第四章 数列 高考命题探源(一)-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

该高中数学讲义以“探源”模块系统构建数列单元知识体系，通过梳理数列概念、等差等比数列及综合问题，结合高考真题案例与教材溯源，用知识框架图呈现Sn与an关系、分类讨论等重难点，清晰展现内在逻辑联系。 讲义亮点在于高考真题与教材习题深度关联，案例涵盖选择填空解答题，如案例1通过n奇偶数分类求前16项和培养逻辑推理，案例3构造新数列提升数学运算素养。基础题助学生掌握通法，难题发展创新意识，支持教师精准分层教学与学生自主复习。

探源1　数列的概念及表示方法 [命题点分析]　数列的概念及表示是高考的常考考点，主要考查等差数列、等比数列的基本概念，数列的函数特性(最大(小)项、周期性、增减性)，Sn与an的关系等，多以选择题、填空题的形式呈现，属于中低档题． 【案例1】　(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝　　　　．  7　[因为数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，所以(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＋(a14＋a16)＝5＋17＋29＋41＝92．当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)，所以当k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝a1＋2＋8＋14＋…＋[6(k－1)－4]＝a1＋＝a1＋(3k－4)(k－1)，当k＝1时上式也成立，所以a2k－1＝a1＋(3k－4)(k－1)(k∈N*)，即a2k－1＝a1＋3k2－7k＋4(k∈N*)． 法一：所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋3×(12＋22＋32＋…＋82)－7×(1＋2＋3＋…＋8)＋4×8＝8a1＋3×－7×＋32＝8a1＋612－252＋32＝8a1＋392．又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝540，解得a1＝7． 法二：所以a2k－1＝a1＋(3k2＋3k＋1)－10k＋3＝a1＋[(k＋1)3－k3]－10k＋3，所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋(23－13)＋(33－23)＋…＋(93－83)－10×＋3×8＝8a1＋93－13－360＋24＝8a1＋392．又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝540，解得a1＝7．] [考题来源]　本考题来源于教材P56复习参考题4第10题，高考题和教材复习参考题都是以数列的递推公式为载体，根据n为奇数和偶数进行讨论求解数列中的项，难度高于教材，属于难题． [试题评价]　已知数列的递推关系式中含有(－1)n，根据n为奇数和偶数进行讨论，这是处理同类问题的常用方法．本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的分组、并项求和，考查分类讨论思想和运算求解能力． 探源2　等差数列 [命题点分析]　等差数列是高考的重点，一是考查利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低档题；二是考查等差数列的证明、等差数列的性质、等差中项、通项公式及前n项和的最大(小)值等问题，多以解答题的形式呈现，属于中档题． 【案例2】　(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 95　[因为数列an为等差数列，则由题意得解得 则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．] [考题来源]　本题源于教材P21例6 ，两题都是考查等差数列前n项和公式，高考题和教材例题都是以等差数列为载体，考查等差数列中基本量的运算，难度稍高于教材． [试题评价]　教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“源泉”，是高考试题的重要知识载体，本考题体现了数学运算的核心素养，属于容易题． 【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d． 因为bn＝ 所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6． 因为S4＝32，T3＝16， 所以 整理，得解得 所以{an}的通项公式为an＝2n＋3． (2)证明：由(1)知an＝2n＋3， 所以Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为奇数时， Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)] ＝ ＝． 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0， 所以Tn＞Sn． 当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝＝． 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0， 所以Tn＞Sn． 综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn． [考题来源]　本题来源于教材P25习题4.2第3题，高考题和教材习题都是以等差数列为载体，考查等差数列的通项公式和数列的求和．不同的是教材习题分步设问，层层递进，高考题以分段的形式给出数列递推式，加大了题目求解的难度． [试题评价]　试题首先考查数列的通项及前n项和的概念；其次，作为最基本的数列类型，等差数列的两个基本量是首项和公差，要进行求解，需考生将题设所给条件正确转化为它们的方程；最后，本题在等差数列{an}的基础上，构造出一个新数列{bn}．考查了考生熟练运用已有知识学习、研究新问题的能力．试题既考查了考生的理性思维素养，又考查了逻辑推理、数学运算的核心素养以及分类讨论与整合的能力． 探源3　等比数列 [命题点分析]　等比数列是高考的重点和热点，一是考查利用等比数列的通项公式、前n项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低档题；二是考查等比数列的证明、等比数列的性质、等比中项、通项公式及前n项和等问题，多以解答题的形式呈现，属于中档题． 【案例4】　(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． －　[由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8×＝7×，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－．] [考题来源]　本考题来源于教材P36例8，与教材例题命题角度完全一致，均以等比数列为载体，考查等比数列的前n项和公式． [试题评价]　本题以等比数列基本量的求解为落脚点，考查了等比数列的前n项和公式，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养． 探源4　等差、等比数列的综合问题 [命题点分析]　高考对等差数列与等比数列综合问题的考查，主要有两个方面：一是等差数列与等比数列结合，考查利用通项公式、前n项和公式进行基本量的运算及一般数列求和问题；二是与函数、方程、不等式、几何等知识结合，在知识的交汇点处命题，或与数阵、点列结合命制一些创新型问题，也经常与数学文化结合考查数列的实际应用，各种题型均有考查，属于中档题． 【案例5】　(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知＋n＝2an＋1． (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． [解]　(1)证明：由已知有2Sn＋n2＝2nan＋n，① 把n换成n＋1，2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1，② ②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n， 整理得an＋1＝an＋1， 由等差数列定义可知{an}为等差数列． (2)由已知有＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为x，由(1)可知其公差为1， 故(x＋6)2＝(x＋3)(x＋8)，解得x＝－12，故a1＝－12， 所以an＝－12＋(n－1)×1＝n－13， 故Sn在n＝12或者n＝13时取得最小值，S12＝S13＝＝－78， 故Sn的最小值为－78． [考题来源]　本考题来源于教材P56复习参考题4第12题，高考题和教材复习参考题都以数列中递推公式an与Sn的关系为载体，考查等差数列、等比数列的综合应用，难度相当． [试题评价]　本考题以等差数列的证明和求等差数列前n项和的最值为落脚点，考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的性质，考查转化化归思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $