＝(　　) A． B． C． D． A　[当n≥2且n∈N*时，等式an＝两边取倒数得＝＝＋2，∴＝2，且＝2，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列， 因此，＝2＋2(n－1)＝2n，∴an＝．故选A．] 微专题强化练(一)　构造法求数列的通项公式 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝4an－6，则a2 025＝(　　) A．－42 025＋2 B．－42 025－2 C．－42 024＋2 D．－42 024－2 C　[由an＋1＝4an－6，可得an＋1－2＝4(an－2)，而a1－2＝－1，因此数列{an－2}是首项为－1，公比为4的等比数列，则an－2＝－1×4n-1，即an＝－4n-1＋2，所以a2 025＝－42 024＋2．故选C．] 2．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．2 D　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ． ∵数列{an－1}是等比数列， ∴＝1，λ＝2．] 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为(　　) A．2n－1 B．2n＋1 C． D． C　[∵an＋1＝，a1＝1，∴＝2． ∴数列为等差数列，公差为2，首项为＝1． ∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝．] 4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17等于(　　) A．－15×216 B．15×217 C．－16×216 D．16×217 A　[由题意可得＝， 即＝－， 据此可得，数列是首项为＝， 公差为－的等差数列， 故＝＋(17－1)×＝－， ∴a17＝－15×216．] 5．已知数列{an}(n∈N*)的首项为1，又(2an－an＋1＋1)＝，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n+1 B．an＝2n-1 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 C　[因为(2an－an＋1＋1)＝，所以＝(2an－an＋1＋1)， 又因为点O在直线l外，A，B，C三点均在l上， 故2an－an＋1＋1＋1＝1，即an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， 故an＋1＝2n，则an＝2n－1．] 二、填空题 6．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1(n∈N*)，则Sn＝________． 2n－1　[由Sn＋1－2Sn＝1， 得Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)， 所以数列{Sn＋1}是首项为S1＋1＝a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1．] 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为________． 6　[由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3， 得Sn＋1＋3＝2(Sn＋3)， 又S1＝a1＝1，所以S1＋3＝4， 所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以Sn＋3＝4×2n-1＝2n+1，Sn＝2n+1－3， 所以Sk＝2k+1－3≥125，解得k≥6． 所以k的最小值为6．] 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． an＝3n－1　[令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2； 当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N*)， 得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)， 两式相减得2an＝3an－3an－1－2， 即an＝3an－1＋2， 整理得＝3， 所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列， 所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1．] 三、解答题 9．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5， a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9． (2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2， 即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)． 由(1)知a1－2＝－2＝， ∴an－2n≠0，n∈N*． ∴＝3， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列． ∴an－2n＝×3n-1＝3n-2， ∴an＝3n-2＋2n． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $