5.3.2 第1课时 函数的极值-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数的极值核心知识点，系统梳理极值点与极值的概念，利用导数求极值的步骤（定义域、求导、求零点、列表判断符号），以及由极值求参数的方法。通过“群山截面图直观感知—问题驱动抽象定义—典例解析方法应用—分层作业拓展提升”的学习支架，构建从具体到抽象的认知脉络，辅以问题初探、探究活动和典例讲评支撑学习过程。 特色在于情境化引入与数学抽象结合，以群山截面图引导学生用数学眼光观察现实世界，从直观现象抽象出极值点两侧导数符号变化的本质。问题驱动式探究贯穿始终，如“如何描述山峰山谷附近导数特点”培养推理意识，典例中列表分析导数符号提升数学运算能力。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后学生可通过知识链和分层作业回顾强化，弥补知识盲点。

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 [学习目标]　1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象) 2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算) 3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算) 4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．极大值、极小值的概念是什么？ 问题2．函数的极大值点、极小值点是什么？ 问题3．如何求函数的极值？ 探究1　函数极值的概念 问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ [提示]　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷． 问题2　你能从函数与导数角度描述一下探究问题1中在各个山峰、山谷附近的特点吗？ [提示]　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)＞0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)＜0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0． [新知生成] 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【教用·微提醒】　1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数． 2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点． [典例讲评]　1．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3，5)上单调递增； ②函数y＝f(x)在区间上单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的序号是________． ③⑤　[对于①，当x∈(3，4)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈(4，5)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以①错误； 对于②，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈(2，3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以②错误； 对于③，当x∈(－2，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以③正确； 对于④，当x∈(－2，2)时，f′(x)＞0， f(x)单调递增，故当x＝－时，f不是极大值，所以④错误； 对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．] 　关于函数极值的概念的理解 (1)可导函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x＝x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数，即在某区间上单调递增或单调递减的函数没有极值． [学以致用]　1．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出以下结论： ①函数f(x)在(－2，－1)和(1，2)内单调递增；②函数f(x)在(－2，0)内单调递增，在(0，2)内单调递减；③函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值；④函数f(x)在x＝0处取得极大值．其中正确命题的序号是________． ②④　[因为f′(x)在(－2，0)内大于0，所以函数 f(x) 在(－2，0)上单调递增，同理f(x)在(0，2)上单调递减，故①错误，②正确；函数f(x)在x＝0处取得极大值，故③错误，④正确．故正确命题的序号是②④．] 探究2　求函数的极值 [典例讲评]　【链接教材P91例5】 2．求下列函数的极值． (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3； (2)f(x)＝＋3ln x． [解]　(1)f′(x)＝x2－2x－3，x∈R， 令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞， －1) －1 (－1，3) 3 (3， ＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小 值－6 单调 递增 ∴当x＝－1时，f(x)有极大值，且f(x)极大值＝，当x＝3时，f(x)有极小值，且f(x)极小值＝－6． (2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0得x＝1． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值3 单调递增 ∴当x＝1时，f(x)有极小值，且f(x)极小值＝3，无极大值． 【教材原题·P91例5】 例5　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值． [解]　因为f(x)＝x3－4x＋4， 所以f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，解得x＝－2，或x＝2． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表5.3-2所示． 表5.3-2 x (－∞， －2) －2 (－2， 2) 2 (2， ＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 单调 递减 － 单调 递增 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－2)＝； 当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(2)＝－． 函数f(x)＝x3－4x＋4的图象如图5.3-12所示． 　求可导函数f(x)极值的步骤 (1)定义域：求函数的定义域． (2)求导：求函数的导数f′(x)． (3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0全部的根x0，即导函数f′(x)的零点． (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内． (5)结论：若导数f′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f(x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f(x)在x＝x0处取得极小值． [学以致用]　2．已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)． (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． [解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0), ∴f(1)＝1，f′(1)＝－1, ∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0． (2)f′(x)＝1－＝，x>0． ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a; ∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值． 探究3　由极值求参数的值或范围 [典例讲评]　3．(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　) A．(－1，2) B．(－3，6) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) (2)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________． (1)D　(2)4　－11　[(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， ∵f(x)既有极大值又有极小值， ∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根， 那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3． (2)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得 即 解得或 但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， 故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值， 所以不符合题意，应舍去． 而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，－11．] 　已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． [学以致用]　3．已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极大值，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或3 C　[已知f(x)＝x(x－m)2， 可得f′(x)＝(x－m)(3x－m)， 因为函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以f′(1)＝(1－m)(3－m)＝0，解得m＝1或m＝3． 若m＝1，此时f′(x)＝(x－1)·(3x－1)， 当x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意． 当m＝3时，经检验，满足题意，综上，m＝3．故选C．] 【教用·备选题】已知函数f(x)＝－a(x－ln x)． (1)当a＝0时，求f(x)在(0，＋∞)上的单调区间； (2)若f(x)在(0，1)内有极值，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝0时，f′(x)＝， 令f′(x)＜0，得0＜x＜1，故f(x)在(0，1)上单调递减； 令f′(x)＞0，得x＞1，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． (2)由f(x)＝－a(x－ln x)，得f′(x)＝， 由f(x)在(0，1)内有极值，可知f′(x)＝0在(0，1)内存在变号零点，即方程ex－ax＝0在(0，1)内有解，所以a＝在(0，1)内有实根， 即直线y＝a与g(x)＝的图象在(0，1)内有交点， 由(1)得g(x)在(0，1)内单调递减． 又g(1)＝e，当x→0时，g(x)→＋∞，所以a＞e，即a的取值范围为(e，＋∞)． 1．(教材P92练习T2(2)改编)函数f(x)＝x3－24x的极大值点为(　　) A．－2 B．32 C．2 D．－32 A　[f′(x)＝3x2－24，当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0； 当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)＝x3－24x的极大值点为－2． 故选A．] 2．(多选)(教材P92练习T1改编)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　　) A．－3是f(x)的一个极小值点 B．－2和－1都是f(x)的极大值点 C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞) D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3) ACD　[当x<－3时，f′(x)<0，当x>－3时，f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是(－3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3)．故选ACD．] 3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极值－2，则a，b的值分别为(　　) A．1，－3 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3 A　[f′(x)＝3ax2＋b， 由题意知 即 解得 故选A．] 4．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________． (－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， 令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0， ∵函数f(x)有极大值和极小值， ∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根， 即Δ＝4a2－4a－8＞0， 解得a＞2或a＜－1．] 1．知识链： 2．方法链：方程思想、分类讨论． 3．警示牌：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．函数极值的求解依据与步骤是什么？ [提示]　一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是： ①求出函数的定义域及导数f′(x)； ②解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)； ③用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； ④由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点． 2．如果函数f(x)在[a，b]上的图象连续不断且有极值，那么它的极值点有规律吗？ [提示]　如果函数f(x)在[a，b]上有极值，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上的图象连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的． 课时分层作业(二十)　函数的极值 一、选择题 1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 A　[由题知f(x)的导函数f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， 所以函数f(x)单调递增，无极值点．故选A．] 2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内有极小值点(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A　[结合导函数的图象可知，函数f(x)先增后减，再增，再减， 结合导数与函数单调性及极值的关系可知，函数有2个极大值点，1个极小值点． 故选A．] 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[对函数求导可得f′(x)＝3x2＋2ax＋3， ∵f(x)在x＝－3处取得极值， ∴f′(－3)＝0⇒a＝5，验证知，符合题意． 故选D．] 4．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 D　[∵f(x)＝x3－12x， ∴f′(x)＝3x2－12， 令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2． 当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0， 则f(x)单调递增； 当x∈(－2，2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减， ∴f(x)的极小值点为x＝2，即a＝2．] 5．(多选)对于函数f(x)＝x3－3x2，给出的选项中正确的是(　　) A．f(x)是增函数，无极值 B．f(x)是减函数，无极值 C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2) D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值 CD　[f′(x)＝3x2－6x． 令f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0； 令f′(x)＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，所以函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减． 当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4．故选CD．] 二、填空题 6．若函数f(x)＝ex(x－1)，则函数f(x)的极值点为________． 0　[由f(x)＝ex(x－1)，得f′(x)＝xex．令f′(x)＝0，则x＝0， 所以当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 所以f(x)的极值点为0．] 7．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax．若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________． 9　[f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a． 由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1， 所以a＝9，经验证此时Δ＞0，符合题意．] 8．已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋2a ln x＋1在(4，6)上存在极值点，则实数a的取值范围是________． (4，6)　[函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋2a ln x＋1的导数为f′(x)＝x－(a＋2)＋， 由题意可得f′(x)＝0在(4，6)内有解， 即x－(a＋2)＋＝0，亦即(x－2)(x－a)＝0在(4，6)内有解， 又4＜x＜6，可得a∈(4，6)．] 三、解答题 9．函数f(x)＝x ln x－ax＋1在点A(1，f(1))处的切线斜率为－2． (1)求实数a的值； (2)求f(x)的单调区间和极值． [解]　(1)f′(x)＝ln x＋1－a，∵在点A(1，f(1))处的切线斜率为k＝1－a＝－2，∴a＝3． (2)由(1)得，f′(x)＝ln x－2，x＞0， 令f′(x)＞0，解得x＞e2，令f′(x)＜0，解得0＜x＜e2，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)，单调递增区间为(e2，＋∞)，f(x)在x＝e2处取得极小值1－e2，无极大值． 10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x) 的图象可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D C　[因为f(x)在x＝－2处取得极小值， 所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0； 当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0． 所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0； 当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0； 当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0； 当x＝0时，y＝xf′(x)＝0； 当x＞0时，y＝xf′(x)＞0． 结合选项中的图象知选C．] 11．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) B　[由题意知f′(x)＝ex－a． 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意； 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a， ∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞) 时，f′(x)>0． 可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0，1)．] 12．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，此时f(x)的极大值是________． 0　4e-2　[由题意知f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex． 由f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0， 则f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex． 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2， 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)， 所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值，且有f(－2)＝4e-2．] 13．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1． (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． [解]　f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，x∈R． (1)法一：∵x＝±1是函数的极值点， ∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系知 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－． 法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，① 3a－2b＋c＝0，② 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－． (2)由(1)知f(x)＝x3－x， ∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)． 当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0， 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减． ∴当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数f(x)取得极小值，x＝1为极小值点． 14．(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f′(1)＝e－1， 即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0． (2)法一：因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a； 令f′(x)<0，解得x<ln a； 可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)＝a－a ln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0， 构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0， 则g′(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1． 所以a的取值范围为(1，＋∞)． 法二：因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a， 若f(x)有极小值，则f′(x)＝ex－a有变号零点， 令f′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a， 可知y＝ex的图象与y＝a有交点，则a>0， 若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a； 令f′(x)<0，解得x<ln a． 可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，符合题意． 由题意可得，f(ln a)＝a－a ln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0， 构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0， 因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 则不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1． 所以a的取值范围为(1，＋∞)． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $